(专升本)第一章函数极限和连续

二、极限
1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义． 2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极 限存在定理，掌握极限的四则运算法则．
3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系， x 趋于 无穷（ x ， x ， x ）时函数的极限．
点定理），会运用介值定理推证一些简单命题． 4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．
【考试内容】
一、函数
（一）函数的概念
1．函数的定义：设数集 D R ，则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数，通常简 记为 y f (x) ， x D ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域．
F (x, y) 0 所确定的隐函数形式．
说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程 x y3 1 0 解出
y 3 1 x ，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化
有时是非常困难的，甚至是不可能的．
（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如
（四）基本初等函数与初等函数
1．基本初等函数
幂函数： y x （ R 是常数）； 指数函数： y a x （ a 0 且 a 1）； 对数函数： y loga x （ a 0 且 a 1，特别当 a e 时记为 y ln x ）； 三角函数：y sin x ，y cos x ，y tan x ，y cot x ，y sec x ，y csc x ； 反三角函数： y arcsin x ， y arccos x ， y arctan x ， y arc cot x ．
偶函数的图形关于 y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．
说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数， 两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性
设函数 f (x) 的定义域为 D ．如果存在一个正数 l ，使得对于任一 x D 有 (x l) D ，且 f (x l) f (x) 恒成立，则称 f (x) 为周期函数， l 称为 f (x) 的
0 x x0 时，对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) A ，那么常数 A
就叫做函数
f (x) 当
x x0
时 的 极 限 ， 记 作 lim xx0
f (x)
A或
f (x)
A （当
x x0 ）．
说明：函数的左极限
lim
x x0
f (x)
A或
f
(x0 )
A ； 右 极 限 lim x x0
对于给定的 y 是 x 的函数 y f (x) ，若将 y 当作自变量而 x 当作因变量，则由关系
式 y f (x) 所确定的函数 x ( y) 称为函数 f (x) 的反函数，记为 y f 1(x) ，
f (x) 叫做直接函数．
若直接函数 y f (x) 的定义域为 D ，值域为 M ，则反函数 y f 1 (x) 的定义域
,
]．
22
（2）反余弦函数 y arccos x ：是由余弦函数 y cos x 在区间[0, ]上的一段定义
的反函数，故其定义域为[1,1] ，值域为[0, ]．
（3）反正切函数 y arctan x ：是由正切函数 y tan x 在区间 ( , ) 上的一段定 22
义的反函数，故其定义域为 (, )
区间 I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
3．奇偶性
设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称．如果对于任一 x D ， f (x) f (x) 恒
成立，则称 f (x) 为偶函数．如果对于任一 x D ，f (x) f (x) 恒成立，则称 f (x)
为 奇 函 数 ． 例 如 ： f (x) cos x 、 f (x) x2 都 是 偶 函 数 ， f (x) sin x 、 f (x) arctan x 是奇函数，而 f (x) sin x cos x 则为非奇非偶函数．
方程
Βιβλιοθήκη Baidu
y
2
sin
t
表示的图形即为圆心在原点，半径为 4 的圆．
（二）函数的几种特性
1．有界性
设函数 f (x) 的定义域为 D ，数集 X D ，如果存在正数 M ，使得 f (x) M
对任一 x X 都成立，则称函数 f (x) 在 X 上有界．如果这样的 M 不存在，就称函数
f (x) 在 X 上无界．
y ln(x x 2 1) ，y arccos(x 2 1) 等都是初等函数．在本课程中所讨论的函
数绝大多数都是初等函数．
二、极限
（一）数列的极限
1．数列极限的定义：设{xn} 为一数列，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 （不论
它多么小），总存在正整数 N ，使得当 n N 时，不等式 xn A 都成立，那么就
周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数 sin x 、cos x 都是以 2 为周期的周期函数，函数 tan x 是以 为周期的周期函数．
（三）函数的运算
1．和差积商运算
设函数 f (x) ， g (x) 的定义域依次为 D1 ， D2 ， D D1 D2 ，则我们可以
定义这两个函数的下列运算：
（1）函数的显式表示法（显函数）： y f (x) 形式的函数，即等号左端是因变量的符号，
而右端是含有自变量的式子，如
y
xe x
2 cos
x
，
y
3sin
x
ex 1 ex ln x
等．
（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程 F (x, y) 0 所确定，即如果
方 程 F (x, y) 0 确 定 了 一 个 函 数 关 系 y f (x) ， 则 称 y f (x) 是 由 方 程
说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，
如果正数 M 是函数 f (x) 的一个界，则比 M 大的数都是函数 f (x) 的界．
2．单调性
设函数 f (x) 的定义域为 D ，区间 I D ．如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的；如果对 于区间 I 上任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在
说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的 f 外，还可以用其他的英文字母或
希腊字母，如“ g ”、“ F ”、“ ”等，相应的，函数可记作 y g (x) ， y F (x) ，
y (x) 等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作 y y(x) ，这一
点应特别注意． 2．函数的解析（公式）表示法
为 M ，值域为 D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线 y x 对称．
3．复合函数（函数的复合运算）
设函数 y f (u) 的定义域为 Df ，函数 u g (x) 的定义域为 Dg ，且其值域 Rg Df ，则由下式确定的函数 y f [g (x)] ， x Dg 称为由函数 u g (x) 与函 数 y f (u) 构成的复合函数，它的定义域为 Dg ，变量 u 称为中间变量． 说明： g 与 f 能构成复合函数的条件是函数 g 的值域 Rg 必须含在函数 f 的定义域 D f 内，即 Rg D f ，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．
是有界的，否则称数列{xn} 是无界的．
性质（3）：（收敛数列的保号性）如果
lim
n
xn
A ，且 A
0 （或者 A
0 ），那么存在
正整数 N ，当 n N 时，都有 xn 0 （或 xn 0 ）．
（二）函数的极限
1．函数极限的定义
（1） x x0 时函数的极限：设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义．如果存在 常数 A ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式
第一章 函数、极限和连续
【考试要求】
一、函数
1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算． 5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念．
称常数
A
是 数 列 {xn}
的 极 限 ， 或 者 称 数 列 {xn}
收敛于
A
，记为
lim
n
xn
A
或
xn A （ n ）．如果不存在这样的常数 A ，就说数列{xn} 没有极限，或者说数
列{xn
}
是发散的，习惯上也说
lim
n
xn
不存在．
说明：数列极限中自变量 n 的趋向只有一种，即 n ，虽然含义表示正无穷，但不要
写做 n ，注意与函数极限的区别．
2．收敛数列的性质
性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{xn} 收敛，那么它的极限唯一．
性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{xn} 收敛，那么数列{xn} 一定有界． 说明：对于数列{xn} ，如果存在正数 M ，使得对一切 n ，都有 xn M ，则称数列{xn}
（1）和（差） f g ： ( f g)(x) f (x) g(x) ， x D ；
（2）积 f g ： ( f g)(x) f (x) g(x) ， x D ；
（3）商
f g
：
f g
( x)
f (x) g(x)
，xD
\ {x
g(x)
0, x D} ．
2．反函数（函数的逆运算）
f
(x)
x x
1, 1,
x 0 是由两个解析式表示的定义域为 (, ) 的一个函数． x0
（4）由参数方程确定的函数：如果自变量 x 与因变量 y 的关系是通过第三个变量 t 联系起
x (t)
来
y
(t )
（ t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数
x 2cost
f (x)
A或
f (x0 ) A ；左极限与右极限统称单侧极限．函数 f (x) 当 x x0 时极限存在的充要
条件是左右极限都存在并且相等，即 f (x0 ) f (x0 ) ．
（2）x 时函数的极限：设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义．如果存在常数 A ，
对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x X 时，
，值域为 (
,
)
．
22
（4）反余切函数 y arc cot x ：是由余切函数 y cot x 在区间 (0, ) 上的一段定义
的反函数，故其定义域为 (, ) ，值域为 (0, ) ．
2．初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示的函数，称为初等函数．例如： y 2sin 2 x cos x ， y 2 x2 ，
以上五类函数统称为基本初等函数．
说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，
这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．
（1）反正弦函数
y
arcsin
x ：是由正弦函数
y
sin
x 在区间[
,
] 上的一段定
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义的反函数，故其定义域为[1,1] ，值域为[
4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系， 无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法．
三、连续
1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充 分必要条件，函数的间断点及其分类． 2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连 续性，会求函数的间断点及确定其类型． 3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零