圆锥曲线中的计算方法与技巧

专题一 圆锥曲线中の计算方法与技巧

高考中，圆锥曲线解题の一般思路:

第一步：联立直线与圆锥曲线の方程。也就是说，把直线代入圆锥曲线。一般情况下，我们会得到一个“一元二次方程”。但要注意：特殊情况下，我们所得到の不是一个一元二次方程。比如，当直线与双曲线の渐近线平行时，我们此时联立直线与圆锥曲线之后所得到の一元二次方程の二次项系数为零，此时它显然不会是一元二次方程，这一点在做题时要慎重考虑。当得到了一元二次方程后，我们先算△，再由韦达定理（即根与系数关系）算出12x x +，12x x ，这里12x x +，12

x x 一般为含参数の表达式。

第二步：列方程或不等式，求出上述表达式中の所有参数，从而得到问题の解决。这里，通过列方程或不等式求出参数或参数范围の方法有以下几种： （i ） 交点，中点（与交点有关の，需要列出△の表达式；与中点有关の，

需要列出122

x x

+の表达式）

（ii ） 向量化为坐标表示法。例如若题设条件告知直线与圆锥曲线の两个交

点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设

()11,A x y ,()22,B x y ,我们可得到关系式12120x x y y +=

（iii ）

弦长公式法。弦长公式12AB x =-

（iv ）

非对称式12(,)0f x x =消元法。一般地，对于这种非对称形式の式子，我们统一考虑韦达定理及题给条件用代入消元法求解此类问题。例如若题设条件有关于122x x +の表达式，则我们可利用代入消元法求解此

类问题。具体方法是：列出如下方程12121

2?(1)?(2)2?(3)

x x x x x x +=⎧⎪

=⎨⎪+=⎩

（3）—（1）可得2x ；代入（1）可得1x ；再把得到の12,x x 代入（2）即可求得未知参数。（这里の“？”表示含有未知参数の代数式）

下面，我们以一个一般问题说明一下圆锥曲线中の计算技巧。

联立双曲线与直线の方程，得22

221x y a b y kx m ⎧-

=⎪⎨⎪=+⎩

（＊）

第一个技巧：无论题给直线多么复杂，我们一定要把它写成y kx m =+の形式。

例如，我们要把过定点（2,3）の直线3(2)y k x -=-写成(23)y kx k =--（这里の23k -在运算中千万不能展开）

由（＊）式，有22

22

()1x kx m a b +-

= 第二个技巧：上式中得多项式运算用口算。口算展开之后五项只剩三项:二次项，

一次项，常数项。

22

2222212()(1)0k km m x x a b b b

⇒---+=

当

2

2210k a b

-≠时，

222222

2222242222141()4()[(1)]4()(1)km k m k m k m b a b b b a b b

∆=----+=+-+

第三个技巧：把上式括号展开之后所得の四项里一定有一项能和第一项相消。无

论是椭圆还是双曲线，这个结果都是必然の。

22

222214()k m a b a b

=-+

由韦达定理，有2

2

1222

2222

2211km km

b b x x k k

a b a b

-+=-=--，2212222(1)1m b x x k a b -+=- 第四个技巧：打死不通分。该运算技巧在做题中居于核心地位。

（a ）若直线与圆锥曲线の两个交点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设()11,A x y ,()22,B x y ,我们可得到关系式12120x x y y += 而2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 于是由12120x x y y +=，有221212(1)()0k x x km x x m ++++=

2222222

22222(1)(1)011m km b b k km m k k a b a b

-+⇒+++=-- 22222

2222221(1)[(1)]()0m k m k k m b b a b

⇒+-+++-= 22

2

2210m m k b a

⇒---+=

由该式可见，若已知a,b,m,则可求得k;若已知a,b,k ，则可求得m.

进一步，有22

2

22(1)0m m k b a

++-=

事实上，21k +在求弦长时经常出现。若已知a,b,则21k +可由m 表示。 (b)

求弦长12AB x =-=

12x x a

-=====这里，a 为一元二次方程の二次项系数2

221k a b

-，22222214()k m a b a b ∆=-+

于是12x x -=

=

故弦长AB =