2012年北京市丰台区高三二模理科数学含答案纯word版

丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（二） 2012.5

数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数

1i 2i

-+的虚部是

(A) i - (B) 3i 5-

(C) –1 (D) 35

-

2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正

视图的面积为

(A)

(B)

(C) 2 (D) 4

3．由曲线1y x

=

与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是

(A)

3132

(B)

2316

(C) 1ln 42

+ (D) ln 41+

4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填

(A) 7n ≤ (B) 7n >

(C) 6n ≤ (D) 6n >

5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2

数恰为3次的概率是

(A) 18125 (B) 36125

(C)

44125

(D)

81125

6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD ⋅ (A) 7- (B) 72

-

(C)

72

(D) 7

7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是

俯视图

(A)

(B)

(C)

(D)

8．已知平面上四个点1(0,0)A

，22)A

，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内

部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2

(B) 4

(C) 8 (D) 16

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．

10．

已知椭圆

22

2

2

1(7

x y

m m

m +

=>

-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，

则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆

于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．

12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：

从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25y

bx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．

P

B

A

13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲

不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关

于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )

是同一个“姐妹点对”）．那么函数2

4,0,()2,

0,

x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当

函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

已知函数()cos sin )f x x x x =--．

（Ⅰ）求()3f π

的值；

（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,

]2

π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．

16.（本小题共13分）

某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．

（Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．

17.（本小题共14分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上． （Ⅰ）若P 是DF 的中点，

(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；

(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D -AP -C

3

，求PF 的长度．

P

F

E

D

C

A

B

18.（本小题共13分）

已知数列{a n }满足14a =，131n

n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．

（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足2

n n n

b a n

=

-，证明：49

n b ≤

．

19.（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．

（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程； （Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．

20.（本小题共13分）

设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；

（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；

（Ⅲ）若2

1

1n

i i x ==∑，证明：2

1

ln ln 2n

n i i i x x =≥-∑ *

(,)i n ∈N

．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）