同济大学等九校卓越联盟自主招生数学试题及答案

2013年九校(卓越联盟)自主招生

数学试题

分值: 分 时量： 分钟

一、选择题，

1.已知向量,a b 为非零向量，(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥则,a b 夹角为( ） A 。

6π B. 3π C. 32π D. 6

5π 2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则

tan()

tan()

αβγαβγ++=-+（ ）

A.

11n n -+ B 。 1n n + C .1n n - D 。1

1

n n +- 3。在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点，且11:1:3A F FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为（ ）

A.

B. C. D.

4.i 为虚数单位，设复数z 满足||1z =,则222

1z z z i

-+-+的最大值为（ ）

A.

1 B 。

2 C. 1 D 。 25.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ) A 。。 216y x = B 。 28y x = C. 216y x =- D. 28y x =-

6.在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长与侧棱长均不等于2，且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面

1AB E 的距离为（ )

A 。

B 。

C 。

D 。 7。若关于x 的方程

2||

4x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C 。1

(,)4

+∞ D. (1,)+∞

8。如图，ABC ∆内接于O ,过BC 中点D 作平行于AC 的直线,l l 交

F ，

交O

在A 点处的切线于P ，若3,2,3PE ED EF ===

，则PA A.

B 。 D 。9.数列{}k a 共有11项,1110,4,a a ==且1||1,1,2,,10k k a a k +-==

满足这种条件的不同数列的个数为( ）

A. 100

B. 120

C. 140 D 。 160 10。设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

27

π

的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射。用τσ表示变换的复合，先做τ,再做σ。用k σ表示连续k 次σ的变换，则234στστστσ是( ) A 。 4σ B 。 5σ C.2στ D.2τσ 二、解答题

11.设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+. (1）设1n n n b a a +=-，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列; （2）若12lim()4,n n a a a →∞

++

+=求,a b 的值；

12。在ABC ∆中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD kAC =。

(1)求k 的取值范围；

(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,BC 最短？

13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =相切。 (1）求椭圆的方程;

(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

14。一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球，如果取出白球,则把它放回袋中；如果取出黑球,则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X 。 (1）求1EX ；

（2）设()n k P X a k p =+=，求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+=

(3)证明：11

(1) 1.n n EX EX a b

+=-++

15.设()ln f x x x =。 (1)求()f x '；

(2)设0,a b <<求常数c ，使得

1|ln |b

a

x c dx b a --⎰取得最小值;

（3)记(2)中的最小值为,Ma b ,证明,ln2Ma b <。

参考答案：

一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D 二。解答题

11。【解】(1）证：由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+，得2112()().n n n n a a a a +++-=--

令1,n n n b a a +=-则11

2

n n b b +=-，所以{}n b 是以b a -为首项，以12-为公比的等比数列;

（2）由(1） 可知1*11

()()()2

n n n n b a a b a n N -+=-=--∈,

所以由累加法得1111()2(),11()2

n

n a a b a +---=---即121()[1()],32n n a a b a +=+--- 也所以有121()[1()](2),132

n n a a b a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式； 所以1*21()[1()]()32

n n a a b a n N -=+---∈

也所以1211()224412()[]()()()()13399212

n

n n a a a na b a n na b a n b a b a --++

+=+--

=+---+--+ 由于12lim()4,n n a a a →∞++

+=所以24

()0,()4,39a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-.

12。【解】(1)过B 作直线BE AC ，交AD 延长线于E ,如图右。 所以,2,BD AB CD AC

== 也所以有2DE BE BD

AD AC DC

===，即2,3.BE AC AE BD ==

在ABE ∆中，有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠

即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅

所以，2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,)99

k A =+∈ 所以403

k <<

. （2)因为21

sin sin 12

ABC S AB AC A AC A ∆=

⋅⋅== 在ABC ∆中，有2222254cos 2cos 54cos sin A

BC AB AC AB AC A AC AC A A

-=+-⋅=-=

记54cos A

y -=

,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=