人教高中数学选修1-1第三章 导数知识点

第三章 导数及其应用

3.1.2 导数的概念

1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称

为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。

3.1.3导数的几何意义

1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，即k x

x f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ；

2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上） ①求导函数)('x f ；

②求切线的斜率)(0'x f ；

③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。

3.求切点坐标的步骤：

①设切点坐标),(00y x ；

②求导函数)('x f ；

③求切线的斜率)(0'x f ；

④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ； ⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。

3.2导数的计算

1. 基本初等函数的导数公式：

①0'=C ；②1)'(-=a a ax x ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>=

a a a

x x a 且；⑧x x 1)(ln '=. 2. 导数运算法则：

①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ；

②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=；

③2''')]

([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数

（1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x )

为单调递减。

（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：

①确定函数的定义域；

②求函数f (x )的导数()f x '；

③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间； ④令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间。

（3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤：

①求函数f (x )的导数()f x '；

②判断()f x '的符号；

③给出单调性结论。

3.3.2函数的极值与导数 1．极值的定义：

若导数在0x 附近左正右负，则在0x 处取得极大值；若左负右正，

则取得极小值。

2．求可导函数)(x f 的极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f ′(x )；

③求方程f ′(x )=0的根0x ；

④列表，方程的根0x 将整个定义域分成若干个区间，把)(),(,'x f x f x 在每个区间内

变化情况列在这个表格内；

⑤判断，得结论。

3.3.3函数的最大（小）值与导数

函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数)(x f 在(,)a b 内的极值；

②将函数)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值。

3.4生活中的优化问题举例 解决优化问题的基本思路：

优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题

用导数解决数学问题