第九章 双因素和多因素方差分析

18.0 22.0 13.3 31.4 21.18
19.4 21.7 12.3 27.5 20.23
变差来源 小麦品种 肥料种类 误差 总和
平方和 442.17 12.47 7.69 462.33
自由度 3 2 6 11
均方 147.39 6.24 1.28
统计量F 115.02** 4.87
小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。
（2）分析：固定模型下：
aj ai 1 2 3 4
y j
B 1 34 25 36 41 34 2 25 31 27 33 29 3 17 25 35 30 26.75 4 22 18 25 35 25
y i
24.5 24.75 30.75 34.75 28.69
变差来源 A B AB 误差 总和
二、双因素交叉分组试验设计的描述
（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算
（一）试验数据的描述
B1 y111 y112 ┆ y11n y211 因素A i=1.， 2,3…，a A2 y212 ┆ y21n ┆ 因素B j=1.，2,3…，b B2 … y121 … y122 ┆ y12n y221 y222 ┆ y22n ┆ … … Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn y2b1 y2b2 ┆ y2bn ┆ y2.. 和
2、提出假设
H 01： α i = 0, H A1： α i ≠ 0 H 02： β i = 0, H A2： β i ≠ 0 H 03：（ αβ ） = 0， H A3：（ αβ ） ≠ 0，其中 i = 1,2， a; j = 1,2， b ..., ..., ij ij
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以 MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
yijkl = + α i + β j + γ k + (αβ )ij + (βγ ) jk + (αγ )ik + (αβγ )ijk + ε ijkl i = 1,2，a；j = 1,2，b；k = 1,2，c；l = 1,2，n ... ... ... ...
1、观测值的描述
y ijk = + α i + β j + ε i j，其中 i = 1,2， a ; j = 1,2， b; ... ...
∑α
i =1
a
i
= 0； β j = 0； ε i j为相互独立且服从正态 分布 N 0， σ 2 的随机变量 ∑
j=1
b
(
)
2、提出假设
H 01： α i = 0 , H A1 ： α i ≠ 0 H 02 ： β i = 0 , H A2 ： β i ≠ 0
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标
掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、 无重复观察值）资料的方差分析方法。 熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来 源期望均方构成。 了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容
第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换
第一节 双因素方差分析概述
一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。 2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个 因素对试验数据的影响。 4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方 差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因 素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还 会对结果产生一种新的影响。
2
2
E(MS A ) = σ ＋nσ αβ + bnσ α
2 2
2
E(MSB ) = σ ＋nσαβ + anσ β
2
2
E ( MS AB ) = σ 2＋nσ αβ
2
三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因 素为例） 在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性，
αi 为固定效应，
β 为随机效应 j + (αβ )i j
A1
y1..
┆
┆
ya11 Aa ya12 ┆ ya1n y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n y.2.
…
yab1 yab2 ┆ yabn ya..
和
…
y.b.
y…
（二）观测值的描述
对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
y ijk = + α i + β j+(αβ )ij + ε ijk 其中表示所有观测值的总平 均数
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断 P171
二、随机模型
1、观察值的线性统计模型
y ijk = + α i + β j + (αβ )i j + ε i jk，其中i = 1,2，a; j = 1,2，b; k = 1,2，n; ... ... ...
2、提出假设
H 01： σ α = 0, H A1： σ α > 0
2 2
H 02： σ β = 0, H A2： σ β > 0
2 2
H 03： σ αβ = 0， H A3： σ αβ > 0，其中 i = 1, 2， a ; j = 1, 2， b ..., ...,
2 2
3、检验统计量的计算
该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？ 如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对 分析结果有无影响？ 若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机 模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何 影响？
题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、 混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂 的效果能否严格重复。
4 4、均方期望
E(MSe ) = σ
2
bn a 2 E ( MS A ) = σ 2＋ ∑αi a 1 i =1
a n 2 (αβ )ij E(MSAB ) = σ ＋ ∑ （a 1)(b 1) i =1 2
an a 2 E(MSB ) = σ 2＋ ∑β j b 1 i=1
（二）无重复实验时的双因素方差分析
a
b
2
1 a b 2 ∑∑yij = SST SSA SSB SSAB n i=1 j=1
（五）各项均方的计算
MS
T
SS T SS T = = df T abn 1
MS
A
SS A SS A = = a -1 df A
SS B SS B MS B = = df B b 1
MSAB
SS AB SS AB = = (a - 1)(b - 1) df A
对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效 应做检验时用固定模型。 P177
例1：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小 区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差 分析的结果可得出什么结论？
肥料种类 小麦品种 1 2 3 4 不同条件下小区产量/kg (NH4)2SO4 21.1 24.0 14.2 31.5 NH4NO3 18.0 22.0 13.3 31.4 Ca(NO3)2 19.4 21.7 12.3 27.5
平方和 592.375 365.375 425.125 128 1510.875
自由度 3 3 9 16 31
均方 197.458 121.792 47.236 8
统计量F 24.68** 15.22** 5.904**
查F分布表： F0.95 (3,6) = 3.24; F0.99 (3,6) = 5.29; F0.95 (9,16) = 2.54; F0.99 (9,16) = 3.78
A因素误差平方和
SSA = bn∑(yi y )
i=1
a
2
B因素误差平方和 SSB = an∑(y j y )
b j=1
2
AB交互作用误差平方和
SSAB = n∑∑(yij yi y j + y )
a b i=1 j =1 2
随机误差项平方和
SSe =
2 （ y ijk y ij） ∑∑∑ i =1 j =1 k =1 a b n
α i 表示因素A第i水平的处理效应 β j表示因素B第j水平的处理效应 ε ijk 表示随机误差
(αβ )ij 表示因素A的第i水平和因素B第i水平的交互效应
（三）平方和与自由度的分解
1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与 添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。
随机模型下：
FA = MSA = 4.18** MSAB
MSB FB = = 2.58 MS AB
FAB =
MS AB = 5.904 * * MSe
查F分布表： F 0 .95 ( 3,9 ) = 3 . 86 ; F 0 .99 ( 3,9 ) = 6 . 99 F 显著但未达极显著，F 不显著，F 极显著。
例2：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比 例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平， 每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。 请进行统计分析，并回答下列问题。
添加剂B 添加剂A 1 2 3 4 不同条件下大白鼠增量/g 1 32，36 26，24 33，39 39，43 2 28，22 29，33 30，24 31，35 3 18，16 27，23 33，37 28，32` 4 23，21 17，19 23，27 36，34
SS e SS e MS e = = df e ab（n - 1）
第二节 不同实验类型的双因素方差分析
一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型
y ijk = + α i + β j + (αβ )i j + ε i jk，其中 i = 1,2， a; j = 1,2，b; k = 1,2， n; ... ... ...
在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量 是以MSAB 做分母；互作效应的检验统计量以MSe 做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度 与固定效应不同
4、均方期望
E(MSe ) = σ
A B AB
所以大白鼠增重与A、AB的交互作用有显著关系。 综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认 识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法 进行。
第三节 多因素试验的方差分析
一、观测值的描述
假设在一个试验中，A因素有a个水平，B因素有b个 水平，C因素有c个水平，每个因素有n次重复，那 么观测值的线性统计模型为
SST = ∑∑∑ yijk C
2 i =1 j =1 k =1
b
a
b
n
1 ∑yi 2 C SSA = bn i=1
a
SSB = 1 ∑yj C an j=1
2
Hale Waihona Puke Baidu
SSAB = n∑∑(yij yi y j + y )
a b i=1 j =1
n
2
SSe= ∑∑∑yijk
i=1 j =1 k =1
题解
解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品 种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组 交叉分析。
肥料种类 小麦品种 1 2 3 4
y j
不同条件下小区产量/kg (NH4)2SO NH4NO3 Ca(NO3)2
4
y i
19.5 22.57 13.27 30.13
21.1 24.0 14.2 31.5 22.7
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：df =abn-1
T
A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
T A B AB
（四）平方和的简便计算方式