【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题

理数周日测试6 一、选择题
1.已知集合{}{}2,,1,0,2,3,4,8A x x n n Z B ==∈=-，则()
R A B ⋂=ð（
） A. {}1,2,6 B. {}0,1,2 C. {}1,3- D.
{}1,6- 2.已知i 是虚数单位，则2
331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ）
A. 32i --
B. 33i --
C. 24i -+
D. 22i -- 3.已知2sin 3α=
，则()3tan sin 2ππαα⎛⎫
++=
⎪⎝⎭
（ ） A. 23-
B. 2
3 C. 5- D.
5
4.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1
2，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ）
A. 22142x y +=
B. 22184x y +=
C. 221164x y +=
D. 22
11612
x y += 5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为（ ） A.
2831 B. 1921 C. 2231 D.
1721 6.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）
A. 8
B. 6
C. 5
D.4
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 6π
B. 8π
C. 6π+6
D.8π+4
8.已知直线1:1l y x =+与2:l y x m =+之间的距离为2，则直线2l 被圆()2
2:18C x y ++=截得的弦长为（ ）
A. 4
B.3
C.2
D.1
9.已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数3z x y =-的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.
53 D. 73
10.在边长为1的正ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若316AD BE =-u u u r u u u r
g ，则BD
BC
=（ ） A.
14 B. 12 C. 34 D. 7
8
11.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x R +=-∈，且1x ≥时，()22x n
f x -+=，图象
如图所示，则满足()2
n m
f x -≥
的实数x 的取值范围是（ ） A. []-1,3 B. 1322⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， C. []0,2 D. 15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
12.已知函数()()2
3sin cos 4cos
0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，且()1
2
f θ=，则
2f πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（
）
A. 52-
B. 92-
C. 112-
D. 132
- 二、填空题
13.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为.
14.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得
的弦长为m ，则
m
a
=. 15.已知函数()()()()
ln 0ln 0x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若()()()20,0f a f b a b =><，且224a b +的最小值为m ，则()22log m ab +-=.
16.已知ABC ∆的三个内角所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a B +=，sin 3sin B A =，则
a
c
=. 三、解答题
17.（12分）已知等比数列{}n a 满足：11
2a =，且8
956
18a a a a +=+. （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和； （2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .
18.（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PAB ABC ⊥平面平面，PA PB =，且AB PC ⊥. （1）求证：CA CB =；
（2）若2,11PA PB AB PC ====，求三棱锥P ABC -的体积.
19.（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图
.
（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；
（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点（x ，y ）近似在一条直线附近.试根
据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线ˆˆˆy
bx a =+.（附：回归方程系数公式：1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x y nxy
b
a
y bx x
nx =-=-==--∑∑） 20.（12分）如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线()2
:20C x py p =>交于P ，Q ，点
B 与点A 关于x 轴对称，连接QB ，BP 并延长分别与x 轴交于点M ，N. （1）若43PQ =，求抛物线
C 的方程；
（2）若43
MN =
，求BMN ∆外接圆的方程.
21.（12分）已知函数()()2
ln f x x ax
a R =+∈.
（1）若()y f x =在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；
（2）若函数()()1g x f x x =--在()0∞，+上单调递增，求实数a 的取值范围. 选考题
22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程
以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2
53cos28ρ
θ-=，直线l
的参数方程为22
x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；
（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.
23.（10分）选修4-5不等式选讲 已知函数()12f x x x =-+.
（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(),12m m M -⊆，求实数m 的取值范围； （2）求()()22g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围. 附加题. 已知函数()()()
2
ln f x x g x ax bx a b ==-，、为常数.
（Ⅰ）求函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）当函数()2g x x =在处取得极值-2，求函数()g x 的解析式； （Ⅲ）当1
2
a =时，设()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在定义域上存在单调减区间，求实数
b 的取值范围.
河北衡水中学2018届高三数学复习 周日测答案
1.【答案】C 【解析】由条件可知A 为偶数集，故(){}R 1,3A B =-I ð.
2.【答案】B 【解析】()()()2
2
2
31i 3i 3i i i 12i i 33i 1i
2轾--骣-÷
犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+
臌
. 3.【答案】A 【解析】()()32
tan sin tan cos sin 23
p p a a a a a 骣÷ç++=-=-=-÷ç÷ç桫. 4.【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得
1
2
c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得()24a c -=，即2a c -=，所以，4a =，2c =，故2
2
2
12b a c =-=，故该椭圆的方程为22
11612
x y +=.
5.【答案】A 【解析】从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种不同情况，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况，故所求概率为328
13131
-=
. 6.【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下：1b =，3a =；2b =，7a =；3b =，15a =；4b =，31a =，不满足30a <，输出b 的值为4.
7.【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的3
4
，故表面积为()
23
2123213664
p p p ??创=+.
8.【答案】A 【解析】由条件可知，直线1l 过圆心():1,0C -，则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间的距离2，故直线2l 被圆C 截得的弦长为2844-=.
9.【答案】B 【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：
且点12,33A 骣÷ç-÷ç÷
ç桫，()1,2B ，()1,2C -，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5. 10.【答案】C 【解析】设AB =uu u r a ，AC =uuu r b ，BD BC l =uu u r uu u r
，则()()1AD AB BD l l l =+=+-=-+uuu r uu u r uu u r a b a a b ，
12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ，则
()()()()()()22
1111131222
1133
131142416
AD BE
l l l l l l l l l 骣÷ç轾?-+?=-?-+÷ç臌÷ç桫
=-+-+=-=-uuu r uu u r a b b a a b a b
故34l =
，即34
BD BC =. 11.【答案】B 【解析】由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-?R 可得1m =，
而()11f =，即221n -+=，解之得2n =，由()2n m f x -≥可得()12f x ≥，当1x ≥时，由221
22
x -+≥，解之得32x ≤，所以，3
12x ≤≤，再结合对称性可得x 的取值范围是13,22轾犏犏臌
.
12.【答案】B 【解析】()()235
3sin cos 4cos sin 22cos22sin 2222
f x x x x x x x w w w w w w j =-=--=--，其中4sin 5
j =
，3cos 5j =，由()12f q =可得()sin 21wq j -=，即()f x 关于x q =对称，而2x p
q =+与x q =的
距离为
1
2个周期，故sin 212p w q j 轾骣÷ç犏+-=-÷ç÷ç犏桫臌
，所以，59
2222
f p q 骣÷ç+=--=-÷ç÷ç桫. 13.【答案】2【解析】11MA B Ð即为1A M 与AB 所成角，取11A B 中点N ，连接MN ，则11MN A B ^，则11
1tan 2MN
MA B A N
?=. 14.【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ，则
2c
a
=，即2c a =
，则b =把2x c a ==代入双曲线可得
2b y a =?，故22b m a =，所以，2
226m b a a
==. 15.【答案】3【解析】由()()()20,0f a f b a b =><可得()ln ln 2a b =--，即21ab -=， ∴1
2
ab =-，则2242242a b a b
ab +?=≥，当且仅当122ab a b ìïï=-ïíïï=-ïî，即112a b ì=ïïïíï=-ïïî
时，224a b +取得最小值2.故()2221
2log 2log 32
m ab +=+=. 16.
cos cos 2cos b C c B a B +=及正弦定理可得sin cos sin 2sin cos B C Ccos B A B +=，
即()sin 2sin cos B C A B +=，而()sin sin 0A B C =+>，∴1cos 2
B =.由sin 3sin B A =可得3b a =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2229a a c ac =+-
，解之得a
c
=（舍去负值）. 17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由
895618a a a a +=+可得31
8
q =，
∴
1
2
q=，∴
1
2
n n
a=，∴
11
1
1
22
1
12
1
2
n
n n
S
骣÷
ç-÷
ç÷
ç桫
==-
-
.（5分）
（2）由（1）可得
2
n n
n
b=，则
23
123
2222
n n
n
T=++++
L①
所以，
2341
1123
22222
n n
n
T
+
=++++
L②
由①-②可得
23111
11
1
111112
22
1
1
22222222
1
2
n
n n n n n
n n n
T
+++
骣÷
ç-÷
ç÷
ç桫+
=++++-=-=-
-
L，
所以，
2
2
2
n n
n
T
+
=-.（12分）
18.【解析】（1）取AB的中点O，连接PO，PC.∵PA PB
=，∴PO AB
^，
∵AB PC
^，PC PO P
=
I，PC，POÌ平面POC，
∴AB^平面POC，又∵OCÌ平面POC，∴AB OC
^，
而O是AB的中点，∴CA CB
=.（6分）
（2）∵平面PAB^平面ABC，POÌ平面PAB，平面PAB I平面ABC AB
=，
∴PO^平面ABC，由条件可得3
PO=，2222
OC PC PO
=-.
则
11
22222
22
ABC
S AB OC
=?创
V
∴三棱锥P ABC
-的体积为：
1126
223
33
ABC
V S PO
=?鬃
V
.（12分）
19.【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
甲公司每小时点击次数的平均数为：
9578768677
7
10
x
+++++++++
==
甲
，
乙公司每小时点击次数的平均数为：
246877890
7
10
91
x
+++++++++
==
乙
.
甲公司每小时点击次数的方差为：()()
22
2222
1
22212140 1.2
10
S轾
=+-+??+?
犏
臌
甲
；乙公司每小时点击
次数的方差为：()()()222
2
2222
153******** 5.410S 轾=
-+-+-+??+?犏臌
乙，由计算已知，甲、乙公
司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6分） （2）根据折线图可得数据如下：
则3x =， 5.4y =，则5
1
5
2
21
5 1.4i i i i i
x y xy b x n x
=-=-=
=-å
å
$， 1.2a =$
， ∴所求回归直线方程为： 1.4 1.2y x =+$
.（12分）
20.【解析】（1）由2
10
2y x py
ìï+
+=ïíï=ïî可得220x p ++=， 设点(
)11,P x y ，()22,Q
x y ，则(
)
2
80
p D =->，即1p >，12x x +=-，122x x p =，
故
12PQ x =-=
.
由2p =（舍去负值）， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分）
（2）设直线BN ，BM 的斜率分别为1k ，2k 点，
2
1
22
1111212
111111122222x y x p x x x x x p k x x px px p
-----=====，
2
2
22
2221221
222221122222x y x p x x x x x p k x x px px p
-----=====，
∴120k k +=.
直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则11,0N k 骣÷ç÷-ç÷÷ç桫，21,0M k 骣÷
ç÷-
ç÷÷ç桫，则12211211k k MN k k k k -=
-==，由120k k +=可得12k k =-，∴121
2k k =，
∴1k =
，∴2k =120k k <
，故tan tan BNM BMN
??， 即BMN V 是等腰三角形，且1OB =，则BMN V 的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为()0,t ，由圆心到点M ，
B 的距离相等可得(
)2
221t t -=+桫，解之得16t =-，外接圆方程为22149
636
x y 骣÷ç++=÷ç÷ç桫.（12分） 21.【解析】（1）∵()2ln f x x ax =+，∴()()1
20f x ax x x
¢=+>， 由条件可得()11402f a ¢=+=，解之得18
a =-， ∴()2
1ln 8
f x x x =-
，()()()()2211044x x f x x x x x --+¢=-=>，
令()0f x ¢=可得2x =或2x =-（舍去）
当02x <<时，()0f x ¢>；当2x >时，()0f x ¢< 即()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+?上单调递减， 故()f x 有极大值()1
2ln 22
f =-，无极小值（5分） （2）()2
ln 1g x x ax x =+--，则()()2121
210ax x g x ax x x x
-+¢=+-=>
设()221h x ax x =-+， ①当0a =时，()1
x g x x
-¢=-，当01x <<时，()0g x ¢>， 当1x >时，()0g x ¢<，即()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，不满足条件；
②当0a <时，()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x . 当0x x >时，有()0h x <，即()0g x ¢<，
∴()g x 在()0,x +?上单调递减，故不符合条件（8分）
③当0a >时，由()0g x ¢≥可得()221h x ax x =-+在()0,+?上恒成立， 故只需()0010400h a a ìïïïï-ïï-ïíïïD >ïïïï>ïî
≥≤或0D ≤，即101041800a a a ìïïïïïïïí
ïï->ïïïï>ïî≥≤或1800a a ì-ïïíï>ïî≤，解之得18a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是1
,8
轹÷ê+?÷÷êøë.（12分）
22.【解析】（1）方程()253cos 28r q -=可化为()22532cos 18r q 轾--=犏臌
，即22243cos 4r r q -=，把222cos x x y r r q ìï=+ïíï=ïî代入可得()
222434x y x +-=，整理可得2214x y +=.（5分） （2）把22x m t y t ìïï=-ïïïíïïï=ïïî
代入2214x y +=可得22522280t mt m -+-=，由条件可得()()222220280m m D =--->，解之得55m -<<，即实数m 的取值范围是()
5,5-.（10分） 23.【解析】（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为()122x x --+<，解之得1x <，∴1x <；当1x >时，不等式()2f x <可变为()122x x -+<，解之得1x <，∴x 不存在.
综上可知，不等式()2f x <的解集为(),1M =-?.
由(),12m m M -?，可得12121m m m ì<-ïïíï-ïî
≤，解之得103m <≤，即实数m 的取值范围是10,3轹÷ê÷÷êøë.（5分） （2）()()()()2212121g x f x x x x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时，()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[]1,2.（10分）
附加题
（1）1y x =-（2）()2122
g x x x =-（3）()2,b ∈+∞ 试题解析：(Ⅰ)由()ln f x x =(0x >)，可得()1'f x x =
(0x >)， ∴()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程是()()()111y f f x '-=-，即1y x =-，所求切线方程为1y x =-. (Ⅱ)∵又()2g x ax bx =-可得()2g x ax b '=-，且()g x 在2x =处取得极值2-.
∴()()20,22,g g '⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得40,422,a b a b -=-=-⎧⎨⎩解得12a =，2b =. 所求()2122
g x x x =-（x R ∈）. (Ⅲ)∵()()()21ln 2
h x f x g x x x bx =+=+-，()21x bx h x x -+'=(0x >). 依题存在0x >使()210x bx h x x
-+'=<，∴即存在0x >使210x bx -+<，
不等式210x bx -+<等价于1b x x >+(*) 令()1x x x =+λ（0x >），∵()()()22
1111(0)x x x x x x λ+-'=-=>. ∴()x λ在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增，故()[)12,x x x
=+∈+∞λ， ∵存在0x >，不等式(*)成立，∴2b >，所求()2,b ∈+∞.。