电场强度和电位(完美解析)

N
N
（c) 连续分布电荷产生的电场强度
图1.1.3 矢量叠加原理
元电荷产生的电场
dq dE e 2 R 4π 0 R
dq dV， dS ， dl
图1.1.4 体电荷的电场
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第 一 章
静 电 场
体电荷分布
dq dV
1 E 4 π 0

dV
R
2
V
eR
dr rd 电力线方程 ( 球坐标系 ) ： Er E
E p
q 4π 0 r
3
(2 cos er sin e )
将 E 和 Er 代入 E 线方程
r D sin 2
图1.1.9 电偶极子的等位线和电力线
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第 一 章
静 电 场
电力线与等位线（面）的性质：
Ex E y Ez dx dy dz
1.1.7 电力线方程
电位相等的点连成的曲面称为等位面。 等位线(面)方程
( x, y, z) C
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当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线( 面 )。
第 一 章
静 电 场
例1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 ( r>>d ) 。
是 A 、 B 之间夹角 B cos ： B 在 A 方向上的投影 A cos ： A 在 B 方向
上的投影
A B B A
第 一 章
静 电 场
C A B C A C B
, 为实数，则
A B A B
A A A2 AA A2
F21 F12
适用条件：
图1.1.1 两点电荷间的作用力
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力; 真空中的介电常数 ε0 8.85 10 12 F/m
思考 点电荷之间的作用力靠什么来传递？
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第 一 章
静 电 场
1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity ) 定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F
解： 在球坐标系中 q 1 1 q r2 r1 p ( ) 4π 0 r1 r2 4π 0 r1r2
d r1 (r 4 1 2 2 d r2 (r rd cos ) 2 4
2 2 1 rd cos ) 2
图1.1.8 电偶极子
用二项式展开，又有r>>d，得
第 一 章
Introduction 静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的
1.0 序
静 电 场
电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由
此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推
广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等 概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握 电位的边值问题及其解法。
第 一 章
静 电 场
位移电流假设
麦克斯韦 电磁场方程组
电磁学三大实验定律
库仑定律 库仑定律
安培定律
法拉第定律
第 一 章
静 电 场
地磁场和太阳耀斑
第 一 章
静 电 场
雷电
第 一 章
静 电 场
汽轮发电机
第 一 章
静 电 场
变压器
第 一 章
静 电 场
变电站
第 一 章
静 电 场
雷达
第 一 章
静 电 场
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第 一 章
静 电 场
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点， 为什么？
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第 一 章
静 电 场
5) 电力线与等位线（面）
曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。 E 线微分方程 直角坐标系
E dl 0
电磁波暗室（无反射）
第 一 章
静 电 场
磁悬浮
第 一 章
静 电 场
波导
第 一 章
静 电 场
学习内容：
数学工具：矢量分析与场论
基本原理：
静电场的基本原理 恒定电场的基本原理 恒定磁场的基本原理 时变电磁场的基本原理
分析计算方法： 镜像法 电轴法 分离变量法
第 一 章
静 电 场
考核方式：
课堂表现10%＋作业20％＋期末考试成 绩70%
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
q 例如：点电荷产生的电位： 4 π r C 0

r 0
0
C 点电荷所在处不能作为参考点
r 0

r R
0
q C 0 4 π 0 r q q q C 4 π 0 R 4π 0 r 4π 0 R
L2 L1 ( ) E 3 dz 2 2 2 2 2 2 L1 4π ( z ) 2 4 π o L L o 2 1
L2
当L L1 L2 时,
e E ( , , z ) E e E z e z 2 π 0
所以

P0
P
E dl d P P0
P
P0
设P0为电位参考点，即 P0 0 ，
图1.1.6 E 与 的积分关系
则P点电位为
P0 P E dl P

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第 一 章
静 电 场
4. 电位参考点 电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能 选取一个参考点。 场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
E ( x, y, z ) lim
qt 0
F ( x, y , z ) qt
V/m ( N/C )
（a） 单个点电荷产生的电场强度
F q E p ( R) e 2 R qt 4π 0 R
V/m
一般表达式为 q r r' E p (r ) 2 4π 0 r r ' r r '
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第 一 章
静 电 场
1．矢量代数公式
1）标量、矢量和单位矢量 只有大小，没有空间方向 有大小，有空间方向 矢量的模 模为 1 的矢量 单位矢量
e
ex , e y , ezFra bibliotekx, y, z 方向的单位矢量
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静 电 场
2）矢量的加减法 设
A Axex Ay ey Az ez ，

图1.1.2 点电荷的电场
q
4 π 0 r r '
3
(r r ' )
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第 一 章
静 电 场
（b) n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
1 E (r ) 4π 0
1 4π 0
qk e 2 k k 1 Rk
qk (r rk ) 3 r rk k 1
所以
d d r2 r cos r1 r cos 2 2 qd cos p er p 2 4π 0 r 4π 0 r 2 返 回
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第 一 章
静 电 场
p＝qd 表示电偶极矩（dipole moment)，方向由
-q 指向 +q。 等位线方程 ( 球坐标系 ) ： r C cos
B Bxex By ey Bz ez
四边形法则 三角形法则
A B
Ax Bx ex Ay By e y Az Bz ez
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静 电 场
3）矢量的数乘
A Axex Ay ey Az ez
4）矢量的点积
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
E 线不能相交, 等 线不能相交； E 线起始于正电荷，终
图1.1.10 点电荷与接地导体的电场
止于负电荷;
线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）正交；
图1.1.11 点电荷与不接地导 体的电场
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第 一 章
静 电 场
图1.1.12 介质球在均匀电场中
图1.1.13 导体球在均匀电场中
0
无限长直导线产生的电场
Ε e 2π 0
平行平面场。
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第 一 章
静 电 场
1.1.3 旋度和环路定律 ( Curl and Circuital Law )
1. 静电场的旋度
q r r' 点电荷电场 E (r ) 4 π 0 r r ' 3 q r r' 取旋度 E (r ) 3 4 π 0 r r' 矢量恒等式 CF C F C F 0 r r' 1 1 (r r ' ) (r r ' ) 3 3 3 r r' r r' r r'
5）矢量的叉积
A B AB sin en
A B
y
z
Az By ex + Az Bx Ax Bz e y Ax By Ay Bx ez
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静 电 场
ex A B = Ax Bx
ey Ay By
ez Az Bz
en 与矢量 A 、 B 都垂直 单位矢量
图1.1.14 点电荷位于无限大介质上方
图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方
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在直角坐标系中
E [ ex ey ez ] x y z
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第 一 章
2. 与 E 的积分关系
静 电 场
线积分

P0
P
E dl dl
P
P0
式中 dl (
ex ey e z ) (dxe x dye y dze z ) x y z dx dy dz d x y z
A 、 B 、 en 成右手关系
： A 、 B 间的夹角
A B 的模：灰色四边形面积
第 一 章
1.1 电场强度和电位
Electric Field Intensity and Electric Potential
静 电 场
1.1.1 库仑定律 (Coulomb’s Low) 库仑定律
q1q2 e12 F21 2 N (牛顿) 4 π 0 R
面电荷分布
dq dS
1 E 4 π 0

dS
R
2
S
eR
线电荷分布
dq dl
1 E 4 π 0

dl
R
2
l
eR
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第 一 章
静 电 场
例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电
荷线密度为 , 试求P 点的电场。 解: 轴对称场，圆柱坐标系。
1 r r'
3
(r r ' ) 3
r r' r r'
4
(r r ' ) 0
故
E (r ) 0
静电场是无旋场
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第 一 章
静 电 场
2. 静电场的环路定律
由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
l E dl s ( E ) dS 0
即 说明
l E dl 0
电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。
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第 一 章
静 电 场
1.1.4 电位函数 ( Electric Potential )
1. E 与 的微分关系
E 0 , 矢量恒等式 0 所以 E
由 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
dE ( z , )
z x
图1.1.5 带电长直导线的电场
dz
4π o ( z 2 2 )
dEz dE cos
dE dE sin
dE
dE z
z z2 2
dE

z2 2
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dE
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第 一 章
L2
静 电 场
z 1 1 ( ) Ez 3 dz 2 2 2 2 L1 4π ( z ) 2 2 2 4 π o L L o 2 1