截面特性

面的一对形心主惯性轴，对 应的Iy与Iz称为截面的形心主 惯性矩。
Iyz 称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。
组合截面的惯性矩和惯性积：
当截面由ｎ个简单图形组合而成时，截 面对于某根轴的惯性矩等于这些简单图形对 于该轴的惯性矩之和。即:
n
Iy (Iy )1 (Iy )n (Iy )i
D
y
d
z
Iz


64
(D4
d4)
Iy Iz
iz
D2 d2 4
iy iz
圆环
WWzz3322DD((DD44dd44)) Wy Wz
Wz

Iz ymax
Wz 抗弯截面系数
截面的极惯性矩：

2 =z 2 +y 2
Ip=A 2 dA
Ip —截面的极惯性矩
Iz
i1
n
Iz (Iz )1 (Iz )n (Iz )i
i1
n
Iyz (Iyz)1 (Iyz)n (Iyz)i
i1
§3 平行移轴公式 z
zc y
I y IyC a2 A
b
yc dA
zc
Iz IzC b2 A I yz I y abA
1 、定义
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
Iyz
yzdA
A
iy
Iy A
iz
Iz A
Iy 、 Iz分别称为截面面积 对y轴和z轴的惯性矩，
Iyz 称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。 iy 、 iz分别称为截面对y轴和z轴的惯性半径。
常见截面的惯性矩和惯性半径：
y
Iz

bh3 12
Iy

hb3 12
z
h
iz

h 23
iy

b 23
b
Wz

bh2 6
Wy

hb2 6
Wz

Iz ymax
Wz 抗弯截面系数
常见截面的惯性矩和惯性半径：
y
dz
Iz

d4
64
iz

d 4
Iy Iz iy iz
Wz

d3
32
Wy Wz
Wz

Iz ymax
Wz 抗弯截面系数
常见截面的惯性矩和惯性半径：
附录 截面几何性质
附 §1 静矩和形心 录
截 §2 惯性矩、惯性积和惯性半径 面 几 §3 平行移轴公式 何 性 §4 主惯性轴、形心主惯性轴 质
§1 静矩和形心
1 、静矩和形心的定义
Sy
z dA
A
Sz
y dA
A
Sy和Sz分别称为整个截 面积对于y轴和z轴的静矩。
形
心
I yczc (I yczc )1 (I yczc )2 103.2 104 mm 4
§4 主惯性轴、形心主惯性轴
z
y
dA
z
Iy Az2dA
Iz A y2dA
Iyz A yzdA
o
y
微面积dA在新旧两个坐标系中的坐标(y1,z1) 和(y,z)之间的关系为：
y1 y cos z sin
小结
基本要求： 掌握静矩、形心、惯矩、惯性积、惯性半径、简单 图形惯矩和惯积的计算、平行移轴公式。 掌握组合图形的惯矩和惯积的计算。 了解主形心轴和主形心惯矩。 重点： 掌握组合图形的形心和惯矩的计算 难点：
掌握组合图形的形心和惯矩的计算 。
10
y1=5mm，z1=62.5mm
125
C1
C2 80
矩形②：A2=700 mm2， y2=45mm，z2=5mm
yc y1 A1 y2 A2 19.36mm A1 A2
10
zc z1 A1 z2 A2 41.9mm
y
A1 A2
§2 惯性矩、惯性积和惯性半径
2 yz
Izp

Iy
Iz 2

1 2
(Iy

Iz
)2

4I
2 y
z
若Iy1z1=0，且y1与z1轴同时通过截面形心， 则称其为截面的一对形心主惯性轴，对应的 Iy1与Iz1称为截面的形心主惯性矩。
注意：对称轴必为形心主惯性轴。
形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：
(1) 计算截面形心；
(2) 计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的 惯性矩Iyc 、 Izc和惯性积Iyczc ； (3) 通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位 角 p ，并计算形心主惯性矩Iyp和Izp 。
类似地可求出:
Izc (Izc )1 (Izc )2 101.4 104 mm4
z
10
zc
例3、 (同例1) 试计算截面
对水平形心轴yc和铅直形心轴zc 的惯性积。
125
C1
C
C2 80
yc
10
y
解：例1中已算出该截 面形心C的坐标为： yc=19.36mm，zc=41.9mm
矩形①对yc和zc轴的惯性积为：
Izp

I yc
Izc 2

1 2
( I yc

Izc
)2

4I2 yczc
60 104 mm 4
关于形心主惯性轴的两个推论：
1) 若图形具有三根（或三根以上）对称轴，则通过图形 形心的所有轴都是形心主惯性轴，且图形对任一形心 轴的惯性矩（即形 心主惯性矩）都相同。
2) 所有的正多边形截面图形的形心轴均为形心主惯性轴。
yi Ai Ai
z dA
zC
A
A

Syi Ai
zi Ai Ai
10
其中，yi与zi分别为第i个
y 简单图形的形心坐标。
例题1 、截面图形如图所示，试计算截面的形心位置。
解：将该截面看成由矩形①和矩形②组成，每个 矩形的面积和形心坐标分别为：
z
矩形①：A1=1250 mm2，
y2dA
A
Iy
z2dA
A
Ip Iz Iy
y
dz
圆形
y
Dd
对于实心圆截面：
Ip＝
d
32
4
d 3
Wp= 16
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
对于圆环截面： =d / D
z
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
圆环
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
y
dz
对于实心圆截面：
Ip 2Iz
圆形
y
Dd
Wp 2Wz
对于圆环截面： =d / D
z Ip 2Iz
圆环
Wp 2Wz
惯性积的性质： Iyz
yzdA
A
若y轴或z轴为截面的一个对称轴，
则惯性积 Iyz=0
若Iyz=0，则坐标轴y与z轴
称为截面的一对主惯性轴；
Iy与Iz称为主惯性矩。
若Iyz=0，且y与z轴同时 通过截面形心，则称其为截
例4、 (同例1) 试确定截面的形心主惯性轴的位置，并 计算截面的形心主惯性矩。
解：例1中已算出该截面形心C的坐标为：
yc=19.36mm，zc=41.9mm
z
例3中已算出截面对于水平形心轴
10
yc和铅直形心轴zc的惯性矩和惯性积：
Iyc 311.9 104 mm4
Izc 101.4 104 mm4
)1

10 1253 12

(62.5

41.9)2
10 125
216 104 mm 4
矩形②对yc轴的惯性矩为：
70 103 (Iyc )2 12
(5 41.9)2 7010
95.9 104 mm 4
Iyc (Iyc )1 (Iyc )2 311.9 104 mm 4
z1 z cos y sin
I z dA y1
2 A1
Iy Iz Iy Iz cos 2 Iyz sin 2
2
2
同样可得：
I z1

A y12dA

Iy
Iz 2

Iy
Iz 2
cos 2
Iyz sin
2
I y1z1

A y80
yc
10
y
Iyczc 103.2104 mm4
tg2p 2Iyczc 0.981
Iyc Izc
p 22.30 或 p 112.30
Iyp

I yc
Izc 2

1 2
( I yc

Izc
)2

4I2 yczc
354 104 mm 4
yC
A y dA SZ AA
坐
标
zC
z
A
dA

SY
AA
应 用
SZ A yC
式 SY A zC
SZ A yC SY A zC
SZ 0
yC 0
SY 0
zC 0
结论：若图形对某一轴的静距等于零，
则该轴必然通过图形的形心；
若某一轴通过图形的形心，
CC
证明： y= yc+b
z
c a z yc
o
y
基准轴:过形心的两正交坐标轴
IzC A yC2dA
Iz A y2dA A (yc b)2dA
A yc2dA 2bA ycdA b2 AdA
Iz IzC b2A
y dA 0
AC
例2、 (同例1) 试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。
(Iyczc )1 Iyc1zc1 a1b1A1
0 (5 19.36)(62.5 41.9) 10125
37 104 mm4 矩形②对yc和zc轴的惯性积为：
(Iyczc )2 Iyc2zc2 a2b2A2
0 (45 19.36)(5 41.9) 70 10 66.2 104 mm 4
Iy
Iz 2
sin
2
Iyz cos 2
若Iy1z1=0，则坐标轴y1与z1轴称为截面的 一对主惯性轴； Iy1与Iz1称为主惯性矩。
主惯性轴位置的确定：
tg2p - 2Iyz
Iy Iz
转轴公式
主惯性矩Iyp与Izp的确定：
Iyp

Iy
Iz 2

1 2
(Iy

Iz
)2

4I
则图形对该轴的静距必然等于零；
形心轴：通过图形的形心的坐标轴。
1 、组合截面的静矩和形心
截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。
z
Sy
z dA
A
Sy i
10
Sz
y dA
A
Szi
125
C1
C2 80
y dA
yC
A
A

Szi Ai
解：例1中已算出该截面形心C的坐标为： yc=19.36mm，zc=41.9mm
z
10
截面对轴yc的惯性矩应等于矩
形①对轴yc的惯性矩加上矩形②对
yc轴的惯性矩。即：
125
C1
Iyc (Iyc )1 (Iyc )2
C
yc
矩形①对yc轴的矩为：
C2 10
80
y
矩形①对yc轴的惯性矩为：
(I yc