高二下学期期末考试数学试题(带答案)

高二下学期期末考试数学试题
1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( )
A ．[0,1)
B ．(0,2]
C ．(1,2)
D ．[1,2]
2.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
<0，则( )
A ．f (3)<f (－2)<f (1)
B ．f (1)<f (－2)<f (3)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2) 3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )
A ．22＋ 3
B ．23
C ．4
D ．12
4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
5.一个样本数据从小到大的顺序排列为50,30,28,23,,20,15,12x ，其中，中位数为22，则=x （）
A.21
B.15
C.22
D.35
6.已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
7.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A ．34
B ．55
C ．78
D ．89
8.已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α
2
等于( )
A.
63B ．－33C.33D ．－63
9.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π
3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π
12
对称
C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称
D ．关于点⎝⎛⎭
⎫5π
12，0对称 10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1
c 的最小值是
( )
A ．9
B ．8
C ．4
D ．2 11.已知点
，抛物线
的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点
M ，与其准线相交于点N ，若，则p 的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
12.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )
x 2
<0恒成立，
则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞)
B ．(－2,0)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(0,2)
13.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-102012x y x y x ，则z ＝x ＋3y 的最小值为
14.如图，正方体
的棱长为，
为线段
上的一点，
则三棱锥1DED A -的体积为 ．
15.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π
4
)＝________.
16.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)
与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．
17.（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．
(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．
18.（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝22t ，
y ＝3＋2
2
t (t 为参数)，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ．
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．
19.（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
（1）求证：平面BCD ；（2）求点E 到平面ACD 的距离.
20.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于轴的直线与椭圆
相交于两点。

（1）求椭圆的方程；（2）求
的取值范围。

21.（12分）大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下：
(1)(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？
附：K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋
d )
22.（12分）设函数f (x )＝13x 3－a
2
x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.
(1)求b ，c 的值；
(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间， 求实数a 的取值范围．
参考答案
1-12、C ABCA, BBDBA, CD 13 －5 14
6
1
15. －2 16 .52
17 解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，
由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2， 结合0<C <π，得C ＝π
3.
(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3，
所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝93
4.
18解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5．
(2)将直线l 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝22t ，
y ＝3＋2
2
t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，
得到t 2＋22t －3＝0 ∴t 1t 2＝－3，∴|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3．
19解（1）证明：
为
的中点，
，
,
，，，
又
，，
，
均在平面
内，
平面
（2）设点E 到平面ACD 的距离为h∵ACD E CDE A V V --=
∴h·S △ACD =·AO·S △CDE .在△ACD 中,CA=CD=2,AD=,
∴S △ACD =×.而AO=1,S △CDE =××22
=
,
∴h=.故点到平面的距离为
20 解：（1）由题意知， 。

又双曲线的焦点坐标为
，
，
椭圆的方程为 （2）若直线的倾斜角为，则
，
当直线的倾斜角不为
时，直线可设为
，
，由
设，，
综上所述：范围为，
21解 (1)由抽样调查得阅读莫言作品在50篇以上的频率为11＋18＋12＋13＋15＋1050＋50＝79100，
据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为79
100.
(2)
所以没有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关.
22 解 (1)f ′(x )＝x 2
－ax ＋b ，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝1，
b ＝0.
(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，
当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，
使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2
x m ax ＝－22， 当且仅当x ＝2
x
即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，22)．。