福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 数学

2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷

命题人: 审核人:高三备课组

(满分:150分,时间:120分钟)

一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)

1.设集合A={y| y=4-x2},B={x| y=4-x2},则( ) A．A=B B. A⋂B=∅ C. A⊆B D. B⊆A

2.复数z满足i⋅z=1-2i,是z的共轭复数则z⋅= ( )

A. 3

B. 5

C. 3

D. 5

3.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-λb)⊥c,则λ= ( )

A.3

B.2

C.-2

D.-3

4.已知f(x)=e-x+k e x(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是( )

A B C D

5. 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若

sinα=2 3,

则cos(α-β)= ( )

A.1

9 B.

45

9 C.-

1

9 D.-

45

9

6. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为θ1︒C,空气温度为θ0︒C,那么t分钟后物体的温度θ(单位︒C)可由公式：θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100︒C的物体,放在20︒C的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60︒C，则再经过m分钟后物体的温度变为40︒C(假设空气温度保持不变),则m= ( )

A.2

B.4

C.6

D.8

7.已知P 是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)上的点,F 1,F 2分别是C 的左,右焦点，O 是坐标原点, 若|OP →+OF 2→|=2|OF 1→|且∠F 1PF 2=60︒，则椭圆的离心率为 ( )

A. 12

B.32

C. 3-12

D. 33

8.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操

作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(13,23

),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,13],[23,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；⋅⋅⋅；如

此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为( )参考数

据:lg2≈0.301,lg3≈0.4771

A.4

B.5

C.6

D.7

二、选择题(4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 2=18, a 5=12, 则下列选项正确的是

( )

A. d =-2

B. a 1=22

C.a 3+a 4=30

D. 当且仅当n =11时,S n 取得最大值

10.已知 A (-2,0),B (2,0),若圆(x -2a +1)2+(y -2a -2)2=1上存在点M 满足MA

→⋅MB →=0,实数a 可以是( )

A.-1

B.-0.5

C.0

D.1

11.若2x =3,3y =4,则下列选项正确的有

( )

A. y <32

B. x >y

C. 1x +y >2

D. x +y >2 2

12.设函数f (x )=a x -x a (a >1)的定义域为(0,+∞),已知f (x )有且只有一个零点,下列结论正确的有( )

A.a =e

B. f (x )在区间(1,e)单调递增

C. x =1是f (x )的极大值点

D. f (e)是f (x )的最小值

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.函数f(x)=e x+sin x在点(0,1)处的切线方程为.

14.将函数y=f(x)图象右移π

6个单位,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的

2倍得到y=sin(x-π

3),则f(

π

6)=_______

15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=CC1=2, BC=1,点M为正方形CDD1C1对角线的交点, 则三棱锥M-A1CC1的外接球表面积为_________

16. 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面

如图所示,O1为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,O2为圆

弧CD所在圆的圆心,点A是圆弧AB与直线AC的切点,点

B是圆弧AB与直线BD的切点,点C是圆弧CD与直线AC

的切点,点D是圆弧CD与直线BD的切点，O1O2=18cm,

AO1=6cm, CO2=15cm, 圆孔O1的半径为3cm, 则图中阴影部分的的面积为________cm2

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在①sin A=2sin B，②a+b=6 ，③ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在求出∆ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题:是否存在∆ABC,它的内角ABC的对边分别为a，b，c且a sin A+B

2=c sin A,c=3,______

18. 已知S n是数列{a n}的前n项和,S n+1=3S n+1,a1=1

(1)证明: 数列{a n}是等比数列，并求a n的通项公式

(2)若b n=(-1)n-1⋅na n,求数列{b n}的前n项和T n