导数在经济问题中应用

中文摘要

随着经济的快速发展，运用我们所学的数学知识能较好的解决很多经济领域里的问题.导数在经济领域中的应用越来越广泛.并且导数已经成为经济分析中最为实用的数学工具之一.如边际成本、需求弹性、成本的最小化、利润的最大化、决策的最优化等，都是通过导数来解决的.掌握导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要，把经济学中很多现象进行分析，归纳到数学领域中，在微观经济学中有很多具体的例子，加以应用就会对很多经营决策者起非常重要的作用.所以，学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要.本文将着重阐述利用导数解决常见的经济问题.

关键词：导数；函数；边际；优化；弹性；成本；利润.

中文摘要......................................................................................................................１.. (11)

引言................................................................................................................................

(11)

1.导数的概念..................................................................................................................

(11)

2.经济中常用的函数......................................................................................................

2.1需求函数 (1)

2.2成本函数 (2)

2.3利润函数 (2)

3.导数在经济分析中的应用举例...................................................................................

(33)

3.1求边际成本 (3)

3.2研究需求弹性 (5)

3.3成本最小化 (8)

3.4利润最大化 (9)

3.5决策的最优化 (9)

4.结语 (11)

参考文献 (12)

２

1

引言

高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要.导数的应用范围颇为广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，本文仅就导数在经济中的应用问题加以分析，讨论.1.1.导数的概念

导数的概念从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）.在经济工作中，也存在变化率的问题，著名的边际分析就是用求函数导数的方法，解决边际变化问题的.从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题.

函数()y f x =在某一点0x 的导数表达式如下]1[：

)()()(lim 0000x f x

x f x x f x ′=∆−∆+→∆.2.经济中常用的函数

导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数.

2.1需求函数

作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量仅受市场价格的影响.即)(p f Q =其中Q 表示商品需求量，p 表示商品市场价格.

2

2.2成本函数

成本包括固定成本和变动成本两类.固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为0C .变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为1C .这两类成本的总和称为总成本，记为C ，即10C C C +=，假设固定成本不变（0C 为常数），变动成本是产量Q 的函数（)(11Q C C =），则成本函数为]

2[)()(10Q C C Q C C +==.

2.3利润函数

利润函数

)

()()(X C X R X L −=被称为企业目标函数.()(X R 为总收入函数、)(X C 为总成本函数).

作为企业,生产的最重要的目的就是获取利润，利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L .

为了求出使利润最大的产出水平,首先,必须满足最大值的必要条件:一阶导数0)(=′X L ,求0)(=′X L ,即)()(X C X R ′=′.其次,还必须满足最大值的充分条件:当0)(=′X L 时,0)(<′′X L ,即)()(X C X R ′′<′′.在经济学上意味着:当产出水平满足)()(X C X R ′=′时,若)(X R ′的变化率小于)(X C ′的变化率,这时产出水平使利润最大.

总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润.如果把利润

定义为总收入减总成本，那么利润也可以表示为产量函数]

3[.

3

3.导数在经济分析中的应用举例

3.1求边际成本

在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率.平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为x

y ∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等.瞬时变化率就是函数对自变量的导数]4[.

边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本.现假设产品数量是连续变化的,于是单位产品可以无限细分.如果产量已经是X ,在此水平上若产量从X 增至X X ∆+,那么总成本)(X C 相应的增量是

)()(X C X X C C −∆+=∆,它与X ∆的比为]

5[:

X

X C X X C X C ∆−∆+=∆∆)()(.这表示在X 和X X ∆+之间总成本的平均变化率.若令0→∆X ,取极限就可以得到边际成本

X X C X X C X C X C X X ∆−∆+=∆∆=′→∆→∆)()(lim lim

)(00.在经济学中，一个经济函数()f x 的导数)(x f ′称为该函数的边际函数.()f x 在点0x x =处的导数)(x f ′称为()f x 在点0x x =处的变化率，也称为()f x 在0x x =处的边际函数值.它表示在点0x x =处)(x f 的变化速度.

现设()y f x =是一个可导的经济函数，于是当x ∆很小时

()()()()()f x x f x f x x x f x x ο′′+∆−=∆+∆≈∆.

特别地，当1x ∆=或1x ∆=−时，分别给出