扭转与剪切

d 大小： G dx
方向：与半径垂直
(4.8b)
NEXT
3. 静力学关系
T A (dA ) 2 d A G dA dx d G A 2dA dx
dA

O
令： I p A 2dA
(e)
T Ip
d T 即： dx GI p d 代入物理关系式 G dx 得：
Ip—极惯性矩，纯几何量，长度四次方。无物理意义。
I p A 2dA
只是Ip值不同。
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
next
④
极惯性矩的计算
对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 0
W
2
M (牛顿米） （弧度）
两式相等得：因输入的 功是经由扭矩作用于轴 上完成的
= M (牛顿米） 2 n （弧度）
60000 P P M 9549 (牛顿米） 2 n n (4.1)
RETURN
§4.2 扭矩和扭矩图
1、已知：作用于轴上的外力偶矩m， 可用“截面法”求出横截面上的内力 （此时即为内力矩） m m
研究截面3-3 ， 取右段
T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
NEXT
③ 绘制扭矩图 m2
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
m3
m1
m4
n
A T
– 4.78
图 4.3c
B
C
D
6.3
–
9.56
NE
心得：内力矩计算时要明确4个如何？
思考？ 1、如何假设内力矩方向？（列方程之前） 2、如何列力矩平衡方程？（列方程过程） 3、如何代入已知外力矩值？（求解方程） 4、如何判断内力矩方向？（方程求出之后） 答案： 1、按内力矩正方向假设 2、力矩方向相同时符号一致 3、均按正号代入 4、若求得结果为正则说明与假设一致，否则与假设相反 RETURN
⑥ 确定最大剪应力： 由
T Ip
知当
D R 时, max 2

max
D T T T 2 (令 W t I p D Wt Ip Ip 2
D ) 2
max
T Wt
(4.10)
Wt — 称抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
二、薄壁圆筒横截面上剪（切）应力 的计算



A
dA r0 T

r0 AdA r0 2 r0 t T

T T 2 r02 t 2 A 0 t (4.2)
——平衡方程

A0：为平均半径所作圆的面积。
RETURN
4.3.2 剪(切)应力互等定理
第4章 扭转与剪切 （Torsion & Shearing）
§4.0 本章导读 §4.1 扭转的实例和概念 §4.2 扭矩和扭矩图 §4.3 薄壁圆筒的扭转（纯剪切） §4.4 等截面圆直杆轴的扭转 §4.5 等截面圆直杆轴扭转强度与刚度计算 §4.6 剪切与挤压 §4.7* 圆柱形密圈螺旋弹簧矩形截面杆简介
d

D
4

O
D
32
next
d 对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2

d O D


32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
d ( ) D
next
⑤ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：可提高强度、节约材料， 空心截面构件重量轻， 结构轻便，应用广泛。——随后举例！ next
1. 横截面变形后仍为平面；大小形状 不变，半径仍保持为直线； 2. 相邻两横截面距离不变，轴向无伸缩。 RETURN
4.4.2 圆轴扭转三大方程
1 变形几何关系
在圆周中取出一个楔形体 放大后见图（b） 切应变：
CC rd d r AC dx dx GG d d EG dx dx
面上扭矩变化规律的图线。
目 的 ①了解扭矩的变化规律； ②|T|max值及其截面位置 T x
图 4.2c
m m 强度计算(危险截面)
NEXT例子
RETURN
例4.1 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮C输入功率
P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW， 试求轴的各段截面上的扭矩并绘制扭矩图
相当： E
量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。 杨氏弹性模量E、剪切弹性模量G、和泊松比 ；是表明材料弹 性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在 下列关系（推导详见后面章节）：
E G 2(1 )
(4.6)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 RETURN
d T GI p dx
——称为横截面对 (4.9a) 圆心O点极惯性矩
(4.9b)
——平衡方程
NEXT
——横截面上距圆心为处任一点 剪应力计算公式
4. 讨论
① 仅适用于各向同性、线弹性材料在小变形时的等圆截面直杆
② 式中：T—横截面上的扭矩，可由截面法通过外力偶矩求得。
Байду номын сангаас
—该点到圆心的距离。
§4.3 薄壁圆筒的扭转—纯剪切
4.3.1 薄壁圆筒扭转时的应力→平衡方程 4.3.2 剪（切）应力互等定理 4.3.3 剪切胡克定律 →（几何方程&物理方程）
4.3.1 薄壁圆筒扭转时的应力
1 壁厚和半径满足： t r0 薄壁圆筒概念： 10
一、实验
1.实验前： ①绘纵向线和圆周线； ②端部施加一对外力偶 m。
§4.1 扭转的实例和概念
4.1.1 扭转的实例和概念 4.1.2 外力偶矩的计算
4.1.1 扭转的实例
三 个 工 程 实 例
图4.1a
图4.1b
图4.1c
RETURN
4.1.1 扭转的概念
受力特点？ 变形特点？
A m
外力偶作用面与杆轴线垂直。 杆各横截面绕轴线发生了相对转动
O B
m

轴的概念：产生扭转变形的杆称为轴
图 4.2a
2、用截面法求扭矩： 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作 “T”。 x M 0

x
m
T
图 4.2b
T m 0 T m
3、符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则 为正，反之为负。 NEXT
§4.2 扭矩和扭矩图
4 扭矩图( Torsion torque graph) ：表示沿杆件轴线各横截
扭转角（）：截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。 RETURN
4.1.2 外力偶矩的计算
外力偶矩M、传递功率P、转速n的关系？
M
图中T是机器对于电机扭矩M的反作用 力矩，现在来计算一分钟的做功 W
从电机看 从扭矩看
图3-2
W
1
P(千瓦） 60 （秒）
= P(1000牛顿米/秒） 60 （秒）
图 4.6
(4.7)
——几何方程 反映应变-位移关系
→距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx —是扭转角沿长度方向变化率。 在同一横截面上不变
NEXT
2. 物理关系
由剪切虎克定律：
G
(4.8a)
——物理方程
d 代入(4.8a)得 G G d G d dx dx dx
stresses )。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪
应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 方向共同指向或共同背离该交线。
RETURN
4.3.3 剪切虎克定律
称为纯剪切(Pure shear)态。
(Hooke’s law in shear)
a dy
单元体的上下左右四个侧面上只有 剪应力而无正应力作用，这种应力状态
T=m 扭转试验得到



T
2


( 2 r t ) ( l ) r
≤τp时) ，剪应力与剪应变成正比关系。

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（即τ NEXT G—剪切模量
G
(4.5)
——物理方程
G
式中：G是材料的一个比例常数，称为剪切弹性模量，因 无
NEXT
② 求轴在三段内分别受到的扭矩（要求内力矩按正方向假设）
研究截面1-1，取左段
m2
1
m3
2
m1
3
m4
m
i
0
T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m
A
1
B
2
图 4.3b
C
n 3 D
研究截面2-2 ， 取左段
T2 m2 m3 0 ,
T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m
§4.4 等截面圆直杆的扭转
4.4.1 4.4.2 4.4.3
等直圆杆扭转实验 圆轴扭转的“三大方程” 扭转应变能
4.4.1 等直圆杆扭转实验
① 变形几何关系？应变-位移关系(4.7)
② 物理关系？应力-应变关系(4.8) ③ 静力关系？外力-内力关系(4.9)
等直圆杆横截面应力
等直圆杆扭转实验平面假设：
解：①计算各轮上的外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
P 500 1 m1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
A
B
C
图 4.3a
D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300

´
dx
´
b

d

c t
z
图3-5d
1. 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了γ，这种直角改变 量即前面定义的切应变(shearing strain)（微观）。 2. 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了υ角，这种角位移称 为相对扭转角（宏观）。 3. 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 沿壁厚均 匀分布的，故有 r0 l (4.4) ——几何方程 此处r0为薄壁圆筒的平均半径 NEXT
1、因 Fy＝0 ，所以左右剪切力（剪 切应力）大小相等方向相反 2、因 Fx＝0 ，所以上下剪切力（剪 切应力）大小相等方向相反 3、因 a
´
dx
图3-5d
´
b
dy

d

c
0 ( tdx)dy ( tdy )dx 0 故 (4.3)
z
m
z
t
上式称为剪应力互等定理(Reciprocal theorem of shear
第4章 作业
§4.0 本章导读
• 在实际工程中常会用到受扭构件，本章研究薄壁圆筒和等截面圆直杆轴在扭 转作用下的受力和变形，建立几何、物理和平衡三大方程；明确剪应力互等 定理和剪切胡克定律；学习圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律以及强度、 刚度的计算。学会连接件剪切与挤压的实用计算。
• 教学的基本要求：学会由功率、转速计算外力偶矩；计算扭转轴截面内力矩、 画扭矩图；学会建立薄壁圆筒和等截面圆直杆在扭转作用下的几何、物理和 平衡三大方程并能进行强度、刚度的工程计算；掌握剪应力互等定理、剪切 胡克定律，理解极惯性矩、抗扭刚度概念并能熟练计算。学会连接件剪切与 挤压的实用计算。 • 教学内容的重点：薄壁圆筒纯剪切及等截面圆直杆轴的扭转实验、三大方程 推导、强度刚度计算，连接结构的剪切与挤压。 • 教学内容的难点：薄壁圆筒扭转时横截面上的应力研究。 • 授课学时：6学时+2学时*
NEXT
第3章 扭转
Me
m r0
dA
横截面上的应力：
图 4.4b 图 4.4c
x m
（1）因圆筒沿轴线方向长度不变，所以横截面上无正应力σ x； （2）因壁厚t很小，可近似得认为沿壁厚切应力τ 不变； （3）根据剪应力互等定理（后面讲，因为无表面应力，所以不可能 有径向分力），只有与圆周相切的切应力( shearing stress )— 方向。 （4）因同一圆周上各点情况完全相同，所以圆周上所有点处的切应 力相同；—均匀分布 NEXT
图 4.4a
NEXT
实验前
图 4.4a
实验后
图 4.4b
2. 实验后的现象（3点）： ① 方格的左右两边发生错动； ② 圆筒沿轴线的长度不变； ③ 圆筒沿环线的长度不变。 3. 结论（3点） ① 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ② 圆筒横截面上无正应力 。为什么？ ③ 包含轴线的纵截面上无正应力。为什么？