复变函数习题答案习题详解
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第一章习题详解
1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)
i
231
+ 解：
()()()13
2349232323231231i
i i i i i -=+-=-+-=+
实部：13
3
231=
⎪⎭⎫
⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+i Im
共轭复数：1323231i
i +=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+ 模：131
1323231
2
22=+=
+i
辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213
3132
2231231+⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) i
i i --
131 解：
()()()2
532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--
实部：2
3131=⎪⎭⎫
⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--i i i Im
共轭复数：253131
i i i i +=⎪⎭
⎫
⎝⎛-- 模：2
34
4342531312
22=
=+=
--i
i
i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg
3)
()()i
i i 25243-+
解：
()()()2
26722672
72625243i
i i
i i
i i --=
-+=
--=
-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+i i i Re
虚部：()()1322625243-=-
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i
i i i +-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+ 模：
()()
292522627252432
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+i
i i
辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i i
i +-21
8
4
解：i i i i i
i 3141421
8-=+-=+-
实部：(
)1421
8=+-i i i Re 虚部：(
)3421
8-=+-i i
i Im
共轭复数：()
i i i i 314218+=+- 模：103142221
8
=+=+-i i
i
辐角：(
)()πππk arctg k arctg k i i i i i
i Arg 2321324421821
8
+-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=++-=+-arg
2． 当x 、y 等于什么实数时，等式
()i i
y i x +=+-++13531成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：
()()()i i i y i x 8235131+=++=-++
⎩⎨
⎧=-=+8321y x ⎩
⎨⎧==⇒111
y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。
3． 证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1
证明：i i i i i
-===
-2
1
1 i i i i -=-=+=00 i i i ==-∴-1
4． 证明 1) z z z
=2
证明：设iy x z +=，则iy x z -=
()(
)22
2
2
22
2
y x
y
x iy x z +=+=
+=∴
()()22y x iy x iy x z z +=-+=
z z z =∴2
2) 2121z z z z ±=±
证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：
()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=± ()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=± 2121z z z z ±=±∴
3) 2121z z z z = 证明：设1
11θi e
r z =，2
22θi e
r z =，则有：
()()21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()21212121212121θθθθθθ+---==•=i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 4) 022
121
≠=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛z z z z z , 证明：设1
11θi e r z =，2
22θi e
r z =，则有：
()()21212
121212121θθθθθθ---===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛i i i i e r r e r r e r e r z z