0110 第五章 连续交通流模型

第三节 交通波理论
第五章 连续交通流模型
1、守恒方程 2、动态模型 3、交通波理论 4、小结
第一节 守恒方程
一、守恒方程的建立 考察一个单向连续路段，
在该路段上选择两个交通
记数站，如图所示，该站 点之间没有入口和出口。
Ni：为Δt时间内通过i站的车辆数； qi：是通过站i的的流量； Δt：1、2站同时开始记数所持续的时间。 ΔN： ΔN =N2-N1 有如下公式：
第三节 交通波理论
1、交叉口车辆运行状况分析 （1）车辆排队过程（研究交叉口n）
● t=0，k(x,0)=f(x)=k0，路段上各处密度相等，为稀疏流。
●当交叉口n信号变为红灯时，车队在交叉口n形成停车波，其波阵面记为S1， 而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度u0行驶。 ●在t=tr时刻，一列长度为x=ufVt r的车队停在x0之后形成排队，如图所示。
第一节 守恒方程
如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量Δk可表示为：
负号－：如果（N2-N1>0），说明两站之间的车辆数减少，即密度减小。 根据上公式可得到：
根据流量关系有：
可以推导出：
第一节 守恒方程
进一步推导出：
假设两站间车流连续：
该式描述了交通流的守恒定律，即守恒方程或连续方程。
设交通流的速度为 u（是时间和地点的函数），由微分知识得到下面的式子：
观测车随交通 流行驶的加速 度 观测者在路边 固定点所观测 到的加速度
第二节 动态模型Fra Baidu bibliotek
假设 则有：
则有：
第二节 动态模型
由于：
uw是交通波 的速度
根据守恒方程：
可以得到：
第二节 动态模型
交通波速度： 代入上式
第二节 动态模型
第三节 交通波理论
（2）车队的消散过程（研究交叉口n） ●在tr<t<c时刻，交叉口n信号变为绿灯，交叉口n排队车辆启动，形成启动
波，其波阵面记为s2。
●起动波S2以速度uf沿交叉口n排队车辆从前向后传播，排队车辆以u的速度 通过交叉口n ●波传过后车队密度记为k1,，设Td为排队车辆完全消散时间(即车队开始起 动),车队完全消散：启动波追上停车波
滞留车辆数为：
滞留车辆必须等待下一周期通过交叉口，若x1足够长，排队车辆可能出现 三，四次排队。
第三节 交通波理论
2、上游交叉口对下游交叉口的影响 研究交叉口n和n＋1
● 0<t<t0，交叉口n＋1信号为绿灯，此时交叉口n为红灯信号，从n交叉口驶
出的车辆以速度u0驶向n＋1交叉口 ● t0<t<t0+tr时，交叉口n＋1信号变为红灯，交叉口n变为绿灯的时间为t0 ▉若x2<u0t0，则已驶出交叉口n的头车可顺利通过交叉口n＋1，不形成排 队； ▉若x2>= u0t0，则驶出交叉口n的车辆将在下游交叉口n＋1处形成排队，而 且0排队长度为：
第一节 守恒方程
f(k)为任意函数，可用格林希尔治速度—密度线性模型
代入上式可以得到：
一阶线性微分方程，可以通过特征曲线方法求其解析解。
第二节 动态模型
一、交通流观测中的加速度 ●守恒方程里面：把速度看作是密度的函数
●实际中，交通流的平均速度不能瞬时地跟随密度发生变化，而驾驶员总是根
据前方密度来调整车速。
交通拥挤现象的出现及消除过程。
●但是在车道数有所改变或匝道流量较大情况下，需要对模型进行修正。
第三节 交通波理论
（1）瓶颈处的交通波现象
第三节 交通波理论
一、交通波模型 一条公路上两个相邻的
不同交通流密度区域A
和B，其分界线为S， S称为波阵面，其速度为uw 假设 A区域密度：k1 B区域密度：k2 u1区域A的交通流速度 u2区域B的交通流速度 ur1=u1-uw 区域A的车辆相对于S的速度 ur2=u2-uw 区域B的车辆相对于S的速度
观测者在路边固定点所观测到的交通流的加速度公式可以写成：
可以正、负或零
第二节 动态模型
二、速度动态模型 对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装
置都要有一个调整时间，车速的变化比前方 Δx 处密度的变化滞后一个时
间 τ ，于是以有公式：
上式左侧对τ，右侧对△x进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到：
第三节 交通波理论
1、k2>k1且q2>q1 ●此时传播的波为压缩波，由于 uw>0 其传播方向由后向前。
●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相同的附加速度。
●这相当于以较大的间距行驶的车队，后车催促前车依次不断加速逐步缩小 间距的情况。 ●在实际的交通流中并不常见。
第三节 交通波理论
第三节 交通波理论
四、交通波理论的扩展应用 ●考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。
●设三个交叉口的初始信息：
▉信号的绿信比相同 ▉红灯时长均为tr ▉忽略绿灯间隔时间 ▉周期长均为c ▉绿灯起步时差为t0 ▉交叉口n与n-1间距离为x1 ▉交叉口n与n+1间的距离为x2 ▉交通流初始平均速度为u0 ▉排队车辆的起动速度为u ▉初始时刻路段上的交通流处于平衡状态 ▉密度f（x）=k0设为常数， ▉交又口n停车线位于x0处， ▉ t=0时刻信号由绿灯变为红灯
第三节 交通波理论
根据守恒理论可 以得到：
时间t内通过界面S的
车辆数目假设为N则有：
进而可以得到：
第三节 交通波理论
根据流量基本公式:
可以得到：
如果交通流率和密度变化很小
波速的计算公式
第三节 交通波理论
一般情况，在移动线S两侧的密度差别不是无限小，方程可以写成如下形式：
uw (u2 k2 u1k1 ) /( k2 k1 )
第三节 交通波理论
2、停车波 车队以u1速度行驶，遇到红灯停车，则此时k2=kj，则有：
交通波速度为负，向后传播 时间t后车辆排队长度为：
第三节 交通波理论
3、启动波 车辆启动， 则： 格林希尔治速度——密度模型
则有：
则启动波速为：
第三节 交通波理论
由于u2较小，通uf相比可忽略不计，则排队等待车辆从开始启动就产生了启 动波，而且该波以接近uf的速度向后传播。
第三节 交通波理论
①若 Td < c-tr 则排队车辆在一个周期内可以完全消散，否则 车队在一个周期内将无法完全消散，记 Ta 为排队车辆完全通 过交叉口n的时间，则有： 排队车队
排队车辆通过交叉口的速度
第三节 交通波理论
②若Ta<c-tr 则排队车辆在一个周期内可以完全通过交叉口n，否则排队车辆 将在交叉口n处形成二次排队，此时该周期内可通过的车辆数为：
第一节 守恒方程
如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下的形式：
指车辆的产生（或）离去率，即单位长度、单位时间内车辆的产 生或离去数。
第一节 守恒方程
二、守恒方程的解析解法 为了对方程进行求解，把流率q当作密度k的函数：q=g(k)，速度u=f(k)
在平衡态时候可以有上面的假设。
根据公式： 则守恒方程就可以变成只有一个未知量的方程，可以对其求解。而且为了简 化只考虑没有交通量产生和离去的影响，可以得到如下的公式：
该式说明速度uw在流量-密度曲线上是站1与站2之间弦的斜率。
第三节 交通波理论
二、交通波模型的意义 交通波描述了两种交通状态的转化过程，uw代表了转化的方向和进程。
uw>0表示波面的运动方向与交通流的运动方向相同；
uw=0表示波面维持在原地不动； uw<0表示波面传播的方向与交通流的运动方向相反。
也相反)的附加速度。
●这相当于以一个较小间距行驶的车队，从队尾起各车辆依次减速，逐渐拉 大距离的情况。 ●在实际交通流中并不常见。
第三节 交通波理论
三、停车波和启动波 1、模型的变化
格林希尔治速度——密度模型：
密度标准化：
则有：
由于交通波速度为：
第三节 交通波理论
交通波速度公式变为：
进一步换算为：
根据密度公式可以得到
第三节 交通波理论
●交叉口n＋1排队车辆消散时间可计算如下：
第三节 交通波理论
●在交叉口n停车线处排队的车辆在绿灯亮后对前车的追赶 交叉口n停车线处车辆以u的速度通过交叉口n追赶前面的车辆
▉若x2<=u0t0，则前方车辆已经驶出n＋1交叉口，无法追上；
设d为下游交叉口n＋1处排队车辆完全通过该交叉口前上游n交叉口追赶 车辆的行驶距离， ▉若x2<=d，则在交叉口n＋1处排队的车辆完全通过该交叉口之前，交叉口 n上一周期所释放的车辆可以追赶上该排队车辆的尾车； ▉若x2>d，在在交叉口n释放的车辆到达下游交叉口n＋1之前，在n＋1处排 队的车辆已经释放完毕，无法追上。
第三节 交通波理论
图中的任何一点，其矢径表示交通速度，切线表示波速。图说明利用各种交 通波来预示返回波的出现。左图是流量-密度曲线，右图是时间-距离图。
在流量密度曲线上，点A表示交通流量正在接近通行能力，而速度则降到
大大低于畅行速度，点B由于密度低，表示交通流处于较高的速度。点A 和点B处的切线表示两种情况的波速。现在若假设点B较快的车流比点A 的车流稍迟出现，点B波最终将会赶上点A的波，见右图。这两组波的交 点有一斜率，它等于在流量密度曲线上连接这两点的弦，这一交点表示 返回波的轨迹。
2、k2>k1且q2<q1 ●此时传播的波也是压缩波，但由于uw<0，其传播方向自前向后。
●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反附加速度(与波传
播方向相同)。 ●这相当于车队中的头车减速或刹车，跟随车辆依次采取同样的行为，如车 队驶近信号灯控制的交叉口红灯启亮的情况， ●在实际的交通流中很常见。
第三节 交通波理论
3、k2<k1且q2>q1 ●此时传播的波称为稀疏波，由于uw<0，其传播方向自前向后。
●波传过后，车队中的车辆获得了一个与波的传播方向相反的附加速度。
●这相当于缓慢行驶的车队逐渐启动的情况。 ●在实际交通流中很常见。
4、k2<k1且q2<q1
●此时传播的波为稀疏波.由于uw>0，其传播方向自后向前。 ●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反(与波的传播方向
第三节 交通波理论
第三节 交通波理论
3、下游交叉口对上游交叉口的影响 研究交叉口n和n-1
● 0<t<=tr时，停车波以ufη1的速度沿交叉口n处的排队车辆从前向后传播。
● tr<t<=c时，启动波s2以速度uf沿交叉口n处排队车辆从前向后传播，因为 us1<us2，即启动波s2将在某一时刻追上停车波s1，该时刻即为交叉口n排 队车辆消散时刻tr＋Td ▉若x1<uf η1（Td＋tr），且上游交叉口n－1在此方向上也为绿灯，则启动波 在追上停车波之前，停车波已经延伸到上游交叉口n－1，即交叉口n－1 排队车辆将堵塞交叉口n－1，此时若n－1发生灯色转换，则将产生所谓 的“多米诺”现象，严重影响交通。
第二节 动态模型
Δx的取值为：
令：
同时：
代入前面公式，可得：
连续形式的速度动态模型
第二节 动态模型
对上面的公式进行差分处理（空间离散化），可以得到：
λ为调整系数 进一步进行时间离散化，可以得到：
实用的速度动态模型
道路交通流空间平均速 度的动态变化
第二节 动态模型
●上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能够 较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性