江西省南昌市东湖区2020年九年级夏令营选拔考试数学试题

．
12．若二次函数 y=x²2ax+1(a 为常数)的图象在1＜x＜5 的部分与 x 轴只有一个交点，则 a 的取
值范围是
．
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13．（1）计算： 2cos45° 1
8
20200
1 2
1
.
(2) 如图，已知 AB∥CD，EF 交 AB 于点 G，交 CD 于点 F，FH 平分∠EFD，交 AB 于点 H，∠ BHF=112°，求∠AGE 的度数．
了（ ）（不包括 A,B 点）．
A．4 次
B．5 次
C．6 次
D．7 次
1
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7．若∠A=80°，则∠A 的补角为_______ 度．
8．已知一组数据：4, 4, x, 6．如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 ________．
2020 年联合举办夏令营选拔考试
数学试卷
说明： 1．本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．本卷分为试题卷和答题卷，要求答案写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．每小题只有一个正确选项）
3
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18．某校课外数学兴趣小组为了检测该市中山路机动车的车速情况，一天在某个时段随机抽查了
100 辆车的车速（车速取整数，单位：km/h）情况，规定：
①低于正常速度（低速）：车速小于 或 等 于 40km/h；
②正常速度：大于40 km/h 且小于或等于 60km/h；
)
A． 3 + 3
B．
3
+
2
3 3
C． 3 + 6
D．
3
+
2
6 3
6．周末阳光明媚，春意盎然，随着疫情的渐渐控制，小齐带爷爷一起出去运动，祖孙俩在长
度为 1200 米的 A,B 路段上往返，小齐以每分钟 240 米的速度匀速跑步，爷爷以每分钟 60
米的速度匀速散步，爷孙俩同时从 A 点出发，当爷爷第一次回到 A 点时，爷孙俩在途中相遇
①【特例感知】如图 1，∠ABC=90°，若 t=4，求 m,n 的值；
②【探究论证】如图 2，任意△ABC 中，求 m2 ,n2 ,t 2 之间的数量关系． （3）【拓展应用】如图 3，已知 Rt△ABC 是“等边中线三角形”，AB＜BC，且“等边中线”长
为 2 5 ，现以斜边 AC 为腰作等腰△ACE，且△ACE 是“等边中线三角形”，求△ACE
六、（本大题共 12 分）
23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这条中线为“等边中线”，具有“等
边中线”的三角形称为“等边中线三角形”．
（1）等腰直角三角形是“等边中线三角形”吗？答：
．（填“是”或者“不是”）
（2）△ABC 中,AD 是“等边中线”，设 AB=m,AC=n,AD=t．
③高于正常速度（超速）：大于 60km/h．
兴趣小组中的小欣、小佳和小昊依次分别制作了如下统计表、条形统计图和扇形统计图（有
的未完成）
车速范围（km/h） 小于或等于 50 大于 50
车辆数
40
60
（1）通过计算，请补充完成小佳画的统计图； （2）分别求出低速、超速车辆所占的百分比； （3）若该市规定在中山路上机动车车速大于 70km/h 要处以罚款，已知该天这个时段有 270
9．已知 a,b 方程 x2 x 2020 0 的两个根，则代数式 a2 b ________．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知：A（3,2），B（-2,3），连接 OA，AB，则tan∠A= Nhomakorabea．
11．如图，等边三角形 ABC 中,∠ADB=90°,∠BDC=150°且 CD=1,则 S△ABC =
的底边长．
7
8
（1）当点 P 为最．佳．视．角．，已知：PC=24cm 时，求 PD 的长； （2）当 PC=28cm，PD=44cm 时，问点 P 是否为最．佳．视．角．?
（3）当∠AOC=120°，PC= 20 3 cm 时，问点 P 是否为最．佳．视．角．?
图1
图2
20．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，直线
x y 100
A．
x 3
y 3
100
x y 100
B．
3x
y 3
100
x y 100
C．
x 3
3y
100
D．3xxy3y101000
5．如图，在△ABC 中，∠A=45°，经过 A,C 两点的O 交 AB 于点 D，连接 CD,OD,且 BC∥
OD,若 OD=AD，O 的半径为 3，则 BC 的长为(
15. 一个不透明的袋子中，装有标号分别为-1、0、1、2 的四个小球，它们除标号不同外, 其余都完全相同;
(1)搅匀后，从中任意取一个球，“取出的球标号小于 2”这一事件是_______事件 （填“随机”，“必然”或“不可能”）；
(2)搅匀后,从中任取一个球，标号记为 k,不放回，然后再取一个球，标号记为 b,请用画 树状图或列表的方法求能使一次函数 y=k x+b 成立且不经过第四象限的概率．
A． 171.79 ×108 元
B．1.7179×109元 C．1.7179×1010 元 D． 1.7179×1011元
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a²a²=2
B．(a+b)²=a²+b² C．(2a)³= 8a³ D．2(a1)= 2a+2
4．中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦， 大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大 马 x 匹，小马 y 匹，则下列方程正确的是（ ）
2
14．先化简再求值: (1
3 ) x+1
x2
4x x2 1
4
x 2＞ 0
1
，其中
x
是不等式组
5
2
x＞（3
x
1）
的整数解．
17．在等腰△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作圆交 BC 于点 D，请仅用无刻度的直尺，根据条 件分别在图 1，图 2 中，画出一个圆内接等腰△BDE． (1) 在图 1 中，DB=DE; (2) 在图 2 中，EB=ED．
y
=
2x+6
与曲线
y
=
k x
（x＜0）相交于点
A（1，
m），与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求 k 的值；
（2）过点
p（n,0）作平行于
y
轴的直线交曲线
y
=
k x
（x＜0）与点
M，交直线
AB
于点
N，
连接 OM．
①当 n= 2 时，判断四边形 OCNM 的形状，并说明理由；
②若 S△MBC＜S△OBC 时，直接写出 n 的取值范围．
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．在矩形 ABCD 中，AD＞AB，连接 AC，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，平移
线段 AE 得到线段 DF（点 A 与点 D 对应，点 E 与点 F 对应）,连接 BF，分别交 AD，AC 于点 G，点 M，连接 EF． （1）求∠BFE 的大小；
辆车辆被罚款，请估算当天这个时段在该市中山路上机动车的车流量．
4
19．如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形．若 显示屏 AO 与键盘 BO 长均为 24cm，点 P 为眼睛所在位置，D 为 AO 的中点，连接 PD，点 C 在 OB 的延长线上，PC⊥BC，BC=12cm．当 PD⊥AO 时，称点 P 为最．佳．视．角．．
1．2020 的相反数是（ ）
A．2020
B．2020
C．
1 2020
D．
1 2020
2．2020 年初，新冠肺炎肆虐，牵动着全国亿万人民的心，为全力救治患者，截至 2 月 19 日，
国家医保部门向各省（区、市）及新疆生产建设兵团，提前拨付定点救治医疗机构的专项
资金 171．79 亿元，其中 171．79 亿元用科学记数法表示为（ ）
（2）连接 CE,交 BF 于点 N，若 AB=3,BC=6,设 BM=m,NF=n，求 m • n 的值．
5
6
22．定义:已知 A（x1 , y1）,B（x2 , y2）是抛物线 y = x2 上的两个不同点，我们将线段 AB 的长为此
抛物线的一条弦长，且 AB (x1x2)2 (y1y2)2 ．
（1）若点 C 是抛物线上的一点，且 OC= 2 5 ，求点 C 的坐标；
（2）已知直线 y = kx + 14（k ≠ 0）.
①求证直线
y
=
kx
+
1 4
与抛物线
y
=
x2
一定有两个不同的交点；
②设①中的两个交点为 M,N，求弦长 MN（用含 k 的式子表示）．
（3）设 AB 为抛物线 y = x2 的弦，弦长为 2,AB 的中点为 P(m,n),求 m,n 之间的等式关系．
16．如图 1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用 n 个这样的图形，按照如 图 2 所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． (1)小明用 6 个这样的图形拼出来的图形总长度是多少？（用含 a、b 的式子表示） (2)小明用 n 个这样的图形拼出来的图形总长度是多少？（用含 a、b 的式子表示） (3) 当 a=5，b=4 时,小明说他用若干个这样的图形拼出了一个总长度为 2020 的图形，你觉得 可信吗？请说明理由．