《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案

《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案

教学目标

1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题。

3、培养学生空间想象能力和思维能力。

教学重难点

教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题互相转化的思想方法的应用。

教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用。

教学过程

一、导入

中国古代数学思想十分先进，庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是现代数学中极限思想的根源；刘徽的《割圆术》“割之又割，以至不可割”，最终方变成了圆，这种思想也体现了中国古人对极限的认识。利用刘徽的割圆术，我们可以把球的表面积求出来。

二、研习要点

（1）直棱柱的表面积

1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c*h。

如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积.

设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch。

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和。

【联想·发散】斜棱柱表面积的求法：

1. 由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计算公式。

2. 斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面。

如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计

算公式就是S侧=S’·l。

（2）正棱锥的表面积

1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正

棱锥侧=2

1na·h ’。 其中a 为底面正多边形的边长，底面周长为c ，斜高为h ’，如图，以正四棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是

正多边形，若设它的底面边长为a ，底面周长为4a ，斜高为h ’，容易得到正四棱锥的侧面积

计算公式为S 正四棱锥侧=21·4a·h ’=2

1ch ’， 对于正n 棱锥，其侧面积计算公式为S 正棱锥侧=

21c·h ’。 2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和。

【联想·发散】一般棱锥表面积的求法：

1．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，这些等腰三角形的面积和即为它的

侧面积。

2．一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此设法求出它们各自的面积，然后相加即可得

到它的侧面积，再与底面积求和，即可得到它的全面积。

（3）正棱台的表面积

1．正棱台的侧面积是S=

21(c+c ’)·h ’，其中上底面的周长为c ’，下底面的周长为c ，斜高为h ’。

2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面

展开图是一些等腰梯形，腰重合所得的一个平面图形（如图），

设正棱台上、下底面周长为c ’，c ，斜高为h ’，可得正棱台的侧面积

S 正棱台侧=2

1(c+c ’)·h ’。 3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。

【联想·发散】一般棱台表面积的求法：

1．正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，则正棱台的表面积就是

这几个等腰梯形的面积与底面积之和。

2．同样地，对于一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积后相加，再求出其底面

积，然后求和，就会得到它的表面积（有时也称全面积）。

（4）球的表面积

球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S 球

=4πR2，其中R 为球的半径。

【联想·发散】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：

1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积:

①将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边

为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r ，母线长为

l ，则侧面积S 圆柱侧=2πrl 。

②将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇

形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的

圆心角θ=2r l

，r 为圆锥底面半径，l 为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得：S 圆锥侧=2

1·2πr·l=πrl ，其中l 为圆锥母线长，r 为底面圆半径。 ③圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r 、R ，母线长为l ，则。S 圆台=π(r+R)l=

21(c1+c2)l ，其中r ，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l 为圆台的母线。

2．圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面积与底面积的和。

三、知识点梳理

1、直棱柱和正棱锥的表面积

直棱柱的侧面积公式S =____________，其中c 为底面多边形的周长，h 为棱柱的高

用语言可叙述为________________ ；

正棱锥的侧面积公式S =_______ =__________ ，其中底面边长为a ，c 为底面多边

形的周长，h 、为棱锥的斜高。

用语言可叙述为____________________________________；

结论：棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

2、正棱台的表面积

设棱台下底面边长为a 、周长为c ，上地面边长为a 、、周长为c 、，斜高为h 、，可以得

出正棱台的侧面积公式：________________ =___________________;

结论：棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

3、圆柱、圆锥的表积