8.3 域的基本概念与性质

定理 8.3.2 整环是域的Leabharlann Baidu要条件是它不含真理想。
证. 充分性 设整环(R, +, x )不含真理想，只需证明非零元 r0 都有逆元。设由r0 生成的R的主理想为(r0 )，因于r0 ∈ (r0 )， 因此(r0 )≠{0}，于是(r0 ) = R，而整环R的(r0 )={ r0r | r ∈ R } 故存在 r1 ∈ R，使 r0r1=1，故 r0有逆元 r1 。 必要性 设I为域(R, +, x )的理想，I≠{0}，则存在非零元 r ∈ I，再由R为域知 r-1 ∈ R ，故1= r-1r ∈ I，于是对a ∈ R 有a= a1 ∈ I，即I=R。
8.3 域的基本概念与性质
定义 8.3.1 设(F, +, x)为一个交换环，若(F*, x)是群 则称(F, +, x)为一个域。其中F*= F –{0}。 • 域也可以定义为：每个非零元都有逆元的整环。
例8.3.1 全体实数集合R、有理数集合Q以及复数集 合C，在通常的加法和乘法运算下都构成域。
例8.3.2 试证(R2,⊕,⊗)是一个域，其中运算⊕和⊗ 的定义如下： (a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) (a, b)⊗(c, d) = (ac-bd, ad+bc) 由(R2,⊕,⊗ ) ≅ (C,+,x)，和(C,+,x)是域即可知。
• 设 f 为从环(R, +, x )到(R’, +’, x’ )的同态，但 f 不 是同构，则R是整环并不能确保R’也是整环。 例如， f : Z → Zn，m→[m]n是整数环从(Z, +, x ) 到同余类环(Zn, +n, xn )的同态。Z是整环，而当n 不是素数时， Zn不是整环。
例8.3.3 证明(Zp,+p,xp)是域当且仅当p是素数。
证. 若(Zp,+p,xp)是域，则(Zp,+p,xp)是整环，于是其特征 p是 素数。 若 p是素数，[m]p ∈ Zp，由 p与m互素，故存在s, t ∈ Z， 使得 sp + tm = 1 于是 [sp]p +p [tm]p =[1]p 即 [t]p xp [m]p =[1]p 因此 [m]p 的逆元是[t]p 。
定理 8.3.1 有限整环(R, +, x )一定是域。
证. 只需证明非零元都有逆元即可。设 r0 ∈ R，r0 ≠0 考虑映射 f : R→R, r → r0r 若r0r1 = r0r2，则由整环无零因子知 r1 = r2 故 f 是单射。 又 R为有限环，不妨设|R|=n，则单射 f 将R中 n个不同 元素映到R中n个不同元素，故 f 是满射。 于是存在 r1 ∈ R，使 f (r1) =1，即r0r1=1，故 r0有逆元 r1