复旦大学2012-2013数学分析B下B卷

2012-2013复旦大学数学分析B(II)

B 卷

一、严格表述题（每题3分，共3题 ，共9分）

1. 请用N -ε语言表述：h x n n =∞

→lim 。

2. n 元函数的中值定理。

3. 第二类曲面积分。

二、填空题（每题4分，共7题，共28分）

1. 曲面xy e z z

+=在点)0,1,1(-处的法线方程为 。

2. 设方程x y y x arctan ln

22=+确定函数)(x y ,则=dx

dy

。

3. )ln(xy y z =，则=z d 2

。

4. 函数⎩

⎨⎧-∈∈=)0,[,0)

,0[,)(ππx x x x f 的Fourier 级数为 。

5. 级数∑∞

=+1

2

)1(n n

n x 的收敛域为 。 6. 向量场k j i a )1ln(),,(2

2z x ye xy z y x z +++=在点)0,1,1(的散度为a div = 。

7. 已知dx dy y dx y d 442

2=+，则)(x y = 。

三、判断简答题（判断下列命题是否正确，如果正确的，请回答“是”，并给予简要证明；如果错误

的，请回答“否”，并举反例。）（每题5分，共3题，共15分）

1. 设级数∑∞

=1n n x 收敛, 1lim =∞→n

n

n y x , 则级数∑∞

=1n n y 收敛。 2. 函数项级数∑∞

=+-12

)1(n n

x

n 在实数域上一致收敛。 3. 设函数),(y x f z =在点),(00y x 处的所有方向导数均存在,则),(y x f z =在点),(00y x 处可微。

四、计算题（每题6分，共5题，共30分）

1. 求级数∑∞

=+1

)1(n n

n n x 的收敛域，并写出其和函数。

2. 设v

u z =，其中22ln

y x u +=，x

y

v arctan =，求dz 。

3. 计算

⎰⎰-D

dxdy y x )2(，其中D 为直线1=y ,032=+-y x 与03=-+y x 所围成的闭区域。

4. 求⎰

-+++-L

dy y x dx y x )653()42(，其中L 是顶点为)0,0(，)0,3(和)2,3(的三角形正向边界。

5. 求

⎰⎰∑

++dS z y x )(，其中∑为球面2

222a z y x =++上)0(a h h z <<≥的部分。

五、证明题（共3题，共18分）

1.（6分）已知0>n x ，0)1(

lim 1>-+∞→n n

n x x n ，试证明：级数∑∞=+-1

1)1(n n n x 收敛。

2.（6分）设10<

x yx y

1

)1(<-。

3.（6分）设立体Ω由旋转抛物面2

2

:y x z +=∑与∑在点),,(2

2

b a b a +)0,0(>>b a 处的切平面以及圆柱面

222)()(r b y a x =-+-)0(>r 所围成，证明Ω的体积仅与圆柱面的半径r 相关，而与点),(b a 的位置无关。

答案

一、

1．答：εε->->∀∃>∀h x N n N n :,,0， 且}{n x 中有无穷多项满足ε<-h x n

2. 答：设n 元函数)x ( f 在凸区域n D R ⊂上可微,则对于D 内任意两点0x 和x x 0

∆+，:

)1,0(∈∃θx )x x (grad )x ()x x (000 ∆•∆+=-∆+θ f f f 。

3. 答：设

∑

为定向的光滑曲面，曲面上的每一点指定了单位法向量)cos ,cos ,(cos γβα=n

。如果

k z)y,,(j z)y,,(i z)y,,P(z)y,,(

x R x Q x x f ++=是定义在∑上的向量值函数，称

⎰⎰⎰⎰∑

∑

++=•dS x R x Q x dS n f ]z)cos y,,(z)cos y,,(z)cos y,,P([γβα

为f 在∑上的第二类曲面积分。

二、 1.⎪⎩⎪

⎨⎧=+=--0

11

1

1z y x 。 2.y x y x -+ 3.dxdy x dy y dx x

y 2122

2++-。

4.∑∑∞

=+∞=-+--+1

1

12

sin )1(cos 1)1(4n n n n nx n nx n ππ。 5. [-2，0]。 6. 2 。 7.)(212x c c e x +。 三、

1. 答：否。反例: n x n n 1)1(+-=,n n y n n 1

)1(1+-=

+,则1lim =∞→n n n y x , 级数∑∞=1n n x 收敛, 但级数∑∞

=1

n n y 发散. 2. 答：是。 设2

1)(x

n x a n +=

,n

n x b )1()(-=,则: )}({x a n 对任一固定的x 关于n 单调，且在实数域上一致收敛于0，同时1)(1

≤∑∞

=n n x b ，

由Dirichlet 判别法，∑∞

=+-1

2

)1(n n

x n 在实数域上一致收敛。 3. 答：否。反例: ⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠+==)0,0(),(0)0,0(),(2),(423

y x y x y x xy y x f z

),(y x f z =在点)0,0(处的所有方向导数为0，故0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ，但f 在点)0,0(处不可微。

四、