RC电路响应和三要素法

求 稳态值 （三要素） 时间常数
零输入响应: 无电源激励, 输 + u– R 入信号为零, 仅由电容元件的 + 1 + uC U 初始储能所产生的电路的响应。 iC – 实质：RC电路的放电过程 图示电路 uC (0 ) U 换路前电路已处稳态 uC (0 ) U t =0时开关 S 1 , 电容C 经电阻R 放电 1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程 uR uC 0 一阶线性常系数 duC 齐次微分方程 C C uR R dt duC 代入上式得 RC uC 0
uC

uC t uC
仅存在 于暂态 过程中
-U
uC U
t ( 1 e RC
暂态分量
) U ( 1 e ) (t 0)
t
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R 3. uC 、 iC 变化曲线

t
为什么在 t = 0时 电流最大？
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3.2 RC电路的零状态响应
s
i R
零状态响应: 储能元件的初 + t 0 + 始能量为零， 仅由电源激励 U C _ uC _ 所产生的电路的响应。 uC (0 -) = 0 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一 u 个阶跃电压u，如图。 U 与恒定电压不同，其
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。 f(t)
终点
f ()
f (0 )
O

起点
0.632 [ f () f (0 )] f (0 )

t
响应中“三要素”的确定 (1) 稳态值 f ( ) 的计算
C
1 2 3
t
(3) 暂态时间 理论上认为 t
、uC 0电路达稳态 工程上认为 t ( 3 ~ 5) 、 C 0电容放电基本结束。 u
t e 随时间而衰减
t
e
t

1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
uC
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
t 0
s
i R
C
+ _ uC
根据叠加定理 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
uC (0 -) = U0
uC U 0
t e RC
t U ( 1 e RC
) ( t 0)
结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 零输入响应
t e RC t U ( 1 e RC
电阻电压：
dt
R
u R iC
t R U e RC
uR
t
iC
3、uC、iC、u R变化曲线
4. 放电时间常数 令:
(1) 量纲
RC
单位: S
q It RC R R U U
A s Ω s V
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
(2) 物理意义
当t
时
uC
AU (3) 电容电压 uC 的变化规律
t0 电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减， 衰减的快慢由RC 决定。
uC U e

t RC
uC (0 ) e
t

2. 电流及电阻电压的变化规律 电容电压
t U e RC
uC
放电电流
uC
O
t duC U RC iC C e
若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列 t =0+ 时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。 (3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L R0
对于一阶RL电路 注意：
1) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ; 2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
(2) 初始值f (0 ) 的计算 1) 由t=0- 电路求 uC (0 )、i L (0 ) 2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的 u(0 )或 i (0 ) 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ， 电容元件用恒压源代替， 其值等于U 0 ; 若 uC (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。 (2) 若 i L (0 ) I 0 0 , 电感元件用恒流源代替 ， 其值等于I0 , 若i L (0 ) 0 , 电感元件视为开路。

s
+ Ut 0 _
i R C + _ uc
uC (0 -) = Uo
uC U (U 0 U )e uC () U 稳态解 uC (0 ) uC (0 ) U 0 初始值 t uC uC ( ) [uC (0 ) uC ( )] e RC
iC uC
U R
uC U
t ( 1 e RC
U
uC
)
4. 充电时间常数 的物理意义 当t=时

iC
t
uC ( ) U (1 e 1 ) 63.2 %U
表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。
3 .3 .3 RC电路的全响应
全响应: 电源激励、储能元 件的初始能量均不为零时，电 路中的响应。 1. uC 的变化规律 + U _
电路响应的变化曲线
f (t )
f ( ) f ( )
f (t )
O
(a) f (0 ) 0
f (t )
f (0 )

f (0 )
t
O
(b) f (0 ) 0
f (t )

t
f (0 )
f ( )
O
(c ) f ( ) 0

t
O
f () 0 (d )
t
三要素法求解暂态过程的要点
方程的通解: uC uC uC U Ae
C

RC
求特解 ---- u'C（方法二）
u'C ( t ) uC () U
duC RC uC 0 的解 通解即： t dt Ae pt Ae RC 其解：uC
微分方程的通解为
求对应齐次微分方程的通解 uC
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴 维宁定理解题时计算电路 等效电阻的方法。即从储 能元件两端看进去的等效 电阻，如图所示。
-
U0
应用举例
电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于 例1： 稳态。试求电容电压 uc 和电流 i 2 、 C。 i t=0 S
求换路后电路中的电压和电流 ，其中电容 C 视 为开路, 电感L视为短路，即求解直流电阻性电路 中的电压和电流。 iL 例： t=0 S 5k t =0 S 3
+ 10V 5k C +u - C 1 F 6 6 6mA 1H
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
t ( t ) U e RC
uC Ue
1
36.8
Baidu Nhomakorabea0 0
U
时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的 36.8 0 0
所需的时间。
时间常数
uC Ue RC Ue
的物理意义 t

t
τ RC
uc
U
0.368U 0
1 2 3
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
t U )e RC
零状态响应
全响应
uC U 0
) (t 0)
(t 0)
U (U 0
稳态值
稳态分量 初始值
暂态分量
结论2： 全响应 = 稳态分量 +暂态分量
2、时间常数 t 0

U
2
3
4
5
6
uC
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
课前提问：
图示电路在换路前处于稳定状态，在t=0瞬间将开关S闭合， 则i(0)为( )。
(a)0A
(b)0.6A
(c)0.3A
答：（a）
第3章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件、电容元件
3.2 换路定则与电压和电流初始值的确定
3.3 RC电路的响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.5 微分电路和积分电路
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方 程解的通用表达式： 式中,
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
t

f (t )：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f (0 )-- 初始值 f ( ) -- 稳态值 （三要素） -- 时间常数 利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f (0 ) 、 f ( )和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
3.6 RL电路的响应
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电 路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值
uC uC uC U Ae
确定积分常数A


t
（令 RC）
根据换路定则在 t=0+时， uC (0 ) 0
则A U
(3) 电容电压 uC 的变化规律
uC
稳态分量
+U 电路达到 63.2%U 稳定状态 o 时的电压 -36.8%U
U
Ue

t RC
uC
0 t0 电压u表达式 u U t 0
O 阶跃电压
t
3.3.2 RC电路的零状态响应
1. uC的变化规律 (1) 列 KVL方程 +
t 0
s
i R C
+ _ uc
uR uC U
U _
duC RC uC U uC (0 -) = 0 dt 方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 即 uC ( t ) uC uC 一阶线性常系数 (2) 解方程 duC RC uC U 非齐次微分方程 求特解 u'C ： dt dK 设：u'C K 代入方程, U RC K dt 解得：K U 即：u' U t
(2) 确定稳态值 uc ( ) 由换路后电路求稳态值 uc ( ) 9mA
6 3 3 uC ( ) 9 10 10 63 18 V
3
+ R ) 6k uC (0t=0-等效电路
(3) 由换路后电路求 时间常数
R0C
9mA
R 6k
+ 3k uC ( )
9mA R 6k
uC+ C
iC
i2
3k 9mA
-
2F
+ R ) 6k uC (0t=0-等效电路

t
解： 用三要素法求解
uC uC ( ) uC (0 ) uC ( ) e (1)确定初始值 uC (0 ) 3 3 由t=0-电路可求得 uC (0 ) 9 10 6 10 54 V 由换路定则 uC (0 ) uC (0 ) 54 V
3 .3 .1 RC电路的零输入响应 2 t 0
S
R
c
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得
-
6 3 10 3 2 10 6 63 4 10 3 s
uC
0.632U
t 1 2 3 结论： 越大，曲线变化越慢，uC达到稳态时间越长。 当 t = 5 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值。
O
1 2 3
3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
仅含一个储能元件或可等效 为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为 一阶线性电路。 据经典法推导结果 全响应 t