2020年高考数学第二轮复习 平面向量教学案 精品

2020年高考第二轮专题复习（教学案）：平面向量

考纲指要：

重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：

1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。 3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。 4．平面向量的坐标表示。 5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何

意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a r 与b r 的夹角为900

则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r 。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：

例1． 已知二次函数f （x ）＝x 2

－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，

2

1

）， c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a ·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．

解：a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2

x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称，

∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．

由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2

x ＋1，

又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（4

34ππ,）．

例2．求函数y =

.

分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。

解:因为y =，

所以构造向量2

1(2p x =+

,21(2q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,

另一方面:≥得0y ≥,

所以原函数的值域是[0,1).

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如

等。

类比一：已知12462

2

=++-y y x x ，求y x u 43-=的最值。

解：已知等式可化为25)2()3(2

2

=++-y x ，而17)2)(4()3(343++-+-=-=y x x u ，所以构造向量)4,3(),2,3(-=+-=y x ，则17,cos 2517+><=+⋅=u ，从而最大值为42，最小值为8。

类比二：计算︒+︒+︒+︒+︒293cos 221cos 149cos 77cos 5cos 之值。

解：构造单位圆的内接正五边形ABCDE ，使)5sin ,5(cos ︒︒A ，)77sin ,77(cos ︒︒B ，

)149sin ,149(cos ︒︒C ，)221sin ,221(cos ︒︒D ，)293sin ,293(cos ︒︒E ，则可证 =++++,从而原式=0

类比三：已知实数z y x ,,满足1=++z y x ，求证：3

1

2

2

2

≥++z y x 。 解：构造空间向量)1,1,1(),,,(==z y x ,即可。

复习智略：

例3．在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M

同时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA u u u r = ||MB u u u r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0） ，已知PF u u u r ∥FQ uuu r , RF

u u u r

∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r

= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值. 解：（1）设C ( x , y )， Q 2GA GB GO +=u u u v u u u v u u u v ,由①知2GC GO =-u u u v u u u v

,

∴G 为 △ABC 的重心 ， ∴ G(3x ,3

y )

由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上 由③知M （

3

x

，0），

由|| ||MC MA =u u u u r u u u r

=化简整理得：2

213x y +=（x ≠0 ） （2）F

，0 ）恰为2

213

x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k ≠0且k

≠±

2

，则直线PQ 的方程为y = k ( x

)

由222222

((31)630330

y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨+-=⎪⎩ 设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2

= 2231k + , x 1·x 2 =226331

k k -+

则

·

= 221)

31

k k ++

Q RN ⊥PQ,把k 换成1

k

-得

∴S =1

2| PQ | · | RN |=2222

6(1)(31)(3)k k k +++ =228213()10k k

-++) 22

18

3()102k k S ∴+

+=- 221k k +Q ≥2 ， 82S ∴

-≥163

2

∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k 不存在或k = 0时S = 2 综上可得 3

2

≤ S ≤ 2

∴S max = 2 ， S min = 3

2

检测评估：