高一数学反函数的概念

4.5反函数的概念

一、教学内容分析

“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联

系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.

二、教学目标设计

（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；

（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；

（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、

独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索

中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.

三、教学重点与难点：

反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

1、设置情境，引出概念

引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？

教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号

)(1x f y -=；了解)(1x f -表示反函数的符号，1-f

表示对应法则.

2、 探索研究，深化概念

①探求反函数成立的条件.

例1（1）2x y =（R x ∈）的反函数是

（2）2x y =（0≥x ）的反函数是

（3）2x y =（0

学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定

义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定

的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应.

②探求求反函数的方法.（课本例题）

例2．求下列函数的反函数：

（1）24+=x y （2）13+=x y （3）)0(12≥+=x x y

（4）)2

1,(2413-≠∈++=x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影.

学生活动：探求求反函数的方法.

（1） 变形:解方程，)(x f y =得)(1y f x -=；

（2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1

x f y -=； （3）写出定义域:注明反函数的定义域.

③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.

例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）

教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反

函数之间的关系.

学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系.

①从函数角度看：若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，则)(1x f y -= 的反函数是

)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原

函数的值域与定义域.

②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y =对称.

③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性.

3、例题分析，巩固方法：

（1）课本练习4.5

（2）补充练习：

1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==)

2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是

②、④

2、若指数函数)(x f y =的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )

（A ） x y )21(= （B ）x y 2= （C ）x y 3= （Ｄ）x y 10=

3、设)1(22)(≤--=x x x f ，则)(1x f - （ D ）

（A ）在（),∞+∞-上是增函数 （B ）在（),∞+∞-上是减函数

（C ）在),0[∞+上是减函数 （Ｄ）在（]0,∞-上是增函数

4、若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）

A B C D 5、)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是 （ B ）

（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y

（C ）)11( 112≤≤---=x x y

（D ）)10( 112≤≤--=x x y 6、若)0(≠+=a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y +=本身，求b a ,应满足的

条件.

解：由b ax y +=，得b y ax -=.由0≠a ，知a b y a x -=

1. 所以函数b ax y +=的反函数为a

b y a x -=1. 由于函数b ax y +=的反函数a

b y a x -=1就是函数b ax y +=本身，即有x x x y y y

y

a a =1，且

b a

b =-. 于是，解得1=a ，0=b 或1-=a ，b 为任意实数.

教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次

函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(1

1),0(-+=≠=

x x y k x k y 等) 4、课堂小结

①反函数的概念及求法；

②函数及其反函数的关系；

5、作业布置

练习册4.5 A 组

六、教学设计说明

1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.

2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y ∈∈=的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.

3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y =有

反函数)(1x f y -=，则)(1x f y -=的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.

4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y =对称，从而巩固对反函数概念的理解.