非线性中立型延迟积分微分方程隐式Euler方法的收缩性
Banach空间中非线性中立型泛函微分方程θ-方法的收缩性
【 ｙｗ ｒ ｓＯ ｍｅ ｏ ｓＮｅｔ ｌｕ ｃｉ ａ ｄｆ ｒｎｉｌ ｑ ａｉｎ ；ａａｈｓａｅ Ｋｅ ｏ ｄ 】－ ｔ ｄ ； ｕｒ ｎｔ ｎｌ ｉｅｅｔ ｕｔ ｓＢ ｎｃ ｐｃ ｈ ａｆ ｏ ａｅ ｏ
Ｏ 绪 论
目前 ， 内外 学 者对 中立 型 泛 函微 分 方 程 数 值 分 析 的 研究 主要 集 国 ：ｎ ｆ ≥ｏ ｒ ： ｎ ｔ ｆ ｆ — ｆ］ 中在 线性 问题 和 一些 特 殊 的 非 线性 问题 的 数 值 方法 的稳 定 性 ， 以及 基 篇 文 章 中我 们 记 ｒ ｉ ｆ （） ， （ ， ）Ｉ ｉ・ 】Ｉ （） ≥町 ， ｌＬ
结பைடு நூலகம்。
【 键词】 关 非线 性 收 缩性 ０ 方 法 ； 立型 泛 函 微 分 方程 ； ｎｃ 一 中 Ｂａａｈ空 间
Ｎｏ ｌｎ ａ ｎ ｒ ｃ ｉ ｉ ｆＯ－ ｅ ｏ ｓ ｆ ｒ Ｎｅ ｔ ａ ｎｃｉ ｎ ｌＤｉ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｓ ｉ ｎａ ｈ Ｓ ａ ｅ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｃｏ ｔ ａ ｔｖ ｔ ｏ ｍ ￣ ｄ ｏ ｕ ｒ ｌＦｕ ｔｏ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌＥｑ ａ ｉ ｎ ｎ Ｂａ ｃ ｐ ｃ ｙ
euler-cromer方法
euler-cromer方法Euler-Cromer方法是一种常用的数值积分方法，用于求解微分方程。
它是由瑞士数学家Leonhard Euler和德国数学家Ludwig Cromer分别独立提出的。
在物理学和工程学中，我们经常需要求解微分方程来描述系统的运动。
然而，许多情况下，这些微分方程很难或者无法通过解析方法求解。
这时，数值方法就成为了一个有效的工具。
Euler-Cromer方法是一种一阶近似方法，它通过迭代计算来逼近真实解。
这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用离散化的时间步长进行数值计算。
具体来说，Euler-Cromer方法采用了一种特殊的迭代形式，即先计算速度，再计算位移。
在使用Euler-Cromer方法求解微分方程时，我们首先需要确定初始条件，即系统的初始位置和速度。
然后，我们选择一个合适的时间步长，将时间离散化。
接下来，我们利用差分方程进行迭代计算，依次更新系统的位置和速度。
在每一步迭代中，我们首先根据当前的速度计算位移的变化量，然后根据位移的变化量更新位置，最后根据更新后的位置计算速度。
重复这个过程，直到达到所需的时间点。
Euler-Cromer方法相比于传统的Euler方法有一定的优势。
传统的Euler方法在计算位置时，使用的是当前时刻的速度，然后再根据位置计算速度。
而Euler-Cromer方法则是先计算速度，再计算位置。
这种顺序的调整，使得Euler-Cromer方法更加稳定。
特别是在模拟一些周期性系统时，Euler-Cromer方法的结果更加准确。
然而，Euler-Cromer方法也有一些局限性。
首先，它是一种一阶方法，因此在一些复杂的系统中，误差可能会积累得比较快。
其次，Euler-Cromer方法并不是无条件稳定的，对于一些特殊的系统，可能需要选择更小的时间步长才能保证结果的准确性。
总的来说，Euler-Cromer方法是一种简单而有效的数值积分方法，适用于求解一些简单的微分方程。
毕业设计(论文)开题报告
第3-4周：收集资料
第5-7周：准备开题报告，任务书和英文翻译；
第8—12周：查阅资料，写好论文初稿；
第13—：完成论文定稿，准备毕业论文答辩；
第17周结束整理装订论文相关资料。
五、参考文献：
[1]Wang Wansheng and Li Shoufu. Convergence of one-leg methods for nonlinear neutral delay integro-differential equations. Sci. China Ser. A, 2009, 52(8): 1685-1698.
鉴于以上问题，在研究延迟反应扩散方程的数值算法时,算法计算量成为大家最关心的问题,也是现在仍未彻底解决的难点问题。除此之外，算法的计算精度与稳定性也是衡量算法优劣的重要标准，围绕延迟反应扩散方程的数值求解,研究人员开发出许多数值算法.这些数值方法包括显格式、隐格式、格式、预估一校正法和积分方程法等有限差分分类方法,也包括一些有限元法与无网格方法，还包括PODLUBNY等提出的矩阵方法等。本人将注重研究隐式Euler方法，并且探讨其稳定性、收敛性、精确性。
[2]Wang Wansheng and Li Shoufu. Convergence of Runge-Kutta methods for neutral Volterra delay-integro-differential equations. Front. Math. China, 2009, 4(1): 195-216.
[12] C. Lubich, A. Ostermann, Runge-Kutta methods for parabolic equations and convolution quadrature. Math. Comput. 1993, 60: 105-131
中立型非线性随机变时滞微分方程的稳定性
∞）× 一兄组 成的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间 ， 并且 对固定 的 ∈
Ⅱ （ ｓ ） 一 肛 （ ｓ ） ］ ｌ ｄ ｓ ＋ ｌ ｅ ｊ ｌ ￡ ・ ｃ （ ｓ ） ｌ ｄ ｓ ＋
１ ＋ 『 ＾ （ ） ｄ ｕ ＋
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２ 定 理 １的证 明
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ １一ｌ ｌ ： 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７— ０ ８
（ Ⅲ ） ｝ — 兰 ； ＿ ） ｝ ＋ ： 一 （ ） ｄ ＋ Ｓ ｅ － ｆ ‘ ， （ ｓ ） （ Ｊ ＾ ： 一 。 （ “ ） ｄ ） ｄ ｓ ＋
１ 主 要 结果
设｛ 力， Ｆ， Ｐ｝ 为 完 备 的概 率 空 间 ， 具 有 满 足 通 常条 件 的流 ｛ Ｆ ｝ ， ｛ 加（ ｔ ） ， ｔ ＞０｝ ｉ 是 定义 在 此空 间
上 的标准 一 维 Ｗｉ ｅ ｎ ｅ ｒ 过程． 函数 ０ （ ｔ ） ， Ｃ （ ｔ ） ， ｇ （ ｔ ） ∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ， ６ （ ｔ ）∈Ｃ 。 （ Ｒ ， Ｒ） ， （ ｔ ）∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ ） 且 ｒ （ ｔ ） ≠１ ， ｒ ： （ ｔ ） ， ｒ （ ｔ ）∈Ｃ（ Ｒ ， Ｒ ） ， 当 一 ∞， 有ｔ —ｒ ， （ ｔ ） 一 ∞， ＝１ ， ２ ， ３ ． Ｇ（・） 是 关 于 的局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 连续 的 ， 即存 在一 个常 数 ＞０ ， 只 得到 结论 ：
非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性
2021年第42卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.42 N o.12021 (总第195期)J O U R N A LO FN O R T HU N I V E R S I T YO FC H I N A(N A T U R A LS C I E N C EE D I T I O N)(S u m N o.195)文章编号:1673-3193(2021)01-0006-07非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性李晓卫,贾宏恩,郭平(太原理工大学数学学院,山西太原030024)摘要:主要对非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛性进行了针对性研究,证明了此类半隐式欧拉方法具有强一阶收敛性.此外,在精确解满足均方稳定性的前提下,研究了非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的均方稳定性,最后利用数值算例验证了数值解的收敛性.关键词:随机分数阶积分微分方程;半隐式欧拉方法;收敛性;均方稳定性中图分类号: O242.28文献标识码:A d o i:10.3969/j.i s s n.1673-3193.2021.01.002C o n v e r g e n c e a n dS t a b i l i t y o f S e m i-I m p l i c i t E u l e r-M a r u y a m aS o l u t i o n f o rN o n l i n e a r S t o c h a s t i cF r a c t i o n a lI n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sL IX i a o-w e i,J I A H o n g-e n,G U OP i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,T a i y u a n030024,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r i sm a i n l y c o n c e r n e dw i t h t h e c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a-r u y a m a(E M)m e t h o df o r t h en o n l i n e a rS F I D E s.I t i s p r o v e dt h a t t h es e m i-i m p l i c i tE M s o l u t i o no f S F I D E s s h a r e s s t r o n g f i r s t o r d e r s h a r p c o n v e r g e n c e.F u r t h e r m o r e,o n t h e p r e m i s e t h a t t h e e x a c t s o l u-t i o n s a t i s f i e s t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y,w e r e s e a r c h e d t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E M s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r S F I D E s.A t l a s t,s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s.K e y w o r d s:s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a r u y a m am e t h o d;c o n v e r g e n c e;m e a n-s q u a r e s t a b i l i t y0引言积分微分方程是现代数学的重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它广泛应用于几何㊁力学㊁物理㊁电子技术㊁自动控制㊁航天㊁生命科学等领域,如反应堆动力学[1]㊁种群动态[2]和分层介质中的波传播[3],并且随着现实生活中的许多随机因素(如噪声等)被考虑进来,随机积分微分方程引起了国内外众多学者的关注与研究.在现有研究中,随机积分微分方程被应用于随机力驱动的粘弹性结构构件的力学行为[4]㊁期权定价[5]及人口增长模型中[6].此外,一些学者证明了随机积分微分方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[7-10].但在许多情况下,随机积分微分方程的精确解很难找到,因此,寻找求解此类方程近似解的数值方法引起了许多学者的关注.如,对于具有乘性噪声的随机微分方程,T o c i n oA等[11]提出了一种二阶显式R u n g e K u t t a格式,对于具有恒收稿日期:2020-04-26作者简介:李晓卫(1995-),女,硕士生,主要从事计算数学的研究.定扩散系数的标量方程,还得到了两种三阶R u n g e K u t t a格式;B a b u s k a I等[12]采用蒙特卡罗G a l e r k i n法和随机G a l e r k i n有限元方法求解随机扩散和载荷系数的随机线性椭圆偏微分方程,当采用少量随机参数描述噪声时,随机G a l e r k i n法为首选方法;M a l e k n e j a dK等[13]利用块脉冲函数求解随机沃尔泰拉积分方程,得到了精度较高的近似解.随着分数阶微积分的发展,分数阶积分微分方程出现在信号处理的统计力学领域[14-16].目前,越来越多的研究者对随机分数阶积分微分方程进行了深入研究,探讨了此类方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[17-18].而且,研究人员还研究了一些数值格式,并对这些数值格式的性质进行了探讨,如利用谱配置方法㊁欧拉方法以及径向基方法求解该类方程,并讨论了这些方法的性质[19-21].此外,F a e d o-G a l e r k i n方法㊁L e g e n d r e小波方法以及对应的收敛性也被研究和证明[22-23].半隐式欧拉格式已被用于多种方程中,如随机受电弓方程和随机微分延迟方程[24-25],其精确解的稳定性已被证明[26].本文主要目的是给出随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性分析和相应离散数值解的稳定性分析.本文给出了一些必要的符号与准备,以及与原始方程对应的随机沃尔泰拉积分方程;分析了随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶;给出了半隐式欧拉格式数值解的稳定性;最后通过数值算例验证了本文的理论分析.1符号与准备工作在本文中,设(Ω,F,P)为具有满足一般条件的σ域F t t⩾0的完备概率空间,㊃为R d空间上的欧拉范数.如果A为向量或矩阵,其转置表示为A T,且若A为矩阵,其F范数用A= t r a c e(A T)A来表示.如果Z为集合,其指标函数用I Z来表示,即当xɪZ时,I Z x=1;否则,值为0.设T>0,L10,T;R n表示一族所有R n值可测的F t适应过程f={f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)d t<ɕ成立;设L2(0,T;R nˑm)表示一族所有(nˑm)矩阵值可测的F t适应过程{f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)2d t<ɕ成立.考虑以下d维非线性随机分数阶积分微分方程Dαy(t)=Ø(t)+ʏt0k1(t,s,y(s))d s+ʏt0k2(t,s,y(s))d W(s),tɪ[0,T],y(0)=y0,(1)式中:Dα为α(αɪ(0,1])阶C a p u t o分数阶导数;ØɪC([0,T];R d);设Q=(t,s)ʒ0ɤsɤtɤT, k1ɪL1(QˑR d;R d),k2ɪL2(QˑR d;R dˑr);W(t)表示定义在完备概率空间上的r维标准布朗运动; y0为F0可测R d值的随机变量使得E y02<ɕ成立.定义1对函数fʒ[0,+ɕ)ңR d的α阶R i e m a n n-L i o u v i l e分数阶积分算子定义如下Iαf(t)=1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1f(τ)dτ,α>0且I0f(t)=f(t),其中Γ(α)为G a m m a函数,Γ(α)ʉʏ+ɕ0e-t tα-1d t定义2对于函数fɪCγ([0,+ɕ))的α阶C a p u t o导数可以记作Dαf(t)=1Γ(γ-α)ʏt0f(γ)(τ)(t-τ)α+1-γdτ,式中:γ-1<α<γ,γɪN+.由富比尼定理,式(1)可转化为以下随机沃尔泰拉积分方程(这两个方程的具体转化可参考文献[18])y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,y(s))d s+ʏt0K2(t,s,y(s))d W(s),(2)其中tɪ[0,T],y(0)=y0,Φ(t)=y0+1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1Ø(τ)dτ, K i(t,s,y(s))=1Γ(α)ʏt s(t-τ)α-1k i(τ,s,y(s))dτ,i=1,2.假设1对于任意(t,s)ɪQ,k1(t,s,0)与k2(t,s,0)是连续有界的函数,且存在正常数l i, i=1, ,4,使得Ø,k j满足如下条件Ø(t1)-Ø(t2)ɤl1t1-t2,k j(t1,s,y)-k j(t2,s,y)ɤl2(1+|y|)t1-t2, k j(t,s1,y)-k j(t,s2,y)ɤl3(1+|y|)s1-s2, k j(t,s,y1)-k j(t,s,y2)ɤl4y1-y22,7(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)对任意t,t1,t2,s,s1,s2ɪ[0,T],y,y1,y2ɪR d, j=1,2均成立.在假设1的条件下,得到以下定理[18].定理1存在正常数L i,i=1, ,5,使得Φ(t),K j(j=1,2)满足以下条件Φ(t1)-Φ(t2)ɤL1t1-t2,K j(t1,s,y)-K j(t2,s,y)ɤL2(1+|y|)t1-t2, K j(t,s1,y)-K j(t,s2,y)ɤL3(1+|y|)s1-s2,K j(t,s,y)2ɤL4(1+y2)t-s2, K j(t,s,y1)-K j(t,s,y2)ɤL5y1-y2,对任意t1,t2ɪ[0,T],s1,s2ɪ[0,T],t,sɪ[0, T],yɪR d均成立.下文中C代表一个任意的正常数.2半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶精确解的存在性㊁唯一性和稳定性已在一些文献中有研究[18].本节讨论半隐式欧拉方法的收敛性与收敛阶.首先,将整个时间区间分割为N个小区间,对于Nȡ1,令h=T/N,t n=n h,对于n=0,1, 2, ,N,当t=t n+1时,y(t n+1)=Φ(t n+1)+ʏt n+10K1(t n+1,s,y(s))d s+ʏt n+10K2(t n+1,s,y(s))d W(s)=Φ(t n+1)+ðn i=0ʏt i+1t i K1(t n+1,s,y(s))d s+ðn i=0ʏt i+1t i K2(t n+1,s,y(s))d W(s)ʈΦ(t n+1)+hðn i=0K1(t n+1,t i,y(t i+1))+ðn i=0K2(t n+1,t i,y(t i))ΔW i,因此,定义Y n+1=Φ(t n+1)+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i.(3)对n=0,1,2, ,N-1及Y0=y(0)=y0,当sɪ[t n,t n+1)时,定义s=t n以及Y1(t)=ðN n=0Y n I[t n,t n+1)(t),(4)^Y1(t)=ðN n=0Y n+1I[t n,t n+1)(t),(5)则得到以下半隐式欧拉格式Y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,^Y1(s))d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))d W(s).(6)引理1假定假设1满足,那么存在一个常数C>0以及h1=13T3L4>0,使得对于h<h1有E(|Y n+12)ɤC,E(Y(t)2)ɤC.证明由式(3)和基本不等式,有Y n+12ɤ3Φ(t n+1)2+3h2ðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2.对上述不等式两端同时取期望,有E|Y n+1|2ɤ3EΦ(t n+1)2+3h2Eðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3Eðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2ðn i=0E K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0E|K2t n+1,t i,Y iΔW i|2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2L4ðn i=0E((1+Y i+12)|t n+1-t i|2)+ 3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2)ɤ6L21T2+ 6E y02+3h L4T3ðn i=0(1+E|Y i+1|2)+3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2),则得到1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h+ 3T3L4h+3T2L4h1-3T3L4hðn i=0(1+E|Y i|2).由离散G r o n w a l l不等式1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T3L4n h+3T2L4n h1-3T3L4hɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T4L4+3T3L41-3T3L4hʒ=C,及Y(t)的连续性,得到8中北大学学报(自然科学版)2021年第1期E Y(t)2ɤC.引理2假定满足假设1,在h<m i n(1,h1)的情况下,存在一个与h无关的正常数C,使得E Y(t)-^Y1(t)2ɤC h2,E Y(t)-Y1(t)2ɤC h2.证明对于任意的tɪ[0,T],存在一个整数n使得tɪ[t n,t n+1),由式(4)~式(6),得到Y(t)-Y1(t)=Y(t)-Y n=Φ(t)-Φt n+ʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1t n,s,^Y1(s)d s+ʏt t n K1t,s,^Y1(s)d s+ʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))d W(s)+ʏt t n K2(t,s,Y1(s))d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φt n2+ 5T Eʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n,s,^Y(s))2d s+ 5h Eʏt t n K1t,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt t n K2t,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n2+ 10T Eʏt n0L221+^Y1(s)2t-t n2d s+ 5h Eʏt t n L41+^Y1(s)2t-s2d s+ 10Eʏt n0L221+Y1(s)2t-t n2d s+ 5Eʏt t n L41+Y1(s)2t-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22Eʏt n01+^Y1(s)2d s+ 5h3L4Eʏt t n1+^Y1(s)2d s+ 10L22h2Eʏt n01+Y1(s)2d s+ 5L4h2Eʏt t n1+Y1(s)2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt n01+E^Y1(s)2d s+ 5h3L4ʏt t n1+E(^Y1(s)2)d s+ 10L22h2ʏt n01+E Y1(s)2d s+5L4h2ʏt t n1+E(Y1(s)2)d sɤC h2.同理,Y(t)-^Y1(t)=Y(t)-Y n+1=Φ(t)-Φ(t n+1)+ʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1t n+1,s,^Y1(s)d s-ʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))d W(s)-ʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-^Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φ(t n+1)2+ 5T Eʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n+1,s,^Y1(s))2d s+ 5h Eʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n+12+10T Eʏt0L221+^Y1(s)2t-t n+12d s+ 5h Eʏt n+1t L41+^Y1(s)2t n+1-s2d s+ 10Eʏt0L221+Y1(s)2t-t n+12d s+ 5Eʏt n+1t L41+Y1(s)2t n+1-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt01+E(^Y1(s)2)d s+ 5h3L4ʏt n+1t1+E^Y1(s)2d s+ 10L22h2ʏt01+E(Y1(s)2)d s+ 5L4h2ʏt n+1t1+E(Y1(s)2d sɤ5L21h2+C T2h2L22+C L4h4+C L22h2T+C L4h3ɤC h2.定理2在引理1的假设下,存在一个与h无关的正常数M使得E(|y(t)-Y(t)|2)ɤM h2,对任何tɪ[0,T]均成立.证明用式(2)减去式(6),并由基本不等式, C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E y(t)-Y(t)2ɤ9(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)6Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2+ʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y1(s))]d W(s)2.对上述6项分别进行处理得到Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT E(ʏt0L25|y(s)-Y(s)|2d sɤT L25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]2d sɤT Eʏt0L23(1+|Y(s)|)2|s-s|2d sɤ2T h2L23ʏt0(1+E(|Y(s)|2))d sɤC h2L23T2, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]2d sɤT L25ʏt0E(|Y(s)-^Y1(s)|2)d sɤC h2T2L25.采用同样的处理方式,得到Eʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤL25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s,Eʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤC T h2L23,Eʏt0K2t,s,Y(s)-K2t,s,Y1(s)d W(s)2ɤC h2L25T,那么E y(t)-Y(t)2ɤ(C L23T2+C L25T2+C L23T+C L25T)h2e T(T+1)L25ɤM h2. 3半隐式欧拉格式的稳定性本节在假设1的条件下研究式(6)的数值解的稳定性.定义3设Y n+1nȡ1为式(6)具有初始解ξ对应的解,X n+1nȡ1为式(6)对应初始值为λ的另一个解.对于任意的ε>0,存在一个正常数δ>0使得当E|ξ-λ|2<δ时,有E Y n+1-X n+12ɤε成立,即式(6)的解是均方稳定的.定理3设{y(t)}tȡ0,{x(t)}tȡ0分别为式(1)对应于初始值η和φ的精确解,那么,如果满足假设1,对于任意的hɤ13L25T,式(1)的精确解是均方稳定的.证明由式(2)得y(t)-x(t)=η-φ+ʏt0K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)d s+ʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s).对上式两端同时取期望,得E|y(t)-x(t)|2ɤ3Eη-φ2+3T Eʏt0|K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)|2d s+ 3Eʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s)2ɤ3Eη-φ2+3L25(T+1)ʏt0E|y(s)-x(s)|2d s.再由G r o n w a l l不等式得E y(t)-x(t)2ɤ3e x p3L25T T+1Eη-φ2.因此,对于任意的ε>0,存在一个常数δ>0,当Eη-φ2<δ时,有E|y(t)-x(t)|2ɤε.定理4 设Y n+1nȡ1,X n+1nȡ1分别为式(6)对应于初始值ξ和λ的数值解,那么如果假设1成立,则式(6)的数值解就是均方稳定的.证明由式(3)得到Y n+1-X n+12=|ξ-λ+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2ɤ3ξ-λ2+3h2ðn i=0[K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1]2+ 3ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2.01中北大学学报(自然科学版)2021年第1期对上述不等式两侧同时取期望,得E Y n +1-X n +12ɤ3E ξ-λ2+3h 2Eðni =0K 1t n +1,t i ,Y i +1 -K 1t n +1,t i ,X i +12+3E ðni =0K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i ΔW i 2ɤ3E |ξ-λ|2+3h 2(n +1)ðni =0E K 1t n +1,t i ,Y i +1-K 1t n +1,t i ,X i +1 2+3h ðni =0E |K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i |2ɤ3E |ξ-λ|2+3L 25T h ðni =0E Y i +1-X i +12+3L 25h ðni =0E |Y i -X i |2,则E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2+3L 25T h +3L 25h 1-3L 25T h ðni =0E |Y i -X i |2. 再由离散G r o n w a l l 不等式得E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2e 3L 25T n h +3L 25n h 1-3L 25T h ɤ31-3L 25T h e 3L 25T (T +1)1-3L 25T h E |ξ-λ|2. 因此,对任何的ε>0,存在一个正常数δ>0,当E |ξ-λ|2<δ时,有E |Y n +1-X n +1|2<ε成立.4 数值算例本节给出一个数值算例以验证随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛率.类似于文献[18],使用样本均值逼近期望,更准确地说,使用以下表达衡量在最后时刻t N 上的均方误差.ε=11000ð1000i =1|y (i )(t N )-Y (i )(t N )|212,式中:y (i )(t N )和Y (i )(t N )分别为精确解与数值解.例1 考虑1维随机分数阶积分微分方程且γ=1,D αy (t )=s i n (t )Γ(2)+ʏt(2t -s )s i n (2s y (s ))d s +ʏt(2t +s )c o s (2s y (s ))d W (s ),式中:t ɪ[0,1],且初始值y (0)=0.注意到函数Ø,k 1,k 2均满足先前的假设条件,且将在时间步长为h =2-11下的数值解作为随机分数阶积分方程的精确解.在相同布朗路径上任意取3个不同的时间步长,即h =2-6,2-7,2-8,并分别求得其半隐式欧拉格式的数值解及相应的误差ε,相关结果如图1所示.图1 例1中半隐式欧拉格式的均方误差F i g .1 M e a n s q u a r e e r r o r o f s e m i -i m pl i c i t e u l e r s c h e m e i n e x a m pl e 1当α=0.45与α=0.65时,图像斜率接近于1,即半隐式欧拉方法的一阶收敛率得到验证.参考文献:[1]L e v i n J J ,N o h e l JA .O n a s y s t e mo f i n t e gr o -d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n so c c u r r i n g i nr e a c t o rd y n a m i c s [J ].T h eA r c h i v ef o rR a t i o n a l M e c h a n i c sa n d A n a l ys i s ,1962,11(1):210-243.[2]G a r n i e r J .A c c e l e r a t i n g s o l u t i o n s i n i n t e gr o -d i f f e r e n -t i a l e q u a t i o n s [J ].S I A MJ o u r n a l o nM a t h e m a t i c a lA -n a l ys i s ,2010,43(4):1955-1974.[3]P a n a s e n k oG ,P s h e n i t s y n aN .H o m o g e n i z a t i o n o f i n -t e g r o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f B u r g e r s t y p e [J ].A p pl i -c a b l eA n a l y s i s ,2008,87(12):1325-1336.[4]A l e k s e y D .S t a b i l i t y o f a c l a s s o f s t o c h a s t i c i n t e gr o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ].S t o c h a s t i cA n a l y s i s&A p -pl i c a t i o n s 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J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s, 2007,325(2):1142-1159.[25]L i uM,C a oW,F a nZ.C o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E u l e rm e t h o d f o r a l i n e a r s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l d e l a y e q u a t i o n[J].J o u r n a l o fC o m p u t a-t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2004,170(2):255-268.[26]A b o u a g w aM,L i u J,L i J.C a r a t héo d o r y a p p r o x i m a-t i o na n ds t a b i l i t y o fs o l u t i o n st on o n-L i p s c h i t zs t o-c h a s t i c f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fI tôD o o b t y p e[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d C o m p u t a t i o n, 2018,329:143-153.21中北大学学报(自然科学版)2021年第1期。
非线性中立型Volterra延迟积分微分方程线性θ-方法的散逸性
非线性中立型Volterra延迟积分微分方程线性θ-方法的散逸
性
姚金然;张学华;赵磊
【期刊名称】《黄山学院学报》
【年(卷),期】2009(011)005
【摘要】研究了非线性中立型Volterra延迟积分微分方程及数值方法的散逸性问题.给出了关于此方程理论解散逸性的充分条件,并获得了一类求解此类问题的线性θ-方法的数值散逸性结果,此结果表明所考虑的数值方法继承了该方程的散逸性.【总页数】6页(P1-6)
【作者】姚金然;张学华;赵磊
【作者单位】黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院信息工程学院,安徽黄山245021
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.非线性Volterra延迟积分微分方程多步Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 姚金然;甘四清;殷乃芳;史可
2.非线性Volterra延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 祁锐;何汉林
3.中立型多延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 王素霞;徐英
4.非线性中立型延迟积分微分方程线性多步法的散逸性 [J], 祁锐;张玉洁
5.非线性中立型延迟微分方程的散逸性 [J], 程珍;黄乘明
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一类非线性中立型变延迟积分微分方程的稳定性分析
一类非线性中立型变延迟积分微分方程的稳定性分析丛玉豪;卢翠翠;蒋成香【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(43)1【摘要】We deal with the stability of a class of nonlinear neutral variable delay-integro-differential equations.Firstly,we study the stability analysis of the theoretical solutions.Secondly.We discuss the numerical stability analysis of linearθ-methods for non-linear neutral variable delay-integro-differential equations.%讨论了一类非线性中立型变延迟积分微分方程的稳定性。
针对非线性中立型变延迟积分微分方程的模型方程，给出方程理论解稳定的条件并给予了证明；其次研究了线性θ-方法求解方程的数值稳定性，证明了A-稳定的θ-方法求解非线性中立型变延迟积分微分方程是稳定的。
【总页数】7页(P30-36)【作者】丛玉豪;卢翠翠;蒋成香【作者单位】上海师范大学数理学院，上海200234;上海师范大学数理学院，上海200234;上海师范大学天华学院，上海201815【正文语种】中文【中图分类】O241.81【相关文献】1.非线性刚性变延迟积分微分方程的稳定性分析 [J], 肖飞雁2.非线性中立型延迟积分微分方程隐式Euler方法的收缩性 [J], 王锦红;宋豪杰3.非线性中立型延迟积分微分方程线性多步法的散逸性 [J], 祁锐;张玉洁4.非线性中立型延迟积分微分方程单支方法的稳定性分析 [J], 余越昕;文立平5.一类线性多步法关于变延迟非线性中立型微分方程的渐近稳定性 [J], 王晚生;余越昕;李寿佛因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
【国家自然科学基金】_非线性延迟微分方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 Байду номын сангаас 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 推荐指数 重复学习控制 1 时变延迟 1 微分差分耦合参数自适应律 1 局部截断误差 1 均方稳定 1 双线性参数化系统 1 分数阶延迟微分方程初值问题 1 中立型随机延迟微分方程 1 三次样条配置方法 1 θ -方法 1 lyapunov-krasovskii能量函数 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
科研热词 渐近稳定性 单支方法 中立型延迟积分微分方程 预测控制 非线性随机延迟微分方程 非线性控制 非线性延迟微分方程 非线性中立型延迟积分微分方程 非线性 脉宽调制整流器 线性θ -方法 渐近解 沃尔泰拉延迟积分微分方程 时滞 数字控制 数值稳定性 散逸性 收敛性 弱gaa(l)-稳定 延时 奇摄动 反应扩散 两步runge-kutta方法 runge-kutta方法 ms-稳定性 milstein方法 l)一代数稳定 gr(l)-稳定 gms-稳定性 gar(l)-稳定 (k,l)-代数稳定 (k
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
非Lipschitz条件下由泊松过程驱动的随机微分方程Euler方法的依概率收敛性
非Lipschitz条件下由泊松过程驱动的随机微分方程Euler方法的依概率收敛性于辉【摘要】针对满足非Lipschitz条件的由泊松过程驱动的随机微分方程(SDEs),构造了Euler方法数值格式.证明了Euler方法的依概率收敛性,并给出了数值算例.【期刊名称】《黑龙江八一农垦大学学报》【年(卷),期】2018(030)003【总页数】6页(P125-130)【关键词】随机微分方程;泊松过程;Euler方法;依概率收敛性【作者】于辉【作者单位】黑龙江八一农垦大学,大庆163319【正文语种】中文【中图分类】O211.63从数学和哲学的角度看,现实世界时时、处处充满着随机性。
日本数学家了Itô在1942年开创的随机微分方程理论被誉为“随机王国中的Newton定律”,依时间量化了相当广的一类随机现象,其中,由泊松过程[1]驱动的随机微分方程描述了一类轨道具有跳跃性特点的随机现象,是建立随机数学模型的有力工具,在金融、医学、工程、地质等领域[2-4]有着广泛的应用。
事实上,此类随机方程的精确解很难得到,在较弱条件下构造数值解和研究数值解的基本性质是基础数学领域中的一个重要研究方向,有着最重要的理论和实践意义。
由于该方向的研究起步较晚,相关文献积累不多,国内外对此类方程数值解法的研究主要集中于弱收敛性[5-7]和强收敛性两个方面,方程主要满足Lipschitz条件和线性增长条件、局部Lipschitz条件或者单边Lipschitz条件这些经典条件,下面主要介绍关于强收敛性的主要结论。
1995年,Li[8]证明了Euler方法的几乎必然收敛性。
1996年,Maghsoodi[9]构造了1.5阶的数值方法。
1998年,Maghsoodi[10]构造了2阶收敛的数值方法。
2000年,Liu等[11]证明了Euler方法的几乎必然稳定性。
2004年,Gardon[12]构造了Itôtype数值方法。
高阶非线性中立型微分方程的周期解
高阶非线性中立型微分方程的周期解陈新一【摘要】The following nonlinear neutral delay equations [x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x＇（t）＇g（x（t-σ））=p（t） are discussed, by using the coincidence degree theory, a sufficient condition for the existence of periodic solution of the equation is given, and the known results are generalized.%利用重合度理论，研究高阶非线性中立型泛函微分方程[x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x’（t）’g（x（t-σ））=p（t）的周期解的存在性，给出了该方程存在周期解的充分性定理，推广了已有的结果．【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(013)002【总页数】6页(P135-140)【关键词】中立型微分方程;非线性;周期解【作者】陈新一【作者单位】西北民族大学中国民族信息技术研究院,甘肃兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言考虑n阶非线性中立型泛函微分方程其中:τ，σ和c是常数，τ≥0，σ≥0;f∈C(ℝ，ℝ)，g∈C(ℝ，ℝ)，且对ℝ中任一有界区间E，g(x)在E上满足Lipschitz条件，p∈C(ℝ，ℝ)，p(t+T)=p(t)且由于泛函微分方程周期解的存在性在生态学和控制理论等领域都有重要的应用，已经引起了人们的极大关注，并出现了一些好的研究成果［1-9］．文献［2，5-6］研究了一阶中立型种群模型周期解的存在性;文献［7-8］利用Fourier级数理论研究了二阶常系数线性中立型方程周期解的存在性;文献［9］则利用重合度理论研究了一类二阶非线性中立型泛函微分方程x″(t)+g(x(t－σ))=p(t)周期解的存在性问题．但是对于高阶非线性中立型方程(1)的周期解的存在问题，还未见有文献报道研究结果．显然上述文献所述的这些研究方法已难于应用到方程(1)上去，实际上文献［9］所讨论的方程只是方程(1)的特例．本文采用类似文献［10］的方法，应用重合度理论，给出方程(1)存在T周期解的充分性定理．1 定理和引理本文的主要结果如下:定理1 如果存在正数D，H和M，使得ⅰ) f(x) ≤H，∀x∈ℝ;ⅱ)当t∈ℝ和x ≥D时，xg(x)＞0;ⅲ)当t∈ℝ且x≤－D时，g(x)≥－M．则当Tn－1H+ c ＜1时，方程(1)至少存在一个 T周期解．为了给出并证明本文的主要结果，我们需要做一些准备工作．设，并在X上定义范数，且在Z上定义范数，则(X，都为Banach空间．定义线性算子和非线性算子N:X→Z，x(t)，再定义投影算子则有ImP=KerL和ImL=KerQ．设S(τ):X→X，使得S(τ)x(t)=x(t－τ)，则易知方程(1)可写为引进参数由假设可以得到 c ＜1，因此可得K=I+cS(τ)是X的一个同胚，其逆算子为令y=Kx，代入式(2)和(3)得和引理1［10］设L是指数为零的 Fredholm算子，N在X中的有界开集Ω的闭包上L-紧，又假设a)对任意λ∈(0，1)和x∈∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx;b)对任意x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0且deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0．则方程L(I+cS(τ))x=Nx在domL∩中至少有一个解．设方程这里λ∈(0，1)．我们有:引理2 如果定理的条件成立，则存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有这里x(0)=x．证明设x(t)是方程(4)的任一T周期解．因为x(0)=x(T)，所以存在ξ∈［0，T］，使得x'(ξ)=0，从而有类似由 x(k)(0) =x(k)(T)，可得，由此得将方程(4)两边从0到T积分，得设．因g∈ C(ℝ，ℝ ) 及条件ⅱ)，容易知道，．由ii)和iii)有由(ii)和式(7)有由式(8)和(9)得可知存在正数N0，使得由于 x(n－1)(0)+cx(n－1)( －τ) =x(n－1)(T)+cx(n－1)(T －τ)，可知存在t0∈［0，T］，使得 x(n)(t0)+cx(n)(t0－τ)=0，于是由方程(4)，对任意t∈［0，T］有由式(10)、(11)和(6)式及i)且注意到x(n－1)(t)是T周期函数，对任意t∈［0，T］有记，则对任意t∈［0，T］有由此可得这里．由式(6) 得由式(7)用积分中值定理，存在t1∈［0，T］，使得g(x(t1－σ))=0，从而由ii)可知 x(t1－σ) ＜D．注意到x(t)是T周期的，因此，存在t2∈［0，T］，使得由式(12) 和(13)，对任意t∈［0，T］有记 D0=D+TD1，则对任意t∈［0，T］有注意到x(t)是T周期函数，所以对任意有由式(14)式和g的连续性可知，对任意t∈［0，T］有这里由方程(4)和式(12)及(15)，再注意到x(n)(t)是T周期函数，则对任意t∈［0，T］有推出这里2 定理证明与推论下面我们先给出定理的证明．定理1证明由引理2知存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有式(5)成立．取一正数因ImP=KerL，ImL=KerQ，KerL=ImQ= ℝ，且在Z中闭，故L是指数为零的Fredholm算子．容易验证是连续的一一映射，设其逆为KP．对任意注意到x(t)是T周期函数，于是有对任意t∈［0，T］成立，从而有记则有故有界，易知相对紧，从而相对紧．设实函数族又设 J1，J2，…，Jn分别是J0中函数的一阶导数，二阶导数，…，n阶导数所组成的函数族．下面证明这n+1个函数族在［0，T］上都分别有界．由于 y=KPNx，故有由此推出特别有注意到y(t)是T周期函数，则有y(i)(0)=y(i)(T)，i=0，1，2，…，n－2，于是由式(19)可得由KP的定义知y∈KerP，即有由式(18)和(21)推出由此得由式(16)，(20) 和(22) 得J0，J1，…，Jn－1都在［0，T］上有界，再由式(16) 和(17) 知Jn在［0，T］上有界．又因为g在上满足Lipschitz条件，所以存在M2＞0，使对任意有对任意y(n)∈ Jn，任意 t，t'∈［0，T］，由式(17) 和(23) 得应用微分中值定理，注意到的定义，有由式(24)和(25)可推出由p(t)在［0，T］上的一致连续性，再由式(26)可知Jn在［0，T］上是等度连续的，Jn－1在［0，T］上的等度连续性可由 Jn在［0，T］上的有界性和微分中值定理推出．类似可推知 Jn－2，Jn－3，…，J0也都在［0，T］上等度连续．于是应用Arzela-Ascoli定理即推出相对紧，且由于相对紧，推出相对紧，可知N在上L-紧．由引理2，对任意λ∈(0，1) 和x∈ ∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx．又对任意∂Ω或注意到ⅱ)和有．特别有，可知deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0，故由引理1知方程L(I+cS(τ))x=Nx在中至少有一解，即方程(1)至少有一T周期解．推论1 如果存在正数D，H和M，使得则当时，方程至少存在一个T周期解．当f(x)≡0时，方程(1)变为如下方程推论2 如果存在正数D和M，使得则当时，方程(1)至少存在一个T周期解．推论3 如果存在正数D和M，使得则当方程至少存在一个T周期解．当c=0时，方程(1)变为如下方程我们有推论4 如果存在正数D，H和M，使得则当Tn－1H ＜1时，方程(1)至少存在一个T周期解．仿上还能给出相应的结论，我们不再赘述．作为应用，我们考虑下面方程我们取，可以验证定理的条件成立，从而由定理知方程(28)至少有一个2π周期解．事实上x(t)=sint就是方程(27)的一个2π周期解．【相关文献】［1］Gaines R E，Mawhin J L．Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations ［M］．New York:Springer-Verlag，1977．［2］Gopalsamy K，He X，Wen L．On a Periodic Neutral Logistic Equation ［J］．Glasgow Math J，1991，33:281-286．［3］葛渭高．多滞量时滞微分方程周期解的存在性［J］．应用数学学报，1994，17(2):173-181．［4］陈永劭．关于微分差分方程组周期解的存在性［J］．数学进展，1992，21(4):432-438．［5］LI Y．Periodic Solution of a Neutral Delay Equation［J］．J Math Anal Appl，1977，214:11-21．［6］李永昆．中立型时滞模型的周期正解［J］．数学学报，1996，39(6):789-795．［7］章毅，张毅．关于二阶常系数线性中立型方程的周期解［J］．数学学报，1990，33(4):517-520．［8］王根强．二阶中立型方程的周期解［J］．高校应用数学学报A辑，1993，8(3):251-254．［9］黄先开，向子贵．具有时滞的 Duffing方程x″+g(x(t－τ))=p(t)的2π 周期解［J］．科学通报，1994，39(3):201-203．［10］王根强，燕居让．二阶非线性中立型泛函微分方程周期解的存在性［J］．数学学报，2004，47(2):379-384．。
可化为非线性Euler方程的偏微分方程
可化为非线性Euler方程的偏微分方程偏微分方程在数学中有着重要的地位，它们是研究自然界各种现象及其规律的重要数学工具。
在偏微分方程中，线性方程是比较容易解决的，而非线性方程则较为复杂。
但是，有些偏微分方程可以化为非线性Euler方程，这种方程有着独特的性质和应用，本文将介绍可化为非线性Euler方程的偏微分方程。
一、什么是非线性Euler方程在介绍可化为非线性Euler方程的偏微分方程前，我们先来了解什么是非线性Euler方程。
非线性Euler方程源于亚历山大·埃米尔·伯努利于1755年提出的非线性无粘流动方程，该方程是质点在液体中运动的数学模型。
后来，欧拉对该方程进行了完善和推广，于是被称为欧拉方程。
欧拉方程是一个非线性偏微分方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$其中，$u$表示速度，$t$表示时间，$x$表示位置。
该方程描述了一维不可压缩流体的流动，即物质守恒定律和牛顿运动定律。
二、可化为非线性Euler方程的偏微分方程1. Burgers方程Burgers方程是一个二阶非线性偏微分方程，其形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$\nu$为常数，$u$表示速度，$t$表示时间，$x$表示位置。
该方程描述了一维粘性流体的运动，其中第一项表示速度与其梯度的积，第二项表示扩散项。
通过对Burgers方程进行变量代换，可以将其化为非线性Euler 方程。
设新变量$y=u^2$，则有：$$\frac{\partial y}{\partial t}+u\frac{\partial y}{\partial x} =2\nu\frac{\partial u}{\partial x}$$将$\frac{\partial u}{\partial x}$用$\frac{\partial y}{\partial x}$表示，即$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2u}\frac{\partialy}{\partial x}$，代入上式中可以得到：$$\frac{\partial y}{\partial t}+(u^2)\frac{\partial y}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$这正是非线性Euler方程的形式，只不过此时的$u$需要用$y$表示。
euler法 -回复
euler法-回复euler法是一种数值分析方法，用于近似求解常微分方程的数值解。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出，并以他的名字命名。
euler法的思想非常简单直观，通过一系列的逼近来得到问题的解。
下面将逐步介绍euler法的原理、步骤和数学推导，并讨论其应用和局限性。
euler法的原理是基于微分方程的欧拉公式展开，即根据导数的定义，将微分方程中的导数用差商的近似来表示。
对于常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们将自变量x和因变量y分割成一系列的小区间，取步长h，即x的增量为h。
根据导数的定义，我们可以得到：f(x,y)≈(y[i+1] - y[i])/h其中y[i]表示在第i个区间内的因变量y的值。
根据以上近似，我们可以得到微分方程的近似解：y[i+1] = y[i] + h*f(x[i], y[i])其中x[i]表示对应的自变量的值。
这个递推公式即为euler法的核心。
euler法的步骤如下：1. 确定初始值：给定微分方程的初始条件，即y[x0]=y0，其中x0为初始值的自变量，y0为对应的因变量。
2. 选择步长：确定小区间的步长h，根据问题的特点和要求来选择合适的步长。
步长越小，解的精度越高，但计算量也会增加。
3. 递推计算：利用euler法的递推公式，计算每个区间内因变量y的值，即y[i+1] = y[i] + h*f(x[i], y[i])。
重复此步骤直到达到所需的自变量的范围或达到所需的精度。
euler法的数学推导如下：考虑一个简单的一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们将自变量x和因变量y分割成小区间，取步长h。
在第i个区间内，我们可以用泰勒级数展开来近似表示：y[i] = y[i-1] + hf(x[i-1], y[i-1])将上述式子中的i替换为i+1，得到：y[i+1] = y[i] + hf(x[i], y[i])这个递推公式即为euler法的数学推导过程。
中立型多延迟积分微分方程Runge—Kutta方法的散逸性
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２ — １ ２ — １ ５
基 金 项 目 ：安徽 省 教 育厅 资 助 项 目 （ＫＪ ２ ０ １ ２ Ｚ３ ６ ７） 作 者 简 介 ：王 素 霞 （１ ９ ８ ２ 一 ） ，女 ，河 南周 口人 ，助 教 。硕 士 ，研 究 方 向 为 微 分 方 程数 值 解．
性 ．本 文 研 究 中 立 型多 延 迟 积 分 微 分 方 程 Ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ ． Ｋｕ ｔ ｔ ａ 方 法 的 散逸 性 ，希 望进 一 步完 善 和推 广 已有 的
关 于 中 立 型延 迟 系 统 的 散 逸 性 结 果 ．
１ 中立 型 多 延 迟 积 分 微 分 方 程 的 Ｒｕ ｎ ｇ ｅ — Ｋ ｕ ｔ ｔ ａ方 法
给 出 了 Ｒｕ ｎ ｇ ｅ － Ｋｕ ｔ ｔ ａ方 摘 要 ：研 究 了 中 立 型 多 延 迟 积 分 微 分 方 程 Ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ — Ｋ ｕ ｔ ｔ ａ方 法 的 散 逸 ， ，
法的数值散 选性 结果．
关键 词 ： 中 立 型 多 延 迟 积 分 微 分 方 程 ；Ｒｕ ｎ ｇ ｅ － Ｋｕ ｔ ｔ ａ方 法 ；散 逸 性
Ｗ ＡＮＧ Ｓ ｕ －ｘ ｉ ａ ， ＸＵ Ｙｉ ｎ ｇ
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｈｕ ａ ｉ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｈｕ ａ ｉ ｎ ａ ｎ ２ ３ ２ ０ ３ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｏ ｔ ： Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄｅ ａ ｌ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｓ ｉ ｐ ａ ｔ ｉ ｖ ， ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｒｕ ｎｇ ｅ — － Ｋｕ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄｓ ｆ ｏ ｒ ｎｅ ｕ ｔ ｒ ａ ｌ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — － ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ０ 一ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄｉ ｓ ｓ ｉ ｐ ａ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｒｕ ｎｇ ｅ —Ｋｕ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｎ ｅ ｕｔ ｒ ａ ｌ ｍｕｌ ｔ ｉ －ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ｏ － ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ； Ｒｕ ｎ ｇ ｅ － Ｋｕ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ；ｄ ｉ ｓ ｓ ｉ ｐ ａ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ
euler法 -回复
euler法-回复什么是Euler法？Euler方法是数值解常微分方程的一种基本方法。
它由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于18世纪提出。
这种方法基于微分方程的近似解，在给定的初始条件下，通过一系列的步骤来逼近方程的解。
为什么需要使用Euler法？常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了许多自然现象和物理定律。
然而，很多微分方程并没有能求出解析解的方法。
在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来近似地计算方程的解。
此时，Euler法被广泛应用，因为它简单易懂、易于实现，并在解决简单方程时具有较好的精度。
Euler法的原理是什么？Euler法的基本思想是将微分方程看作一个一阶差分方程，通过给定的初始条件和步长（时间间隔），逐步逼近方程的解。
对于一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，Euler法的迭代步骤如下：1. 给出初始条件：x0，y02. 计算斜率：k = f(x0, y0)3. 根据步长h，计算下一个点的值：x1 = x0 + h，y1 = y0 + hk4. 重复步骤2和3，直到达到所需的点数量或精度这样，我们就能够通过一系列的迭代步骤，逐渐逼近微分方程的解。
Euler法的优缺点是什么？Euler法被广泛使用的原因之一是其简单性，易于理解和实现。
此外，它在解决简单微分方程时具有较好的精度。
然而，Euler法也有一些缺点。
首先，它在逼近解时产生的误差较大，特别是对于步长较大的情况。
这种误差被称为截断误差，它来自于将微分方程近似为差分方程的过程。
此外，Euler法在解决刚性方程或具有奇点（singularity）的方程时效果较差。
如何改进Euler法的精度？为了提高Euler法的精度，可以考虑使用更高阶的数值方法，如改进的Euler法和四阶Runge-Kutta方法。
这些方法在每个步骤中使用更多的信息来逼近微分方程的解，从而减小截断误差。
此外，可以通过减小步长h 的大小来增加精度，但这同时会增加计算量。
延迟微分方程的两种配置解法
EQUATIONS
Candidate: Supervisor: Academic Degree Applied for: Specialty: Affiliation: Date of Defence: Degree-Conferring-Institution:
Abstract. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 第1章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
首先，简单介绍小波、拟小波、多项式空间等基础知识。 其次，对于一类中立型延迟抛物方程利用拟小波基函数进行离散，建立 起关于时间变量的常微分方程组，然后利用精细积分法对其求解，并从理论 上证明了该方法的数值稳定性，数值算例证实了有效性。 最后，对于一类延迟偏生态模型分别利用不同的多项式空间作为求解的 函数逼近空间，给出了其一维和二维情形下的全离散配置格式，并证明了该 格式的存在唯一性及误差估计。 关键词 延迟微分方程；配置法；拟小波；全离散配置格式；稳定性
–I–
哈尔滨工业大学硕士学位论文
Abstract
This paper deals with two collocation methods and theoretical analysis for delay differential equations (DDES).Collocation is a numerical methods developed in recently twenty and thirty years.The method satisfies with the conditions with pure interpolating constraints and looks forwards to the operator of the approximative solution.Collocation is no need computing numerical integration , easily transforming the approximating equation,computing simply and high convergent accuracy.So this methods is applied in solving the elliptic equation,the hyperbolic equation and the quasi-linear parabolic problems.But collocation has a little attention in solving delay differential equations.this paper is intended to solve the numerical computation and theoretical analysis for delay differential equations according to the quasi wavelet and full discrete collocation methods:
延迟微分方程隐式Euler方法的收敛性
（ ） １
甘 四清 教 授推 荐 收 稿 日期 ：０ ６年 ７月 ７日 ２０
维普资讯
第 １期
延 迟 微 分 方 程 隐 式 Ｅ ｌｒ 法 的 收 敛性 ｕｅ 方
３ ５
这 里 （） 连续 函数 ， ｆ是 常数 一一 ｍｉ（ — ｒｆ） 延 迟量 ｒｆ ｎｔ （） ， （） ０且满 足 Ｉ ｐｃ ｉ 条 件 ． ｓｈｔ ｉ ｚ
伍 慧 娇 （ 南农业大 学理 学院 ， 沙， １ ２ １ 湖 长 ４ １０ ）
王 文 强
（ 湘潭大 学数 学与计 算科 学学院 ， 湘潭 ，ｌ １ ５ ４１０ ）
摘 要 本 文讨 论 了用 隐 式Ｅ ｌｒ方 法求 解 一 类延 迟 量 满 足Ｉｐｃ ｉ ｕｅ ｓｈ ｚ条 件． ｉ ｃ ｉ ｉ ｔ ＥＬｐ ｈｔ ｓ ｚ常数 小 于 １ 非 线性 变 的
， ， ０
ｌ（ ） ｒ ｔ ｌ ｔ 一 （２ ｒ１ ）
ｌ — ｔｌＶ ｔ， ｔ ｔ ｌ ２， １ｔ ２ 。
（） ２
其中最小 Ｌｐｚｉ 常数 ＜ １映射 厂： ｏｏ ）×Ｃ ｉ ｈｚ ｓ ｔ ， Ｅ ，。 ×Ｃ 一 Ｃ 连续且满足 Ｒ （１ “， （，１ ） ｆ ｔ“，） 口ｆ Ｉ １ “ Ｉ ， ｅｕ 一 ２ｆ ｔ“， 一 （，２ ） 三 （）ｌ 一 ２Ｉ “
Ａｂｔａ ｔ ｓｒ ｃ
Ｉ ｔ ｓ ａ ｒ，ｔ ｅ ａ ｔ ｎ ｈｉ ｐ ｐｅ ｈ ｕ ｈｏｒ ｄｉｃ ｓ ｅ ｔ ｅ ｏｎｖ ｒ ｎ ｅ ｓ ｓ ｕ ｓ ｓ ｈ ｃ ｅ ｇｅ ｃ ｏｆ ｍ ｐｌｃｔ ｉ ｉｉ Ｅｕｌｒ ｏ ｎｏ ｉ ｅ ｒ ｅ ｆ ｒ ｎｌｎ ａ Ｄｅａ ｌｙ
Ｄｉｆ ｅ ｉ ｌ ｆｅｒ ｎｔａ Ｅｑｕ ｉｎｓ（ＤＤＥｓ） ｗ ｉｈ ａ ａ ｉｂ ｅ ｅ ａ ｔ ａｔ ａ ｉｆｅ Ｌｉｓ ｈ ｔ ｃ ｎｄ ｔｏ ａ ｄ ｈ ｍ ｉ ｍ ｕｍ ａｔｏ ｔ ｖ ｒａ ｌ ｄ ｌ ｙ ｈ ｓ ｔｓｉｓ ｐ ｃ ｉｚ ｏ ｉｉｎ ｎ ｔ ｅ ｎｉ Ｌｉ ｃ ｔ ｃ ｎｓ ａ Ｌ ＜ １ ｐｓ ｈｉｚ ｏ ｔ ｎｔ ．Ｗ ｈ ｎ ｈｅ ｍｐｌｃｔ ｅ ｔ ｉ ｉｉ Ｅｕｌｒ ｅ ｈｏ ａ ｐｌｅ ｔ ｔ ａ ｏ ｅｍ ｅ ｔｏｎ ｄ ｑ ｔｏｎ ｔ ｅ ｅ ｍ ｔ ｄｓ ｐ ｉｄ ｏ ｈｅ ｆ ｒ ｎ ｉ ｅ ｅ ｕａ ｉ ｓ． ｈ ｙ ｐ ｏｖ ｓｔ ａ ｈ ｅ ｈｏｄ ｗ ｉｈ ｌｎ ａ ｎｔ ｒ ａ ｉ ｏ ｅｄ ｅ ｉ ｏ ｅ ｇ ｎｔ ｒ ｅ ｈ ｔｔｅｍ ｔ ｔ ｉ ｅ ｒ ｉ ｅ ｐｏｌｔｏｎ ｐｒ ｃ ｕｒ ｓｃ ｎｖ ｒ ｅ ．
两类随机延迟微分方程milstein方法稳定性和收敛性
两类随机延迟微分方程Milstein方法的稳定性和收敛性学位申请人易锋导师姓名及职称王文强副教授学院名称数学与计算科学学院学科专业应用数学研究方向刚性微分方程算法理论及其应用学位申请级别理学硕士学位授予单位湘潭大学论文提交日期二零零九年十月三十日Stability and Convergence of Milstein Methods for Two Kinds of Stochastic Delay Differential EquationsCandidate Yi FengSupervisor and Rank Associate Prof. Wenqiang WangCollege School of Mathematics andComputational ScienceProgram Applied MathematicsSpecialization Theory and Application of Numericalmethods for Stiff Differential Equations Degree Master of ScienceUniversity Xiangtan UniversityDate October 30th ，2009湘潭大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写的成果作品。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
euler算法
Euler算法Euler算法是一种用于解决不定方程的迭代数值求解方法，由瑞士数学家Euler于18世纪提出。
该算法被广泛应用于计算机科学、工程学、物理学和统计学等领域，用于近似求解实数域中的特定方程。
算法原理Euler算法的基本思想是通过近似方式逼近方程的解。
它通过将求解区间划分为若干子区间，并在每个子区间上选取一个适当的近似根来逼近方程的解。
这些近似根会不断逼近真实解，直到达到用户定义的精度要求。
Euler算法的核心框架是一个循环迭代过程。
首先，需要指定方程的初始点（initial guess），通常是方程在某个特定区间内的中点。
然后，在每一次迭代中，通过使用方程的导数来计算当前点的斜率，并根据斜率的大小和方向来更新近似根的位置。
重复这个迭代过程，直到达到预设的精度或迭代次数。
算法步骤1.确定方程及迭代范围：选择具体待求解的方程以及迭代的区间。
2.设定迭代次数n和初始点x0：选择适当的迭代次数和方程的初始近似解。
3.迭代过程：重复以下步骤直到满足终止条件。
a.计算斜率：利用方程的导数计算当前点x的斜率。
b.更新位置：根据斜率的大小和方向更新近似根的位置。
c.检查终止条件：若满足预设的精度或迭代次数，则终止迭代。
4.输出结果：输出最终的近似解或无解的结果。
算法示例下面通过一个具体的例子来说明Euler算法的应用过程。
假设我们要求解方程sin(x) = x，在区间[0, 1]内的近似解。
以下是使用Euler算法求解的步骤：1.确定方程及迭代范围：我们要求解的方程为sin(x) = x，在区间[0, 1]内。
2.设定迭代次数n和初始点x0：我们假设迭代100次，并选择初始点x0 =0.5。
3.迭代过程：重复以下步骤100次。
a.计算斜率：根据方程sin(x) = x的导数cos(x)计算当前点x的斜率。
b.更新位置：根据斜率的大小和方向更新当前点的位置，并将更新后的点作为新的近似根。
c.检查终止条件：检查当前点与前一次迭代的点之间的差值是否小于设定的精度，如果满足则终止迭代。
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ｄｌ ｔｇａ ｄ ｅｅｔ ｌ ｑ￣ ｏｓ（ Ｄ Ｄ Ｓ ． ｈ ｉｓｈｔ ｎｍｂｒ ｆｈｓ ｒｃ ｎｔ ｎｏ ｏ ｅｖｒ ｂｅ ｅａ ｉ ｅｒｌ ｉ ｒｎｉ ｕ ｉｎ Ｎ Ｉ Ｅ ） Ｔ ｅ ｐｃｉ ｕ ｅ ｉ ａｔｌ ｉ ａｆ ｃ ｏ ｔ ｎｔ ａｉ ｌ， ｙｎ ｆ ａｅ Ｌ ｚ ｏｔ ｉｅｓ ｕ ｉ ｆ ｈ ａ
第３ ０卷 第 ４期 ２１ ００年 １ ２月
数 学理 论 与 应 用
ＭＡＴ ＭＡ’ ＨＥ ⅡＣＡＬ Ｔ ＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＰＵＣＡＴ ０ＮＳ ＡＰ １
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ４ １３ ． Ｄｅ 。２ ０ ｃ ０１
非 线性 中立 型 延迟 积分 微 分 方程 隐式 Ｅ ｌ 方 法 的收缩 性 ｕｅ ｒ
（．） １ ３
Ｉ（，，。 ，）一 ｔ， ： ，）≤卢 ￡ｌ ２，Ｖ ≥ｔ，， ， ｌ ＥＣ 。 ｔ ｔ， ， ｔ ，， ， ｔ ｌ （）ｌ 一 『 ｔ 。，Ⅱ ｕ，， ｆ ， ｔ ， ， ￡ Ｉ ， ｕ Ｉ ， ，
（． ） １４
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【 ｚ ｔ ＝ （） （） ｔ ， ｔ≤ ｔ， ０
高纯一
Hale Waihona Puke 教授推荐 收稿 日期 ：０ ０年 ４月 ２ ２１ １日
数学理论与应用
１ 试 验 问题 类
设 ［，］ ・ ・ 为空问 ｃ 中的内积 ，Ｉ１ 由该 内积导出的范数， ｌｌ ．是 考虑下列 Ⅳ维非线性中立型
延迟 积分微 分方程 （ ＤＤ Ｓ 系统 。 Ｎ ＩＥ ） ） ＝ ，（）， 一７ ）， — ） ，（ － ） ， （） ， ， （ ， 【 ｙ ￡ ＝ （） （） ｔ ， ）（ ，（） ） 后 ， ｓ ） ， ， ≥ （ １
．
１ ）
ｔ ｔ， ≤ ０
其中 是连续 函数 ， （） ￡ 是连续可微函数 ， ７ ｔ 令 １ ）＝‘ 丁 ‘ ， ． ‘ 是连续时滞函数 ， （ 一 （） 而 ｒ ） （ 满足 （ ） （）≥ ０ Ｖｔ ｔ。 １ ｒ ｔ ， ≥ ０ 为了讨论问题的稳定性 ， 我们引入相应的扰动问题 。
是关于变量 ｔ 的函数 ， 而不是常数 ， 最终能得到其数值解 的结果是收缩的。
关键词 收缩性
Ｔｈ ｎ ｒ ｃ ｉ ｉｙ ｏ ｍ ｐ ｉｔ Ｅｕ ｅ ｅ ｈ ｄ ｏ ｈｅ Ｎｏ ｌｎ ａ ｅ Ｃｏ ｔ ａ ｔｖ ｔ ｆ Ｉ ｌ ｌ ｒ Ｍ ｔ ｏ ｓ ｆ ｒ ｔ ｎ ｉ ｅ ｒ ｃ Ｓ ｓｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｌＤｅ ａ ｎ ｅ ｒ ｌＤｉ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｓ ｙ ｔ ｍ ｆＮｅ ｔ ａ ｌ ｙ Ｉ ｔ ｇ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌＥｑ ａ ｉ ｎ
Ｗａ ｇＪ ｈ ｎ Ｓ ｎ ｏ ｅ ｎ ｉ ｏｇ ｎ ｏ ｇＨａｊ ｉ
（ｃｏｌ ｆ ａ ｅ ａｃ ｄＣ ｍ ｕ ｔｎｌ ｉ ｃ ，ｈｎｓａＵ ｉ ｒｔ ｏ ｉ ｃ ＆Ｔ ｃｎｌ ｙ Ｃ ａｇｈ ， １０４ Ｓｈｏ ｏ ｔ ｍ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐｔｉ ａ Ｓ ｅ ｅＣ ａｇｈ ｎ ｅ ｉ Ｓ ｅｅ Ｍ ｈ ｉ ａ ａｏ ｎ ｃ ｖ ｓｙ ｆ ｎ ｃ ｅｈ ｏ ｇ ， ｈｎｓａ ４００ ） ｏ
ｎ ｔｃ ｎ ｔｎ ． ｏ ｏ ｌ ｅ ｒｎ ｕ ｌ ｅａ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ， ｅ ｆ ａ ｅ ｕｔｃ ｎ ｂ ｏ ｔ ｃ ． ｏ ｏ ｓａ ｔ Ｆ ｒｎ ｎｉ ａ ｅ ｒａ ｌ ｙ ｄｆ ｒｎ ａ ｑ ａ ｉ ｔ ｎ ｌ ｓ ｌ ａ ｅ ｃ ｎ ｒ ｔ ｎ ｄ ｉ ｏ ｈ ｉ ｒ ａ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｃ ｎ ｒｅ ｉｉ ｌ ｌ ｔ ｌ ｒｍｅｈ ｓ ｙ ｒｓ ｏ ｔａ ｔ ｔ ｖ ｙ ｍｐｉ ｅ ｔ ｏ ｅ Ｅｕ ｄ ｄ ｆ ｒｎ ｉｌｅ ａｉｎ ｉ ｅｅ ｔ ｑ ｔ ｓ ａ ｕ ｏ Ｎ ｕ ｒ ｕ ｃｉｎ ｉ ｅ ｎ ｉ ｑ ａ ｏ ｓ Ｎ ｕ ａ ｅａ ｎ ｅ ｒｌ ｅ ｔａ ｆ ｎ ｔ ａ ｄ ｒ ｔ ｅ ｕ ｔ Ｈ ｅ ｔ ｌｄ ｌｙ ｉ ｔ ｇａ ｌ ｏｌ ｆ ｅ ａ ｌ ｉ ｒ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｉ ｃ ｎ ｅ ｎ ｄ 出 ｔ ｅ ｃ ｎｒ ｅｉｉ ｆ ｍｐ ｉｔ ｌｒｍｅ ｈ ｄ ｏ ｅｎ ｎ ｉｅ ｒｓ ｓｅ ｆ ｅ ｔ ｌ ｓｒ ｃ ｈ ｓ ａ ｅ ｏ ｃ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｔ ｔ ｔ ｏ ｌ ｅ ｔ ｏ ｓｆｒｔ ｏ ｌ ａ ｙ ｔｍｓｏ ｕｒ ａ ｖｙ ｉ ｃ Ｅｕ ｈ ｎ ｎ ａ
王锦 红 宋 豪杰 （ 沙理 工大 学数 学与计 算科 学学 院 ， 沙 ，１０４ 长 长 ４００ ）
摘 要 本文致 力于研 究非线性 中立型延迟 积分微 分方程 隐式 Ｅ ｌｒ 法的收缩性。本 文 中的 Ｌｐｃｉ ｕｅ 方 ｉｓｈｔ ｚ数 隐式 Ｅ ｌｒ ｕ 方法 中立型泛函微 分方程 中立型延迟积分微 分方程 ｅ
这里 （） ￡ 是连续可微 函数 ， 我们恒设 （． ） １２ 分别有唯一真解 ） ｔ 和 ｚｔ ， １ １ 和（ ． ） ，） （ （） 并认 为， ． ［ ， ｌ ＸＣ ＸＣ ＿ Ｃ 关于 ｔ ｔ ∞） Ｃ ＸＣ ＋ ０ Ｘ 连续 ， 且满足下列条件：
Ｒ ［ｌ ） ｔ， ｌ ｔ ２Ｍｔｔ ］≤ ｔＩ１ ２ ， ｔ ｏ）， ， ｔ１ ∈Ｃ 。 ｅ） 一 ， ，ｌ ，，）一 ， ，，，） （）ｌ 一ＹＩ Ｖ ≥ｔ，１ ，， ， ２ ，， ‘ ７ ｙ Ｉｔ ， ｙ Ｉ ， ，） １