第三章离散时间信号的傅里叶变换.

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第三章离散时间信号的

傅里叶变换

3.1连续时间信号的傅里叶变换3.2 DTFT；

3.3抽样定理；

3.4DFS；

3.5DFT；

3.6DFT计算线性卷积；3.7DFT 相关问题

傅

立

吋

<

滋

昱

他

召

分

柘乡

紅

理

的

基

本

2

星

光的色散

可见尤话入

閏1电鹹la射腔

审

—

78Liin

Jl,0

[~l,T/2

3.1连续信号的傅立叶变换

1.傅立叶级数A（r） = x（r-F nT\ ^=2TT/T

x(f)=工X(kCl^e

k=_s

FS

2X(gj = x{t)e~j^dt

周期信号展开为傅里叶级数的条件

（1） 兀（/）在一个周期内的能量有限，即

J ；2卜⑴帥＜8

（2）

在任一周期内有间断点存在，

、

则间断点的数目应该是有限的

（3） 在任一周期内极人值和极小值的数目

应该是有限的

（4） 在一个周期内绝对可积，即 JX 啟）1力

/>Dirichle

条件（

傅立叶系数X 伙C （））是第k 次谐波的系数，所以 x 伙

qj 在频率坐标轴上是离散的，间隔是n 0。

逾

2傅立叶变换：r X(jQ)= C x{t)e~^dt

J—oo

FT定义I

FS: X (七G°) = * x(t)e~jkn°l dt

若班。是非周期信号，可以认为兀(/)的周期T => oo

X (F )的周期厂=>8

G ()= 2TT /7^=>0, RG ()= Q=> 连续

‘

1 r"

由 X(£°o )= 〒J x(t)e 有 lim TX

伙。咗 Ts

Q->0

Q

=lim [ x(t)e "G"

T->8 J/

=f x(t)e 3dt

J —oo

= X(JQ) i

一丿5厂单位频带 广

内的频谱

■

频

dt

=o

FT

对应连续非周期xg)连续

密度

对应连续周期x(gj离散

请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！

FS

强度

FT 存在的必要条件:

因为 E=£>（df>a ）附 1

所以，如果x （C 是绝对可积的，那么它一定 是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，

愛竺可积的，但不是绝对可积的。所以，取

更稳妥（即更严格）。

说法1：

x(r) G 厶

xg ）|=匚兀（少<

—co

匚卜（心 < QC

说法2：

x(t) e 厶

因为 s 2 ,

E x =［」双川力三山卞⑴附

/、 sin 2;vt

垃)

7Tt

周期信号： 可以实现傅里叶级数的分角举

属于功率信号；

非周期信号：可以实现傅里叶变换，

属于能量信号；

那么，周期信号可否实现傅里叶变换? 在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。

=£ x 仏昭))匚 “g—g"/ Jl=—co

Q J e Jxx dx — 2兀§ ( y)

x ( JQ ) = 2^ x(gjs (c-gj

A =—oo

FS

强度

=「“eS

J —co

周期信号

FT 密度

例：令x(t) = cos(2^)求其傅立叶变换。因

为：L卜⑴W TOO所以，严格意义上的待

立

叶变换不存在:可将其展开为傅立叶级数：

x(t)= X X gj严

A: =-oo

= ["U*]/2,

X 伙G()) = * cos (Q()r) e~jk^dt

尿三r=1/2, k = 19—1

现利用5 函数将x(t)作傅立叶变换:

3・2离散时间信号的傅里叶变换、

Discrete Time Fourier Transform, bTFl

OD -______________

X （幺购）=工x （〃）厂闷

/!=—CO

X （z ） =》x （〃）z ”

X （e jGf

） = X ⑵I 十=X 畑严

］（二）特点

1. x （n ）是离散的，所以变换需要求和;

2. X （/）是CD 的连续函数；

3. X （/）是0）的周期函数，周期为2兀；

x （Jd ））= £兀（心73"加

M=-O0

04・X （严）存在的条件是x （n ） e l x 空间

DTFT 和Z 雯换的关糸！

（-）定义

5. DTFT s

X("")= 如

rt=s

可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立

叶系数即是x(n)；

6.⑵是Z在单位圆上取值时的Z变换:

X(严):=X(z)l 十

乙一c

7.由X(»”)可以得到班刃)的幅度谱、相位谱

及能量谱，从而实现离散信号的频

J频分析；

7

& 反变换X(/) = X x(n)e-j^

J：X{e j(0}e j(0,u dco = J：［乞x{n)e i(on\e ia)m d(D

H=-00

=乞x(/i)「严 E cl co = 27ix(m)

，匸一co

「严(5辰= J-zr

X(/7)= 1「X{e io)}e j(l)ll dco

2兀—