立体几何第1讲_空间几何体的结构、三视图和直观图)

项为A.
答案 A
5．(2011·天津)一个几何体的三视图如 图所示(单位：m)则该几何体的体积 为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、 宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高 为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝6＋π(m3)． 答案 6＋π
位置：正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正 高平齐 宽相等
几种基本几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
空间几何体的直观图
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点．画
直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使 xOy=45o 或135o
它确定的平面表示水平平面。
（2）原图形中平行于x或y轴的线段，在直观图中分别画成平行
解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等， 其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底 面所成角相等，即A正确；底面四边形必 有一个外接圆，即C正确；在高线上可以 找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶 点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱 锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成 立)．故仅命题B为假命题．选B. 答案 B
【训练3】 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图 形是( )． A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形
解析 将直观图还原得▱OABC，则 ∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2 (cm)， OD＝2O′D′＝4 2 (cm)， C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)， OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋4 22＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案 C
答案 A
斜棱柱 直棱柱
正棱柱 其它直棱柱
三棱柱、四棱柱、 五棱柱、······
几种六面体的关系：
底面变为 平行四边形
侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
长方体
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
正四棱柱
正方体
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一
个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
解析 如图①②所示的实际图形和直观图．
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a， 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝
22O′C′＝
6 8 a.
∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝ 166a2. 答案 D
直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即 可得到平面图形的面积是其直观图面积的2 2 倍，这是一个较 常用的重要结论．
于x′或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；
平行于y轴F的线段M ，E长度为原来的一半．
A
A
Dx
B
O
BN C
F M E y
O N C
D x
考向二 空间几何体的三视图 【例2】►(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图 和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
考点二：三视图与直观图
❖3.几何体的表面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2 l2－r2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l
V＝13(S上＋S下＋ SBiblioteka BaiduS下)h ＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
直棱 柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱 锥
[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
3．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，
则它的体积是( )．
A．8－23π B．8－3π
C．8－2π
2π D. 3
解析 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体
积减去圆锥体积，即V＝22×2－
1 3
×π×12×2＝8－
2 3
π，正确选
[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半 圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于 底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D. 答案 D
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上 的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图 形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用 实线表示，挡住的线要画成虚线．
上底面
下底面
棱台和圆台统称为台体。
棱柱
侧棱垂直于底 面
直棱柱
底面是正多边正棱柱 形
棱锥 底的射面影为为正正多多边边形形,顶的点中在心底面正棱锥
正棱台
由正棱锥截的的棱台
处理台体的思想方法是还台于锥。
考点一 简单几何体的结构特征
❖2.三视图与直观图
• 三视图：正视图、侧视图、俯视图
• 画物体的三视图时,要符合如下原则:
正解 ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边 形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面 放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④ 对于四棱柱，不论怎样放置， 其正视图都不可能是三角形； ⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论 怎样放置，其正视图也不可能是三角形． 答案 ①②③⑤
(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋 转半周得到．
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形
，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点 侧面 侧棱
底面
用表示底面各顶点表示棱柱。
棱柱的分
类
1、按侧棱是否和底面垂直分类： 2、按底面多边形边数分类：
棱柱
体叫做棱锥。
顶点
S
侧面
侧棱
D
底面
C
A B
棱锥的结构特征
棱锥也用表 示顶点和底 面各顶点的 字母表示。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转
圆
轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几
何体叫做圆柱。
柱
底面
的
结 母线
轴 侧面
构
特 征
圆柱和棱柱统称为柱体 。
圆柱用表示它的轴的字母表示。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为
三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见 的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何 体举特例解决．
【训练1】 以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3
旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何
体叫做圆锥。
A
圆
母线
轴 侧面
锥
的
C
B
结
底面
构 圆锥用表示它的轴的字母表示 特 征 圆锥和棱锥统称为锥体
棱台与圆台的结构特征
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ，底面与截面之间的部分叫做棱台。 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 ，底面与截面之间的部分叫做圆台。
2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面 都是圆面，则这个几何体一定是( )． A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和 三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案 C
4．(2011·浙江)若某几何体的三视图 如图所示，则这个几何体的直观 图可以是( )．
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上 下底面是相似多边形．
旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周 或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得 到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三 个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能 不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察.
【示例】►(2010·新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角 形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有 可能的几何体前的编号)． ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆 柱． 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③. 实录 ①②⑤
S侧＝12Ch′
V＝13Sh
正棱 台
S侧＝4R122 (C＋C′)h′
V＝13(S上＋S下＋
S上S下)h
球
S球面＝4πR2
V＝43πR3
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( )． A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D
立体几何
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
❖1.简单几何体的结构特征 ❖2.三视图与直观图 ❖3.柱、锥、台、球的表面积和体积
❖1.简单几何体的结构特征
• 多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 互相平行 ，上下底面是 全等 的 多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共 顶点 的三角形．
【试一试】(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给 定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右 图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆 柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是
( )． A．3 B．2 C．1 D．0
[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相 同，故选A.
解析 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B符合． 答案 B
考向一 空间几何体的结构特征 【例1】►如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱 锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是
( )． A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断．
解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不 到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③ 对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 B
考向二 空间几何体的三视图 【例2】►(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图 和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
【训练2】 (2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的直观图可以是( )．
解析 A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图 不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D. 答案 D
考向三 空间几何体的直观图 【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直 观图△A′B′C′的面积为( )． A. 43a2 B. 83a2 C. 86a2 D.166a2 [审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′， 求△A′B′C′的高即可．