3地基中的应力计算

第三章 地基中的应力计算
土中的应力按引起的原因可分为:
(1)由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;
(2)由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应力。

应力计算方法：
1.假设地基土为连续、均匀、各向同性、半无限的线弹性体;
2.弹性理论。

第一节 土中自重应力
研究目的：确定土体的初始应力状态
研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学 (例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布。

假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为γ (kN/m3)，则在天然地面下任意深度z (m)处的竖向自重应力σcz (kPa)，可取作用于该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量γz ⨯ l 计算，即： σcz= γz
σcz 沿水平面均匀分布，且与z 成正比，即随深度按直线规律分布
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。

由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故εx=εy=0，且σcx = σcy ，根据广义虎克定理，侧向自重应力σcx 和σcy 应与σcz 成正比，而剪应力均为零，即
σcx = σcy = K0σcz
τxy=τyz=τzx ＝０
式中 K0 ―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。

它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比。

(1) 土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所以在地基应力计算时考虑的是土中单z σsz = γz 天然地面σcy z
σcx
天然地面
σcz
位面积上的平均应力。

(2) 假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。

地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。

(3) 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。

为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力σcz ，简称为自重应力，并改用符号σc 表示。

成层地基土中自重应力
因各层土具有不同的重度。

以及地下水的存在，天然地面下深度z 范围内各层土的厚度自上而下分别为h1、h2、…、… hn ，成层土自重应力为高度z 土柱中各层土重的总和，可得到的计算公式： ∑=n
i i c h 1γσ
式中：σc —天然地面下任意深度z 处的竖向有效自重应力(kPa)；
n —深度z 范围内的土层总数
hi —第i 层土的厚度(m)；
γi —第i 层土的天然重度，对地下水位以下的土层取有效重度γi ‘(kN/m3)。

在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算
地下水位位于同一土层中， 计算自重应力时，地下水位面应作为分层的界面。

基底压力和基底附加压力
建筑物荷载通过基础传递给地基，基础底面传递给地基表面的压力，称基底压力。

基底压力的分布规律主要是取决于上部结构、基础的刚度和地基的变形条件，是三者共同工作的结果。

基础刚度的影响
柔性基础能跟随地基土表面而变形，作用在基础底面上的压力分布与作用在基础上的荷载分布完全一样。

所示，上部荷载为均匀分布，基底接触压力也为均匀分布。

绝对刚性基础的基础底面保持平面，即基础各点的沉降是一样的，基础底面上的压力分布不同于上部荷载的分布情况。

荷载和土性的影响
当荷载较小时，基底压力分布形状如图a ，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍形(图b)；荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡，基底压力图形可变为抛物线型(图d)以至倒钟形分布(图c)。

刚性基础下的基底压力分布图
刚性基础放在砂土地基表面时，由于砂颗粒之间无粘结力，其基底压力分布更易发展成图d 所示的抛物线形；而在粘性土地基表面上的刚性基础，其基底压力分布易成图b 所示的马鞍形。

根据弹性理论中圣维南原理，在总荷载保持定值的前提下，地表下一定深度处，基底压力分
布对土中应力分布的影响并不显著，而只决定于荷载合力的大小和作用点位置。

因此，除了在基础设计中，对于面积较大的片筏基础、箱形基础等需要考虑基底压力的分布形状的影响外，对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线分布的图形计算，即可以采用材料力学计算方法进行简化计算。

基底压力的简化计算
（一） 中心荷载下的基底压力
中心荷载下的基础，其所受荷裁的合力通过基底形心。

基底压力假定为均匀分布，此时基底平均压力设计值p (kPa)按下式计算： A
G F p +=
式中
p — 作用任基础上的竖向力设计值(kN)；
(kN/m)。

（二）偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载下的矩形基础如图所示。

设计时通常取基底长边方向与偏心方向一致，此时两短边边缘最大压力设计值p max 与最小压力设计值p min (kPa)按材料力学短柱偏心受压公式计算： (1) W
M lb G F p p ±+=⎭⎬⎫min max 式中M — 作用于矩形基底的力矩设计值（kN.m ）；
W — 基础底面的抵抗矩，W ＝bl 2/6（m ）。

把偏心荷载(如图中虚线所示)的偏心矩e =M/(F+G)引入上式得：
(2) )61(min max l e lb G F p p ±+=⎭⎬⎫
当e＜l/6时，基底压力分布图呈梯形[图(a)]；
当e=l/6时，则呈三角形[图(b)]；
当e＞l/6时，按式(2)计算结果，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即pmin<0 [图(c)]。

由于基底与地基之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱开，使基底压力重新分布。

因此，根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载合力应通过三角形反力分布图的形心[图(c)
中实线所示分布图形]，由此可得基底边缘的最大压力pmax为：
bk G
F p
3)
(2 max +
=
式中ｋ—单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离(m)。

单向偏心荷载下的基底压力分布
基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。

因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。

如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压力就是新增加于地基表面的基底附加压力。

实际上，一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。

因此，建筑物建造后的基底压力中应扣除基底标高处原有的土中自重应力后，才是基底平面处新增加于地基的基底附加压力，基底平均附加压力设计值p0值(kPa)按下式
计算：d P P P d C γσ-=-=0
式中p — 基底平均压力设计值(kPa)；
σc — 土中自重应力标准值，基底处σc ＝γd d (kPa)；
γd —基础底面标高以上天然土层的加权平均重度，
地下水位下土层的重度取有效重度；
d —基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土场地则应从老天然地面起算(m)。

柔性和刚性基础下土的变形与基底压力分布图
基底平均附加压力的计算
土的应力－应变关系假定
在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。

尽管这种假定是对真实土体性质的高度简化，但仍可满足工程需要。

地基土的基本假定
1．连续介质
弹性理论中的应力概念与连续介质的概念是紧密相连。

土是由三相物质组成的松散颗粒集合体，不是连续介质。

因此在研究土体内部微观受力情况时(例如颗粒之间的接触力和颗粒的相对位移)，必须把土当成散粒状的三相体来看待；但当我们研究宏观土体的受力问题时(例如建筑物地基的沉降问题)，土体的尺寸远远大于土颗粒的尺寸，此时就可以把土颗粒和孔隙合在一起研究，把土体当作连续体来对待，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。

刚性基础（c ）基底压力（b ）刚性基础（a ）
土的应力应变关系
2．线弹性体
理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。

土则不是纯弹性材料而是弹塑性材料，它的应力、应变关系是非线性的和弹塑性的。

即使在很低的应力情况下，土的应力应变关系也表现出曲线特性，而且在应力卸除后，应变也不能完全恢复。

但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量Δ 不是很大，尚未出现塑性破坏区域或塑性破坏区域很小，这种情况下，将土的应力应变关系简化为线弹性，以便直接采用弹性理论求解土中的应力分布，对一般工程来说不仅方便，而且能满足精度要求。

3 ．均质、各向同性
理想弹性体应是均质的各向同性体。

所谓均质，是指受力体各点的性质相同；各向同性则是指在同一点处的各个方向上性质相同。

天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的，因此视土体为均质各向同性体将带来误差。

但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内。

土力学中应力符号的规定
土是散粒体，一般不能承受拉应力。

在土中出现拉应力的情况很少，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定：
在应用弹性理论进行土中应力计算时，应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反。

即当某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为正面，正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负，沿坐标轴负方向为正。

在用摩尔圆进行土中应力状态分析时，法向应力仍以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力学相反。

材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学中则规定剪应力以逆时针方向为正。

地基中的应力状态
假设地基为半无限空间弹性体，即把地基看作是一个具有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体。

地基中常见的应力状态有如下三种类型。

1．三维应力状态(空间应力状态)
局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。

三维应力状态是建筑物地基中最普遍的一种应力状态。

每一点的应力都是三个坐标x、y、z的函数，每一点的应力状态都
可用9个应力分量(独立的有6个)来表示。

写成矩阵形式则为:
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ
2．二维应变状态(平面应变状态)
土中二维问题往往是平面应变问题而不是平面应力问题。

当建筑物基础一个方向的尺寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基中引起的应力状态，即可简化为二维应变状态。

沿着长度方向切出的任—·xoz 截面都可以认为是对称面，应力分量只是x 、z 两个坐标的函数，并且沿y 方向的应变εy ＝o ，由于对称性；τyx ＝τyz ＝0。

这种应力状态的应力矩阵可表示为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zx yy xz xx ij στστσσ0000
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于此种应力状态。

由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度z 处的土单元受力条件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。

又由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即τxy ＝ τyz ＝ τzx= 0 ，应力矩阵可表示为：
地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。

它是使地基发生变形，引起建筑物沉降的主要原因。

地基附加应力计算的假定
(1) 地基土是均质、各向同性的半无限空间线弹性体。

(2) 直接采用弹性力学理论解答。

(3) 基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的影响。

叠加原理
叠加原理建立在弹性理论基础之上，当地基表面同时作用有几个力时，可分别计算每一个力在地基中引起的附加应力，然后每一个力在地基中引起的附加应力累加求出附加应力的总和。

竖向集中力作用下的地基附加应力
─布辛奈斯克解
法国J.布辛奈斯克(Boussinesq, 1885)运用弹性理论推出了在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点M(x、y、z)处的六个应力分量和三个位移分量的弹性力学
在六个应力分量和三个位移分量的公式中，竖向正应力σz具有特别重要的意义，它是使地
基土产生压缩变形的原因。

利用几何关系，则σz式改写为：
式中K 称之为集中力作用下的竖向附加应力系数。

σz 的分布特征如下：
1.在集中力P作用线上的σz分布
附加应力σz随深度z的增加而减少，值得注意的是，当z＝0时，σz＝∞。

说明该解不适用于集中力作用点处及其附近区域，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用点；另一方面也说明在靠近P作用线处应力σz很大。

2.在r＞0的竖直线上的σz分布
当z＝0时σz＝0；随着z 的增加，σz从零逐渐增大，至一定深度后又随着z的增加逐
渐变小。

3.在z ＝常数的水平面上的σz分布
σz值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。

随着深度z增加，集中力作用线上的σz减小，而水平面上应力的分布趋于均匀。

矩形荷载荷载下的地基附加应力
设矩形荷载面的长度和宽度分别为l和b，作用于地基上的竖向均布荷载p0(kPa)。

求矩形荷载面角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得矩形荷载下任意点的地基附加应力。

以矩形荷载面角点为座标原点。

在荷载面内座标为(x,y)处取一微面积dxdy，并将其上的分布荷载以集中力p0dxdy来代替，则在角点M下任意深度z的M点处由该集中力引起的竖
向附加应力dσz为：
将它对整个矩形荷载面A进行积分：
令m =l/b,n = z/b
得：
式中K c为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数，可按m及n值由表查得。

必须注意，在应用角点法计算Kc 值时，b 恒为短边，l 恒为长边。

任意点的应力应力计算—角点法
利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的时加应力的方法称为角点法。

(a) O 点在荷载面边缘 σz=(K cI +K cII )p0
(b) O 点在荷载面内 σz=(K cI +K cII + K cIII +K cIV )p0
如果O 点位于荷载面中心，则是K cI =K cII = K cIII = K cIV 得σz ＝4 K cI (c) O 点在荷载面边缘外侧 σz=(K cI - K cII + K cIII - K cIV )p0 (d) O 点在荷载面角点外侧 σz=(K cI - K cII - K cIII +K cIV )p0
例题 以角点法计算图示矩形基础甲的基底中心点垂线下不同深度处的地基附加应力σz 的分布，并考虑两相邻基础乙的影响(两相邻柱距为6m ，荷载同基础甲)。

解：
(1) 计算基础甲的基底平均附加压力标准值如下：
基础及其上回填土的总重： kN
基底平均压力设计值：kPa
基底处的土中自重压力标准值 kPa
基底平均附加压力没计值 100271270=-=-=c p p σkPa (2) 计算基础甲中心点 O 下由本基础荷载引起的σz ，
(3)计算基础甲中心点O 下由两相邻两基础乙的荷载引起的σz ，
三角形分布的竖向矩形荷载下的地基附加应力
设竖向荷载沿矩形面一边b 方向上呈三角形分布(沿另一边l 的荷载分布不变)，荷载的最大值为p 0（kPa ），取荷载零值边的角点1为座标原点，则可将荷载面内某点(x ，y )处所取微面积dxdy 上的分布荷载以集中力(x/b )p0dxdy 代替。

由该集中力引起角点1下深度 z 处M
点的附加应力为d σz 为： ()
dxdy z y x b xz p d z 2
/52
223023
++=
πσ
令 m =l/b ，n = z/b
()
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+++++=2
22222
2
2
11
arctan 112n m n m n n mn K t π 在整个矩形荷载面积进行积分后得角点1下任意深度z 处竖向附加应力σz 为：01p K t z =σ 同理，可求得荷载最大值边的角点2下任意深度 z 处的竖向附加应力σz 为：
这里,，K t1和K t2均为m ＝l/b 和 n ＝z/b 的函数，必须注意b 是沿三角形分布荷载方向的边长。

线荷载和条形荷载下的地基附加应力 地基表面上作用无限长的条形荷载，荷载沿宽度可按任何形式分布，且在每一个截面上的荷载分布相同(沿长度方向则不变)，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。

因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等，常可按平面问题考虑。

当荷载面积的长宽比l/b ＞10时，计算 的地基附加应力值与按l/b ＝∞ 时的解 相比误差甚少。

(一)、线荷载作用下的地基附加应力－－弗拉曼（Flamant ）解
在半空间表面无限长直线上，作用一个竖向均布线荷载。

求在地基中任意点M 处引起的附加应力。

作用在y 座标轴上，则沿y 轴某微分段dy 上的分
布荷载以集中力代替，从而求得地基中任意点M d σz
为：
dy R
z p d z 5
3
23πσ= 积分求得M 点的σz :
()
2
223
2
/5223)(223z x z p z
y x dy z p d z z +=
++==⎰
⎰∞
+∞
-∞+∞
-ππσσ 同理按上述方法可推导出： 2222)(2z x xz p zx zz +==πττ，2
222)(2z x z
x p x +=πσ
线荷载作用下的应力状态属于弹性力学中的平面应变问题，按广义虎克定律和εy ＝0的条件
可得： σz 、σx 和τxz 三个。

（二）、均布的竖向条形荷载
当地基表面宽度为b 的条形面积上作用着竖向均布荷载P 0 (kPa)，此时, 地基内任意点M
的附加应力σz 可利用弗拉曼解和积分的方法求得。

首先在条形荷载的宽度方向上取微分段d ξ，将其上作用的荷载ξd p p d 0= 视为线荷载，
则p d 在M 点引起的竖向附加应力d σz 为: 2
2230]
)[(2z x d z p d z +-=ξπξ
σ，沿宽度b 积分，即可得整个条形荷载在M 点引起的竖向附加应力:
写成简化形式为：
0p K sz z =σ
同理可得：0p K sx x =σ， 0p K s x z xz =τ
Ksz 、Ksx 、Ksxz 分别为水平附加向应力系数和 剪应力附加系数。

其值可按m ＝x/b 和n =z/b 的数值查表得到。

条形基础下求地基内的附加应力时，必须注意坐标系统的选择。

（三）三角形分布的竖向条形荷载
当地基表面宽度为b 载，首先在条形荷载的宽度方向上取微分段d ξ，将其上作用的荷载ξξ
d b
p p d t =
视为线荷载，此时，可利用弗拉曼解和积分的方法求得地基内任意M 点处的附加应力σz 为：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+---⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=
22)1(11n m m n m arctg n m arctg m p t z πσ
可简化为：
式中 K tz 为三角形分布荷载附加向应力系数。

其值可按m ＝x/b 和n =z/b 的数值查表得到。

任意点的附加应力求解方法
利用角点法和叠加原理
均布条形荷载和均布方形荷载下的附加应力σz、σx和τxz比较
(a)均布条形荷载下σz等值线图
(b)均布方形荷载下σz等值线图
(c)条形荷载下的σx的等值线图
(d)条形荷载下的τxz的等值线图
非均质和各向异性地基对附加应力的影响
(虚线表示均质地基中水乎面上的附加应力分布)
(a)发生应力集中，(b)发生应力扩散
双层地基竖向应力分布的比较
影响土中附加应力分布的因素
地基中附加应力计算是在假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限空间弹性体和考虑柔性荷载的理想条件下进行，因此，土中附加应力的计算与土的性质无关，这显然是不合理的。

变形模量随深度增大
土体的非均质和各向异性对土中附加应力分布产生影响土体在沉积过程中的受力条件使土的变形模量E0随深度逐渐增大(非均质地基)，在砂土地基中尤其显著。

与通常假定的均质地基(E0不随深度变化)相比较，沿荷载中心线下，前者的地基附加应力 z将发生应力集中。

薄交互层地基
天然沉积形成的水平薄交互层地基（各向异性地基）,影响土层中的附加应力分布。

研究表明，与通常假定的均质各向同性地基比较，若水平向变形模量E0h大于竖向变形模量E0v，则在各向异性地基中将出现应力扩散现象；若水平向变形模量E0h小于竖向变形模量E0v，地基中将出现应力集中现象。

双层地基
天然形成的双层地基(非均质地基)有二种可能的情况:一种是岩层上覆盖着不厚的可压缩土层；另一种则是上层坚硬、下层软弱的双层地基。

前者在荷载作用下将发生应力集中现象，而后者则将发生应力扩散现象。

均布荷载中心线下竖向应力分布的比较，图中曲线1(虚线)为均质地基中的附加应力分布图，曲线2为岩层上可压缩土层中的附加应力分布图，而曲线3则表示上层坚硬下层软弱的双层地基中的附加应力分布图。