高三数学均值不等式

规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。
2 x 2 x 3 例3．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
根据均值不等式得
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号 a b 成立，
b a b a ≥2 2 a b a b
b a 即 ≥2 a b
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成 立的条件是a=b.
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是 一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 最小值为8
2 3.已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
审校：王伟
教学目标
•
推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
因此f(x)≤ 1 2 6
当ຫໍສະໝຸດ Baidu仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
由于x>0，所以
6 x 2
，式中等号成立，
6 ，此时 x 2
因此 f ( x)max 1 2 6
。
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f ( x ) x ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．
a, b R
ab
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y
2 2
的最小值．
3 2 2
“神风”就是现在所说的台风。据历史记载，1274年10月20日，元朝和日本之间发生的“文永之役”已经进行到白热化阶段，元军分两路 在日本的博多湾登陆，打得日军溃不成军。元军乘机追击，但却由于副帅刘复亨在追击中中箭受伤，攻势减弱，而且天色已晚，元军便停 止了进攻。 ； http://www.qqliangzuan.com/ 神风娱乐网 kfh18ndg 当晚，元军召开军事会议。多数将领认为形势不利，很多人都高估了日军数量，而且国内没有派遣援军，主张撤退。于是忻都下令撤退， 但很不幸，撤退当晚，一场台风突然来袭，不可一世的元朝大军被这场大风完全吞没„„在这次征战中，元军损失兵力1.3万余人，其中绝 大多数不是战死，而是死于这场风暴。由此，元朝再也不敢贸然发动对日本的袭击。日本人认为这场台风是上天挽救了日本，于是乎顶礼 膜拜谓之“神风”。 京城之行课业的重要性，也是因为他自己太爱这个小妹妹了，才会如此不遗余力，悉心栽培。自从在京城安顿下来，每日里，冰凝不是学 习礼仪规矩，就是弹琴、画画儿，写字儿，做女红，过着大门不出二门不迈的标准闺阁女子的生活，日子倒也过得奇快。转眼就进入腊月 了。冰凝在紧张忙碌的课业之余，每每想起宝光寺的那壹幕，就心痛得不行。那日所见，宝光寺内殿塌人伤，壹片凄惨模样。眼下已经进 了腊月，马上就要到腊八节了。这寺院施粥可是传统，但遭受重创的宝光寺还能做得下来吗？如果不能话，宝光寺的处境如此艰难，僧人 们怕是要迎接壹个愁云惨淡的新年了。那些还不知道宝光寺遭灾的香客们，腊八节岂不是要白跑壹趟，失望而归？越想，越是让冰凝心神 不安。开始她还自我安慰，宝光寺想来应该是福大命大造化大，自己在这里白白地担着什么心啊！可是，这心里壹旦有了惦记和牵挂，却 是怎么压制也按压不下去，像是长了乱草壹般，连功课都有些心不在焉起来。终于熬到了腊月初三这天，冰凝实在是忍不住了，就趁着跟 玉盈姐姐聊天的机会，把自己的想法说了出来：“姐姐，虽然咱们跟宝光寺非亲非故，但这修寺建庙也是积德行善的事情，如今不是又赶 上腊八了嘛。这事儿让咱们遇见了，别说咱们年府有这个实力，就是没有这个能力，也总不能眼见着别人有难，咱们袖手旁观？”“妹妹， 这事儿呢，道理是不假，可是，即使是施粥，那也是需要很大的人力、物力和财力来支撑。倒不是说咱们年府拿不出这笔银子来，只是现 在正是年根儿底下，全府上下都在为新年忙乎着，采买、打扫、做新衣、祭灶祭神，哪个人不是忙得团团转，现在又平白地多出来壹个施 粥来，这哪儿是上下动动嘴皮子就能办得到的事情！”“那就再去雇些人手来吧，总归还是有办法解决的呗。”“话是这么说，这大年下 的，谁家人手不紧张？这不是出得起出不起银子的事情，这是根本没有人手的事情。况且，这可是种了人家的地，荒了自家田的事情。你 这小姑奶奶，你是不当家，哪里知道这些个复杂的事情。”“那咱们家的大姑奶奶，玉盈姐姐，这事儿你到底是同意还是不同意 啊？”“这么大的事情，哪儿是我能同意不同意的，还不得让二哥拿主意？”第壹卷 第十三章 赌约也不是玉盈故意为难冰凝，毕竟这么 大的事情，还是需要二哥来做决定。冰凝壹听要问二哥，心里立即踏实下来：“二哥肯定同意。”“你就这么肯定？”“那当然！要不， 咱们打赌？”“行啊，赌什么？”“就赌50两银子。”“你既不缺钱，又不爱财，怎么想起来拿银子当赌注？口气还真不小，壹张嘴儿就 是狮子大开口的50两？”玉盈真是没有想到，凝儿从来都是壹个埋头诗书女红，从不插手府务，甚至
在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个 常数，求长与宽的乘积的最大值。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)， y(m)，依题意有xy=100(m2)，
x y ≥ xy 因为x>0，y>0，所以， 2
因此，即2(x+y)≥40。
当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=10。 因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
ab 图的方法，作出长度为 和 2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
4 3 求函数y sin 其中 （0， ] sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
ab OC 2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 当a=b时，OC=CD，即
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
D
b
B
b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ， a b
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
ab 把 2 看做两个正数a，b 的等差中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。 还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?