正态总体方差的假设检验

Y 1,Y 2, ,Y n为来自N (正 2,2态 2)的总 样 , 体 本
且设两,其 样样 本本 独 S12,方 S 立 22. 差为
又 设 1,2,12,22均为, 未知
需要检验假设:
H0
:

2 1

22,
H1
:
2 1


2 2
,
当H0为真, 时 E (S 1 2 )1 2 2 2 E (S 2 2 ),
拒绝域为:
(n 1)s2

2 0

11.524,或(n012)s2
44.31.4
因(为 n 0 12)s225 59020 00 40644.31, 4
所以拒H绝 0,
认为这批电池的寿命的波动性较以往的有
显著的变化.
例2 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布,
按规定产品尺寸的方差 2不得超过0.1, 为检验该 自动车床的工作精度, 随机的取25件产品, 测得样
本方差 s2=0.1975, x3.8.6问该车床生产的产品
是否达到所要求的精度? (0.05)
解 要检 H 0 :验 2 0 .1 ,假 H 1 :2 设 0 .1 ,
n25, 0 2.0(52)43.6 41, 5
因(n 为 0 1 2 )s22 4 0 0 ..1 19 7 4.5 4 736.41,5
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需令
P
2 1

2 2
S1122
S22

2 2

k

.
根据第六章§2定理四知
S12
2 1
S2 22 2~F(n11,
n21).
即 k F (n1 1, n2 1). 检验问题的拒绝域为 Fss1 22 2F(n11, n21). 上述检验法称为 F 检验法.
.
例6 研究机器A和机器B生产的钢管的内径 ，
随机抽取机器 A 生产的管子18 只，测得样本方差
s12 0.34(mm2 )；抽取机器B生产的管子13只，
测得样本方差 s22 0.29(mm2 )。设两样本相互独
立，且设由机器A,机器B生产的管子的内径分别服
从正态分布
N
(
1
,

2 1
)
,
s12 0.34, s22 0.29, s12 s22 1.17 1.96
故接受 H0 .
于是 (n1)s2
02
140.05 63 4 .84 24 .1 6,19 0.0225
所以拒H0绝 ,
认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化.
二、两个总体 N (1 , 1 2 )N ,(2 , 2 2 )的情况
设 X 1,X 2, ,X n为来自 N ( 正 1,12)的 态样 总 ,
(n 1)s2

P
2 0
{(

2 0
k1)} 2 ,
(n 1)s2

P
2 0
{(

2 0
k2} 2
故得
k1

2 1
(n
2
1), k2
2 (n 1) 2
（3.1）
于是得拒绝域为
(n 1)s2

2 0

2 1
2
(n

1)
或
(n 1)s2
Hale Waihona Puke Baidu

2 0

当H1为真, 时 E (S 1 2 )1 2 2 2 E (S 2 2 ),
当H1为真, 时 观察值
S12 S22
有偏大的趋势,
故拒绝域的形式为
s12 s22
k,
此处k的值由下式确 : 定
P {H 0为 ,拒 真 H 0 绝 }P1222
SS1222
k

P 1 2 2 2 S 1 1 2 2S 2 2 2 2 k , (因1 2 为 2 2 1 )
N
(

2
,

2 2
)
，这里
i
,

2 i
(i
1, 2)
均未知。作假设检验:(取


0.1)
H0
:

2 1


2 2
,
H1
:

2 1


2 2
.
解： 此处
n1 18, n2 13, F (18 1,13 1) F0.1(17,12) 1.96
拒绝域为
现在
s12 s22
1.96.
(0.02)
解 要检 H 0 :2 验 5,0 假 H 1 0 :2 0 设 5,00
n26, 0.0,2 02 500,0
2 /2 (n 1 )0 2 .0(2 1) 5 4.3 4,14
1 2 /2 (n 1 )0 2 .9(2 9) 5 1.5 1 ,24
2 (n 1) 2
上述检验法为
2
检验法。关于方差
2的单边检
验法得拒绝域已在附表中给出。
例1 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以 来服从方差 2 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一 批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 方差 s 2 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?
第三节 正态总体方差的假设检验
单个总体的情况 两个总体的情况 课堂练习 小结
一、单个总体的情况
设总体 X N (, 2 ), , 2 , 均属未知，
x1, x2 , , xn 是来自X的样本，要求检验假
设（显著性水平为 ）：
H0
:
2


2 0
,
H1
:
2


2 0
.

2 0
为已知常数。
取统计F量
sx2 sy2
0.3450.964,4 0.357
0 .14 F 8 4 .8,2 故接H 受 0, 认 为 x2y2.
例5 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:
x 3 .0,9 y 3 .1 7,s 7 x 2 2 9 .6 ,s y 7 2 1 .2 , 1 假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资
0 .2 4 F 2 8 .1 4 2 .0 , 3
故接H 受 0, 认 为 x2y2.
再验 x证 y,
假 H 0 :x 设 y ,H 1 :x y .
取统计量 t X Y ,
Sw
11 n1 n2
其中
Sw2

( n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
所以拒H0绝 , 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度.
例3 (续第八章第二节例1)如果只假设切割长度 服从正态分布, 问该机切割的金属棒长度的标准
差有无显著变化? (0.05)
解 因为 X~ 总 N (, 体 2),,2均为 , 未知
要检 H 0 : 验 0 .1 ,5 H 假 1 : 0 .1 设 ,5

2 0

k1
或
2

(n 1)s2

2 0

k2
2

(n 1)s2

2 0

k1
或
2

(n 1)s2

2 0

k2
此处的 k1, k2 值由下式确定：
P{拒绝 H0 H0为真}
＝
(n 1)s2
P
2 0
{(

2 0
k1)
(n 1)s2
(

2 0

k2}
为计算方便起见，习惯上取
即 H 0 :2 0 .0,2 H 1 : 2 2 5 0 .0,225
n15, x1.04,80.0,5 s2 0.05,6
因为(n1)s2
02
1 40.05634.84, 4 0.0225
查表得 1 2 /2 (n 1 )0 2 .9( 7 15 ) 4 5 .6,29 2 /2 (n 1 )0 2 .0( 2 15 ) 4 2.1 6 ,19
由于 s2 是 2 的无偏估计，当 H0为真时 ，比值
s2

2 0
一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1
或 我过们分取小于2 1(。n 由102)于s2当作H为0检为验真统时计, 量(n，102)如s2 ~上所2(n说1).
知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：
2

(n 1)s2
例4 两台车床加工同一零件, 分别取6件和9件测
量直径, 得: sx20.34sy25,0.35假7定.零件直径
服从正态分布, 能否据此断定 x2 y2.(0.05)
解 本题为方差齐性检验:
H 0 :x 2y 2 , H 1 :x 2y 2 .
F 0 .0( 2 5 ,58 ) 4 .8,2 F 0 .97 (5 ,58 )0 .1,48
料有无明显差别? (0.05)
解 根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.
假 H 0 :设 x 2 y 2 , H 1 :x 2 y 2 .
F 0 .0( 2 9 ,59 ) 4 .0,3 F 0 .97 (9 ,59 )0 .2,48
取统计F量
sx2 sy2
2.672.12, 1.21