全国Ⅰ卷理科数学2011-2019年高考分析及2020年高考预测

2011-2019年新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析
及2020年高考预测
话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000年，教育部决定实施分省命题．十多年后，由分到合．
2019年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行全科自主命题外，大陆其他省区全部使用全国卷．
研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近9年全国高考理科数学Ⅰ卷(乙卷)和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近9年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共17类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．
本文档是第五次修订，这次修订在第四次修订的基础上为了适应不同基础的考生使用，特别新增了选择题和填空题的解法，解法大都体现“小题小做”．已经删去算法、框图、线性规划、极坐标、不等式选修。

为了帮助同学们研究解答题的压轴题，在文档末，附有函数导数和解析几何这两个重要模块的经典题的解题研究．
1
2
一、集合与简易逻辑
1.集合：
9年7考，都是交并补子运算为主，多与解不等式（一般是解一元二次不等式）等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大． N = {|N x =已知集合A =1x x -<<
033x x <⇒解析：{|B x =B =R {|B x x =B =∅
3
B =
）3
(,3)2 ，则A B = A
｝，则
2.简易逻辑：
9年 1考，只有2015年考了一个全称与特称命题的转化．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．
二、复数：
9年9考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．
4
5
22122
0,0.(,z z a bi a b
z z z z R i i z a i a b -==+-∈=-=-∈以上1i y =+，其中,x y 是实数，则）2 （C
三、平面向量：
9年9考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．
6
7
a 与
b 的夹角为)a b b -⊥，
2)cos a b b a b b θ-⋅=-=0，∴1cos =2θ，∴在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD A.3144AB AC - B. 1344
AB AC - 14AB AC + D.34AB AC + 131(),444
EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-解析：选A ）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= _______2|+2|=+2=12=23a b a b 解析：（） 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)__=0a b 解析：应当立即由已知看出
所在平面内一点，3BC CD =，则
1433AD AB AC =-+ B ）1433AD AB AC =- 4133AD AB AC =+ （4133AD AB AC =-
解析：最好的解法
不要作图，直接利用向量减法法则
8 33(C 3=+4BC CD AC AB AD A AD AB AC =⇒-=-⇒-）
4 2014年 15. 已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
最好的解法：
记忆结论：O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，直径所对的圆周
角为90°．
090
3 2013年 13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.
(1)1022t b c ta b t b b t t =+-=
+-=⇒=解析： 2
2 2012年 14、已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =
210||a b b -=解析：把两边平方后解关于的一元二次方程
32 1 2011年 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦
3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是
（A ）14,P P （B ）13,P
P （C ）23,P P （D ）24,P P 2=2=22cos ,
cos [0,]a b a b y θθθπ±±±=∈解析：2结合余弦函数，单调性
A
四、三角函数：
9年15考，每年至少1题，当考3个小题时，当年就不再考三角大题了．近年主要考解答题，所以小题一般一年一个了。

题目难度一般属于中等难度，近几年难度有加大的趋势,如2016年和2018年都是作为压轴题出现,且开始与导数相联系.主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”.2013年15题对化简要求较高，2018年的难度回归到2013年,难度较大,都可以使用导数求解．2016年的图象考法也是比较难的，所以当了压轴题．2019的考法显然是回归到了多年前的老考法。

9
10
11
12 2016年
(12)已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
，
为()f x 的零点，
4
x π
=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5(
)1836
ππ
，单调，则ω的最大值
为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5
4422=1111
1133
2==22244411
2=99
911
2==2224449
T T πππ
π
ωπ
ππ
ωπ
π=
=
解析：检验法：因为-到是，
若，则由，作出个周期的图象，验知不合题意；若，则由，作出个周期的图象，验知合题意。

B
11 2015年
（2）sin 20cos10cos160sin10-=
（A ）32-
（B ）32 （C ）12- （D ）12
1
=sin 20cos10+cos 20sin10sin 30=
2=解析：原式
D
10
2015年 （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为
（A ）13
(,),44k k k Z ππ-+∈
（B ） 13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
（C ）13
(,),44
k k k Z -+∈
D
12
（D ）13
(2,2),44k k k Z
-+∈
2D
最好的解法：只需看周期是，所以选
9
2015年 （14）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，
BC=2，则AB 的取值范围是 .
EAB A=B=75BFC=75AB BF BE BF BE
∆解析：先作，使∠∠，再作∠，
则的长应该大于，小于，再用正弦定理求，
(62
-，62)+
8
2014年 6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P
是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
3=424
=0x x ππππ解析：中值法，只需验证，，，
，这两个端点就不需要验证了，因为都一样
B
7
2014年
8.设(0,)2πα∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos β
αβ+=，则
A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22π
αβ+=
B
13
cos 1cos cos cos sin sin()sin()
2,),(0,)
2222
=
2=
2
2
ββααβαβπ
αβαπππ
π
αβαπ
π
ααβ=+=+⇒--=--∈-∈-⇒-（-（化为同一个单调区间）,S=
此时直接记忆结论：
当三角形为等边三角形时面积最大，再记忆结论
14
15
,AC
sin )27sin(c C A ++-五、立体几何:
9年16考，但这里只留下7个了，因为其它为三视图已经删去了。

主要计算球的体积和表面积．其中，
我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．但是异面直线所成的角是否可以考（对2016年预测）。

球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．（果然2016年11题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展空间想象能力和解题思路上与异面直线完全相同）,2018年的第7题的考法体现了立体化为平面的思想方法,2018年12题的考法很好地考查了空间想象能力,也是作为压轴题出现.
可以看出,全国卷不拘泥于在哪个知识点设计小题的压轴题,近年三角、立体几何、数列都曾作为压轴题出现.
16
解析：设PA x =，
则2222222
-42
cos =22PA PC AC x x x PAC PA PC x x x
++--∠==⋅⋅⋅， ∴2222cos CE PE PC PE PC PAC =+-⋅⋅∠
2222
2222424
x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+， ∵90CEF ∠=︒，1,322
x
EF PB CF =
==， ∴2
2
2
CE EF CF +=,即22
2344
x x ++=，解得2x =，
∴2PA PB PC ===
，又2AB BC AC ===，
易知,,PA PB PC 两两相互垂直，
故三棱锥P ABC -的外接球的半径为
6
2
， ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为3
46632ππ⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
，故选D. 6 2018年
12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A.
433 B. 332 C.423 D. 23
A
17
2OA OB OC ABC ABC 23233S=(62424
∆⨯⨯=解析：先考虑选三条从同一个顶点出发的棱，，，不难发现平面满足与所有棱成等角，但ABC 不是面积最大的，
进一步考虑平移平面，得到符合条件的截面是一个正六边形，其边长为
，面积为),选A
5 2017年
(16)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△
ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰
三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______． 解析：如图，易知AEC ABF BCD ∆∆∆≌≌ 连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥
设OG a =，则5GD a =-，易知ABC ∆的高为
3a ，边长为23a ，
故21
323332
ABC S a a a ∆=⨯⨯=
设折叠后,,D E F 交于点P 则，PO 即为三棱锥的高，
()
2
22252510PO GD OG a a a =-=
--=-
∴三棱锥的体积22153325101552032V a a a a a ⎛
⎫=⨯⨯-=-<< ⎪⎝
⎭
设()
5205t a t =-<<，则2
52
t a -=
()()2
25
35151510254
4
t V t t t t -∴=
⨯
=
-+ ()()'2
2515154
V t t =
-- 415
18
111111*********ABCD CB D ABCD A B C D B D ABA B DCC D D C 3
CB D sin 60=
A.2
.
n α
αα∆解析:在平面中，用平面代替，
平面用平面代替，则m 可以用代替，同理，用代替，则可用代替，
显然为等边三角形，，所以答案为本题用了平行（线面夹角）的不变性，无须作出
易知当1t =时体积有最大值，3max 415V cm =
4 2016年
(11)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，
α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α
平面
ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为
(A)
32 (B )22 (C)3
3 (D)13
A
3 2015年
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五
尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，
米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
B
22012年（11）已知三棱锥S ABC
-的所有顶点都在球O的球面上，ABC
∆
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2
SC=；则此棱锥的体积为（）
()A
2
6
()B
3
6
()
C
2
3
()
D
2
2
解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然
O ABC
-是棱长为1的正四面体，其高为
6
3
，
故
1362
34312
O ABC
V
-
=⨯⨯=，
2
2
6
S ABC O ABC
V V
--
==．
A
12011年（13）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且
6,23
AB BC
==,则棱锥O ABCD
-的体积为 .
83
六、推理证明：
9年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的．
2017年，在全国2卷数学理科出了推理题， 2019年，在全国2卷数学文科出了推理题，也列在下表中。

一些考点在全国各卷中交错考，这是显然的。

年年推陈出新，命题组也愁啊。

只能改头换面，换个地方考了。

序号年份题目答
案
3（2019•全国（1）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． A
19
20
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.
1 2014年 （13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.
A
七、概率：
9年9考，2013年没考小题，2019年考了两个小题．主要考古典概型和相互独立事件的概率．条件概率、几何概型没有考过．是不是该考了？（当时写5年分析时的预测）果然在2016年考了几何概型，而且在全国II 中考了条件概率.2018年的考法显然是初中平面几何的经典题,已经连续3年考几何概型了（2016年长度，2017年、2018年都是面积）。

是不是要考测度是体积的了？
序号
年份
题目
答案
9 2019年 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．516
B ．11
32
C ．
21
32
D ．1116
解析：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个
是阳爻的情况有3
6
C 种，所以366205
26416
C P ===.
A
22
8
2019年 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是__________． 解析：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：
1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.
0.18
7
2018年 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的
斜边BC ，直角边AC AB ,.ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为321,,p p p ，则
A. 21p p =
B.31p p =
C. 32p p =
D. 3
21p p p +=
AB AC ABC 222
AB AC BC ++-1111+=[AB AC BC 2222
ABC ABC π∆∆半圆半圆半圆黑色半圆半圆半圆黑色解析：S =S S S S ,
S S -S （）+（）-（）]=0,所以S =S ，选A
A 6
2017年 （2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：设正方形边长为1，
则1ABCD
S =，2
11228S ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭
黑，故概率为
8π
B
14
π
812
π
4
23
5 2016年 （4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A ） 13 （B ）12 （C ） 23 （D ）3
4
1
2
解析：本题是全国卷首次考几何概型，7:50-8:00,8:20-8:30这两个时间段共20分钟作为分子，40分钟为分母，故概率为
B
4
2015年
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则
该同学通过测试的概率为
（A ）0.648 （B ）0.432
（C ）0.36
（D ）0.312
21230333C 0.40.6+C 0.40.6=0.648解析：
A 3
2014年 (5).4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .78
D
2
2012年 （14）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使
用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使
用寿命超过1000小时的概率为
38
1 2011年（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小
组的概率为
（A）1
3
（B）
1
2
（C）
2
3
（D）
3
4 311
333
P
⨯
==
⨯
解析：
A
八、统计：
9年2考，2013年考了一个抽样方法小题，2018年考了饼图．这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图及各种统计图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、正态分布等．
序
号
年份题目答案
1 2018年 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，
实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了
该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下列结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
24
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中
小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地
区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大
差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方
法中，最合理的抽样方法是
A、简单随机抽样
B、按性别分层抽样
C、按学段分层抽样
D、系统抽样
九、数列：
全国Ⅰ理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了2013年和2012年的数列小题，其它三年没有考小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年．难度上看，一般会有一个比较难的的小题，如2013年的12题，2012年16题，2017年12题，它们都是压轴题，但是2018年的两个小题都不难．
25
26
27
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是0
1
2,2，再接下来的三项是0
1
2
2,2,2，依此类推．求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
28
101211121r ,
214,2(12)
12
22222222,
2,23,
14,15,16,,29,30n n n r n n r a n a n n n ---+-+=≥-+=--=++++++++++=+=+由题意：中的应该等于即，显然符29,r 29(291)
N=
+5=4402
n =+合条件的将数列按照等比数列进行分组，即第一组：4…第M
a的最大值为
n
,合题意，易得答案．
S
项和为S n，S＝－2，
m
D、6
29
30
（12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n
2，则( ) A 、{S n }为递减数列
B 、{S n }为递增数列
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
分析：1读题即对应: 设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为
S n ，n =1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，(首项关系)a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n
2，（由1知2，由2知3，找规律，就这样进行下去，进而运算） 2解题即流程：
由1知2：1是11111,2b c b c a >+==2m(m 为常数)，111122
S a h mh == 2是21a a m ==，1122c a b +=
，11
22
b a
c += 111112212222222
b c a a a b c a m +++∴+=
===
由2知3：3是32a a m ==，332b c m +=
由3知4：4是43a a m ==，442b c m +=
找规律：n a m =（m 是常数），2n n b c m +=，即动点n A 的轨迹是以点B 、C 为焦点的椭圆
31
∴n n n A B C ∆边BC 的高h 随着n 的增大而增大，（看图说话）故面积是一个
递增数列，选B ．
3解题过程：由1知2：1是11111,2b c b c a >+==2m(m 为常数)，
111122
S a h mh =
= 2是21a a m ==，1122c a b +=
，11
22
b a
c += 111112212222222
b c a a a b c a m +++∴+=
===
由2知3：3是32a a m ==，332b c m +=
由3知4：4是43a a m ==，442b c m +=
找规律：n a m =（m 是常数），2n n b c m +=，即动点n A 的轨迹是以点B 、C 为焦点的椭圆
∴n n n A B C ∆边BC 的高h 随着n 的增大而增大，（看图说话）故面积是一个
递增数列，选B ． 或者由12n n n c a b ++=，12n n n b a c ++=，作差111
()2
n n n n b c c b ++-=-，随着n 增大，
n b 与n c 趋近与相等，高越接近短半轴，面积逐渐增大．
3
2013年 15、若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133
n
a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.
11121
1133
n a a a ==
+⇒=解析：当时， 1
(2)n --
32
十、圆锥曲线：
9年18考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一．
33
34
17 2019年
16．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，
F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB
=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为_______．
解析：由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是
1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12
,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，
所以1OB OF =，因此1
FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，1
2FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b
e a
=+=+︒=.
2
16 2018年
8.设抛物线x y C 4:2
=的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为
3
2的直线与C 交于N M ,两点，则FM FN ⋅=
A. 5
B.6
C. 7
D. 8
22
MN (2)2,M(4,4),N(1,23
8,D y x x FM FN =
+=⋅=解析：：联立y 解得）,F(1,0),
FM=(3,4),FN=(0,2),选 D 15 2018年
11.已知双曲线13
:22
=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为N M ,.若OMN ∆为直角三角形，则=MN
A.
2
3 B. 3
C. 32
D. 4
B
35
0FN=FM=MN=，15，，
2，1，所以4x =的焦点，过22214114(1||||DE |4(1),||+|DE k k k k k AB ∆+=+==+所以22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为60，则C MN 到的距离
36
120MF MF <，则33,)66（C ）(22
212
MF =x MF =(y x ２解析：设Ｍ则（－３－，－３
），－３＋ｙ＜０，－ｙ＝１，ｙ＜
37
9 2015年
（17）一个圆经过椭圆22
1164
x y +
=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为
2
2
(a 0),DB =DA 4a a a ⇒解析：设圆心为Ｄ，由得
３－＝＋４＝，注意两个解．
2
3()2x ±2254
y +=
8
2014年
4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A .3
B .3
C .3m
D .3m
22
1,33
x y b -==化为标准方程：记忆结论：
３ｍ双曲线的焦点到渐近线的距离为
A
7
2014年
10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，
Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
4FP FQ =，则||QF =
A .
72 B .5
2
C .3
D .2 C
|QF|t |QE|=t,3
,3,|QF|=344
EQ PQ
KF PF t t =
==解析：设=,则由抛物线定义由平行线得即即
6 2013年
4、已知双曲线C ：22221x y a b
-=（0,0a b >>）的离心率为5
2，
则C 的渐近线方程为
A .14y x =±
B .13y x =±
C .1
2
y x =± D .y x =±
225
,2,5,1,
2
1
2
c a c b c a a b y x y x
a ===∴=-=∴=±=±解析：可取渐近线即
C
5
2013年
10、已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F
的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，
则E 的方程为
A 、2214536x y +
=B 、2213627x y +=C 、2212718x y += D 、22
1189x y +=
2
22
222222,
101
1,1,
312
1
1,9,18,92OE AB AB EF OE
b k k a k k k b
c a b a b a
=----==
=-==--∴==-=∴==解析：点差法，最好记住又又 D
4 2012年
（4）设是椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线上一C
12F F 32
a
x =
的等腰三角形，则39
2
ABF的周长为
解析：显然
十一、函数：
9年20考，可见其重要性！主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？
5．函数f(x)=在[,]
-ππ的图像大致为
A．B．
C．D．
解答：∵
()
()()2
sin
()
cos
x x
f x
x x
--
-=
-+-
=
2
sin
cos
x x
x x
+
-
+
()
f x
=-，2
sin
cos
+
+
x x
x x
40
41
42
lg8lg9lg lg lg 2lg30,23,a a x y -=>∴
222(2)(2)=887.30.7,C D 0()2,()4,(0)=10,(2)887.30.70()0,2()0,2.
x x f f e x f x x e f x x e f f e f x f x -=-≈'>=-=-''-<=-=-≈>'解析：用一个特殊值就可以排除所有选项，当然若是认为、不好排除，则需考虑极值点的差异，需要考虑导数。

时，∵∴在（）上是有零点的,在（）上是有极值点的
1a b >>01c <<
43
12.设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 （A ）3[,1)2e -
（B ）33[,)24e - （C ）33[,)24e （D ）3[,1)2e
44
11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为
A .（2，+∞）
B .（-∞，-2）
C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
45
A .(,0]-∞
B .(,1]-∞
C .[-2,1]
D .[-2,0]
6 2013年
16、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图象关于直线x =－2对称，则
()f x 的最大值是______.
222222,()(1)(815)=(1)(+1)(3)(5)(45)(43)
(8)(4)16,45a b f x x x x x x x x x x x x t t t t x x =-++--++=-+-++=-+=-++=+-利用对称求出后最好用初等解法，配方换元：下面是资料中的导数法
16
46
（10） 已知函数1
()ln(1)f x x x
=+-，则()y f x =的图象大致为
1
()10},D
ln(1)111
(1)0,(1)0B
1ln 21e 1(1)e f x x x x x x
f f =
>-≠+-=<-=<----解析：首先看定义域{|且排除再由知选
（12）设点P 在曲线1
2
x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为
()A 1ln2- ()B
2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+
(12)函数
1
1
y
x
=
-
的图像与函数2sin(24)
y x x
π
=-≤≤的图像所有交
点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
47
十二、排列组合二项式定理：
9年8考，二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.
__.（用数字
48
49
十三、三角函数大题和数列大题：
在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．
50。