复变函数积分变换模拟试卷及答案
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习题一
一、填空题（每空3分，共30分） 1.
121
1,,2
z i z i =+=
+则12z z ⋅= ，12arg()z z ⋅= ． 2.
3. ()exp(2/2z π'+=
4. (2)Ln i = ，
cos i =
5．.沿圆周C 的正向积分:12
1
1z C z ze dz z -=+=-⎰Ñ ． 6. 级数
(1)
(1)n
n n i z ∞
=--∑的收敛半径R = ．
7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是 ８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为 二、选择题（每题3分，共15分）
1.方程52z -=所表示的曲线是 （ ）
（A ）椭圆 （B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周
2. 已知1
()z e f z z
-=，则]0),([Re z f s （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为
4
sin z z
z
-的( ) （A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）三级极点 （D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0
[()]t
f t dt ⎰
的值是（ ）
（A ）
()F s js （B ）()(0)F s f s
- （C ）()
F s s （D ）()F s
5. w 1F()=F 1[()]f t ，
w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（ ） （A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=⋅
（C ）F 12121
[()()]()()2f t f t F w F w π
⋅=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ⋅=* 三．1.（本题5分）
24,12C dz z z i ⎛⎫+ ⎪--⎝
⎭⎰Ñ其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算
221
,1C
z dz C z +-⎰Ñ为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1
sin z zdz ⎰
.
四．假设
1. （本题8分）假设2222
()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.
2.（本题8分）将函数2
z z
e e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.
3.（本题8分）将函数2
1
()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗
级数.
4. （本题8分）函数
2
(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。
5.利用留数的方法求2
1
()(1)(2)F s s s =--的laplace 逆变换。
习题二 一．填空
1．121,12,z i z i =+=-则12z z ⋅= ； 2．方程52z -=所表示的曲线是 ； 3．(2)Ln i = ；
4.设2
()1f z z =+，则()f i '= ；
5．1=z 为
2
sin (1)z
z -的 级极点；
6．已知 z
z f sinz
)(=
，求]0),([Re z f s = ； 7．()cos(2)f z z =的泰勒展开式是 ；
8．设()t δ为单位脉冲函数，则
-()(1sin )t t dt δ+∞
∞
+=⎰
；
9．级数
21
1[
]2
n n i n ∞
=+∑是 （收敛或发散）；阿 10. 若()=s F L [()]f t ，则L 3[()]t e f t 的值是 ； 二．选择
１．复数方程 Re(2)3z -=表示的曲线是 （ ） A 、直线 B 、圆周 C 、椭圆 D 、双曲线
2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ） （A ）()212121sin sin cos cos cos z z z z z z +=- （B ）z
z
e e =')(
（C ）2
2Lnz Lnz = （D ）z z z cos sin 22sin = 3．设w F()=F [()]f t ，则F 0[(+)]f t t 的值是（ ） （A ）0
()jwt e
F w （B ）0()jwt e F w - （C ）0()F w t - （D ）0()F w t +
4．1=z 为
2
sin (1)z
z -的( )
（A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 5．设()Λ,2,1=+=n ib a n n n α，其中{}n a 、{}n b 为实数列，若级数
∑∞
=1
n n
α
绝对收敛，下
列说法中不正确的是 （ ） （A ）0lim =∞→n n α （B ）
∑∞
=1n n
a
、
∑∞
=1
n n
b
同时收敛
（C ）
∑∞
=1
n n
a
收敛，
∑∞
=1
n n
b
条件收敛 （D ）
||1
∑∞
=n n
α
收敛
三．
1．（本题5分）计算积分
1+1
i
z ze dz ⎰
。
2． 求33(),2z C
e dz C z z +-⎰Ñ为圆周：3z =。 3. 求
3
112n
n n z n
∞
=∑幂级数的收敛半径