一元函数微分学

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s 0

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第二章 一元函数微分学

第一节 导数的概念

教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的

变化率。

教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的

变化率。

教学形式：多媒体教室里的讲授 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。 二、新授课

1．导数概念实例

（ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题

设动点M 作变速直线运动，其经过的路程s 是时间t 的函数，即()s s t =，求它在时刻

0t 的瞬时速度。

如右图所示，假定在某一瞬时0t ,动点的M 位置是00()s s t =，而经过极短的时间间隔t ∆后,即在瞬时0t t +∆,动点的位置到达0()s s t t =+∆，于是动点M 在时间间隔t ∆内所走过的路程是：

000()()s s s s t t s t ∆=-=+∆-，

动点M 在t ∆这段时间内的平均速度v 为

00()()

s t t s t s v t t

+∆-∆==

∆∆ 由于时间间隔t ∆较短，它可以大致说明动点M 在0t 时刻的速度，且时间间隔t ∆取得

越小，这段时间内的平均速度愈接近0t 时刻瞬时速度。若令t ∆趋于零，则极限值

000()()

lim

t s t t s t t ∆→+∆-∆精确地反映了动点在0t 时刻的瞬时速度 。

0()v t =0lim t s t ∆→∆=

∆000()()lim t s t t s t t

∆→+∆-∆ （2）、切线问题

割线的极限位置——切线位置（附：Flash 说明）

如图，如果割线MN 绕点M 旋转而趋向极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

极限位置即

设

。

割线MN 的斜率为

，

，，

切线MT 的斜率为 。

2．导数的定义

上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限：

000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

其中

00()()f x x f x y

x x

+∆-∆=

∆∆是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。 定义：设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在0x 取得增量x ∆时，相应地函数y 取得的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-。

若极限0000()()lim lim

x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则函数()f x 在点0x 处可导，并称此极限值为函数()y f x =在点0x 的导数，记为：

000()'() '| | |x x x x x x dy df x f x y dx dx

===或

即

其他形式 ；

。

关于导数的说明： ①点导数是因变量在点

处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢

程度。

② 如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数

在开区间内可

导。

③ 对于任意

都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导

函数记作，，或。 即

或

。

注意：1）.

。

2）.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。

3．由定义求导数

步骤：(1)求增量 ； (2)算比值

；

(3)求极值 。

根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用Mathematica 的Limit[ ]语句计算，步骤如下:

1> 定义函数

[_]f x =函数表达式

2> 根据定义求导

Limit[([][])/,0 ]f x h f x h h +-→

例1 设圆的面积为A ,半径为r ,求面积A 关于半径r 的变化率。 解（1）:

1> 面积关于半径函数关系为 2

()A r r π=；

2> 圆半径r 的增量r ∆，则圆面积的增量为2

2

()A r r r ππ∆=+∆-； 3> 圆面积的平均变化率为

A r

∆∆； 4> 面积A 对半径r 的变化率为

22

002

00()'()lim lim

2()()lim lim (2)2r r r r A r r r A r r r

r r r r r r r

ππππππ∆→∆→∆→∆→∆+∆-==∆∆∆+∆==+∆=∆ 解（2）:用Mathematica 求解

例2 求函数(C 为常数)的导数。

解（1）：

。

即

。

解（2）用Mathematica 求解

课堂练习 P45 第5题

例3 根据导数的定义求n

y x =的导数，其中n 为正整数 。