复旦大学2012-2013数学分析B下B卷

2012-2013复旦大学数学分析B(II)B 卷一、严格表述题（每题3分，共3题 ，共9分）1. 请用N -ε语言表述：h x n n =∞→lim 。

2. n 元函数的中值定理。

3. 第二类曲面积分。

二、填空题（每题4分，共7题，共28分）1. 曲面xy e z z+=在点)0,1,1(-处的法线方程为 。

2. 设方程x y y x arctan ln22=+确定函数)(x y ,则=dxdy。

3. )ln(xy y z =，则=z d 2。

4. 函数⎩⎨⎧-∈∈=)0,[,0),0[,)(ππx x x x f 的Fourier 级数为 。

5. 级数∑∞=+12)1(n nn x 的收敛域为 。

6. 向量场k j i a )1ln(),,(22z x ye xy z y x z +++=在点)0,1,1(的散度为a div = 。

7. 已知dx dy y dx y d 4422=+，则)(x y = 。

三、判断简答题（判断下列命题是否正确，如果正确的，请回答“是”，并给予简要证明；如果错误的，请回答“否”，并举反例。

）（每题5分，共3题，共15分）1. 设级数∑∞=1n n x 收敛, 1lim =∞→nnn y x , 则级数∑∞=1n n y 收敛。

2. 函数项级数∑∞=+-12)1(n nxn 在实数域上一致收敛。

3. 设函数),(y x f z =在点),(00y x 处的所有方向导数均存在,则),(y x f z =在点),(00y x 处可微。

四、计算题（每题6分，共5题，共30分）1. 求级数∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛域，并写出其和函数。

2. 设vu z =，其中22lny x u +=，xyv arctan =，求dz 。

3. 计算⎰⎰-Ddxdy y x )2(，其中D 为直线1=y ,032=+-y x 与03=-+y x 所围成的闭区域。

4. 求⎰-+++-Ldy y x dx y x )653()42(，其中L 是顶点为)0,0(，)0,3(和)2,3(的三角形正向边界。

5. 求⎰⎰∑++dS z y x )(，其中∑为球面2222a z y x =++上)0(a h h z <<≥的部分。

五、证明题（共3题，共18分）1.（6分）已知0>n x ，0)1(lim 1>-+∞→n nn x x n ，试证明：级数∑∞=+-11)1(n n n x 收敛。

2.（6分）设10<<x ，+∞<<y 0，证明：ex yx y1)1(<-。

3.（6分）设立体Ω由旋转抛物面22:y x z +=∑与∑在点),,(22b a b a +)0,0(>>b a 处的切平面以及圆柱面222)()(r b y a x =-+-)0(>r 所围成，证明Ω的体积仅与圆柱面的半径r 相关，而与点),(b a 的位置无关。

答案一、1．答：εε->->∀∃>∀h x N n N n :,,0， 且}{n x 中有无穷多项满足ε<-h x n2. 答：设n 元函数)x ( f 在凸区域n D R ⊂上可微,则对于D 内任意两点0x 和x x 0∆+，:)1,0(∈∃θx )x x (grad )x ()x x (000 ∆•∆+=-∆+θ f f f 。

3. 答：设∑为定向的光滑曲面，曲面上的每一点指定了单位法向量)cos ,cos ,(cos γβα=n。

如果k z)y,,(j z)y,,(i z)y,,P(z)y,,(x R x Q x x f ++=是定义在∑上的向量值函数，称⎰⎰⎰⎰∑∑++=•dS x R x Q x dS n f ]z)cos y,,(z)cos y,,(z)cos y,,P([γβα为f 在∑上的第二类曲面积分。

二、 1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01111z y x 。

2.y x y x -+ 3.dxdy x dy y dx xy 21222++-。

4.∑∑∞=+∞=-+--+1112sin )1(cos 1)1(4n n n n nx n nx n ππ。

5. [-2，0]。

6. 2 。

7.)(212x c c e x +。

三、1. 答：否。

反例: n x n n 1)1(+-=,n n y n n 1)1(1+-=+,则1lim =∞→n n n y x , 级数∑∞=1n n x 收敛, 但级数∑∞=1n n y 发散. 2. 答：是。

设21)(xn x a n +=,nn x b )1()(-=,则: )}({x a n 对任一固定的x 关于n 单调，且在实数域上一致收敛于0，同时1)(1≤∑∞=n n x b ，由Dirichlet 判别法，∑∞=+-12)1(n nx n 在实数域上一致收敛。

3. 答：否。

反例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+==)0,0(),(0)0,0(),(2),(423y x y x y x xy y x f z),(y x f z =在点)0,0(处的所有方向导数为0，故0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ，但f 在点)0,0(处不可微。

四、1. 解: 级数∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径为1，当1±=x 时级数收敛，故收敛域为]1,1[-。

设∑∞=+=1)1()(n n n n x x S ，∑∞=++==11)1()()(n n n n x x xS x f ，则x x x f n n -==∑∞=-11)(''11于是⎰--=-=xx dx x x f 0)1ln(11)('，,)1ln()11(1)('1)(0⎰---==x x x dx x f x x S )1,1[-∈x ；1)1(1)1(1=+=∑∞=n n n S 。

2. 解:22221ln yx y u u y x x vu x v v z x u u z x z vv +-+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 22221ln y x x u u y x y vu y v v z y u u z y z v v +++=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3. 解: 积分区域为D ={ 1≤y ≤3,y −32≤x ≤3−y }从而有∬(2x −y )dxdyD= ∫(∫(2x −y )dx 3−yy−32)31dy =94∫(y 2−4y +3)31dy = −34. 解: 由Green 公式，124)()653()42(==-=-+++-⎰⎰⎰⎰⎰DDy xLdxdy dxdy P Qdy y x dx y x5. 解: 222y x a z --=，∑在xOy 面上投影区域}|),{(2222h a y x y x D xy -≤+=，∑关于yOz 面和xOz 面均对陈，故0==⎰⎰⎰⎰∑∑ydS xdS)(1)(2222222222222h a a dxdy a dxdy yx a y y x a x yx a zdS dS z y x xyxyD D -==--+--+--==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑π五、1. 证明: 设0)1(lim 1>=-+∞→γn nn x x n ,可知当n 充分大时1+>n n x x ,即数列}{n x 当n 充分大时单调减少. 取0>α,0>β,使得0>>>αβγ,当n 充分大时,成立:αααβnn n n x x n n )1()11(11+=+>+>+ , 从而n n x n x n αα<++1)1( 即数列}{n x n α当n 充分大时单调减少,故存在0>A 使得A x n n ≤α，即αnA x n ≤<0 故数列}{n x 趋于0，从而级数∑∞=+-11)1(n n n x 是Leibniz 级数，故收敛。

2. 证明: 设)1(),(x yx y x f y-=，令0)ln 1)(1(),(=+-=∂∂x y x x y y x f y 得xy ln 1-= 对于固定的)1,0(∈x ，)1(),(x yx y x f y-=极大值点为x y ln 1-=，极大值为xe x x ln )1()(--=ϕ。

可得xex xx x x 2ln ln 1)('+-=ϕ，记,ln 1)(x x x x g +-=)1,0(∈x ，则,0ln )('<=x x g ,0)1(,1)0(=-=+g g 故,0)(>x g 从而)(x ϕ严格单调增加。

再由11)(lim --→=e x x ϕ得： 1)(),(-<≤e x y x f ϕ，10<<x ，+∞<<y 0。

3. 证明:∑在点),,(22b a b a +)0,0(>>b a 处的法向量为)1,2,2(-=b a n，切平面方程为2222b a by ax z --+=Ω的体积：2)()()22(4202)()(22)()(2222222222r d d dxdy b y a x dxdy b a by ax y x V rr b y a x r b y a x πρρρθπ==-+-=++--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-+-≤-+-故Ω的体积仅与圆柱面的半径r 相关，而与点),(b a 的位置无关。