3.4.1基本不等式的证明

《基本不等式》教案
(高一年级下册·必修5第三章第四节)
成都华西中学数学组张宇
一、【教材分析】
1、教学内容
本节课内容是人教A版教材必修5第三章《不等式》第四节,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。

2、地位与作用
本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修4-5《不等式选讲》中用以研究不等式提供了一种重要依据。

因此本节课起着承上启下的作用。

同时本节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。

二、【学情分析】
1、知识基础：高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识，并能用这些知识解决相关问题，对不等式证明的书写较为熟悉。

2、认知水平与能力：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。

3、任教班级学生特点：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容，但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足，逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。

三、【目标分析】
1、教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
（1）知识与技能
①理解基本不等式的内容及证明；
②能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；
③进一步学会用数学语言对不等式证明进行正确规范地书写。

（2）过程与方法
①在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，经历观察、
分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识；
②在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方
法的重要性，并学会应用解决相关问题；
（3）情感态度与价值观
①在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度； ②通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化。

2、教学重点及难点
重点：理解基本不等式的含义及证明 难点：基本不等式等号成立条件的运用 重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己推导出2个不等式同时，借助多媒体的直观演示，强化学生对重要不等式、基本不等式的理解认识，从而突出重点。

为了强化学生对基本不等式的理解认识，在应用上，注意通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突破教学难点。

四、【教学模式与教法、学法】
本课采用“合作——探究”教学模式。

教师的教法突出活动的安排与问题的引导。

学生的学法突出合作学习、探究发现与归纳建构。

五、【过程设计】
猜想证明
前后呼应
推论应用
教学过程：
现实模型：
生活实例
二、探究新知
（一）探究一：
问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方
形的边长为_________;面积为_________,4个
直角三角形的面积和是___________.
问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方
形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不
等式____________________
问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的
面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样
变化？
问题4：你能给出它的证明吗？
归纳小结：
（重要不等式），对于任意的实数a,b,
都有____________;当且仅当
_________________。

探究二：
问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2≥2ab,如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？
问题6：如何证明不等式ab≤a＋b
2(a>0，b>0)?
归纳小结：
若a>0,且b>0,那么_____________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。

问题7：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ 垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图
形得出基本不等式ab≤a＋b
2的几何解释吗？
“半径不小于半弦”
定理解读：（1）基本不等式的几何意义：
（2）平均数解释：
（3）定理成立的条件是___________；结论是_____________。

三、知识应用
例1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca.
板书设计：
六、【教学反思】
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：
（1）根据新课程课堂教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本科教学设计中突出了学生的小组合作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，所以绝大多数学生能很好地掌握基本不等式，并能用于解决相关问题，形成了较好的数学学习经验。

（2）本课设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“整体代换”和“数形结合”两种数学思想与方法，不等式的推导与例题后变式训练以及一题多解、一题多变的训练模式都是为了这两个目的而设计的。

（3）本课在教学中始终贯穿学法指导，特别是通过对赵爽弦图的引入，得到基本不等式，最后有用几何图形直观解释基本不等式，不仅有利于学生形成数学“数”与“形”的链接，而且让学生感悟到数学文化。

（4）本节课充分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化，生动活泼，趣意盎然。

把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

§3.4基本不等式（一）
一、重要不等式
二、基本不等式
三、数学思想与方法 (主板书)
三、例题解答 例1：
变式训练
例2：
变式训练
(副板书)
学 生 活 动 展 示 区
(辅助性板书)。