(整理)定积分 笔记.

第三节定积分

一、定积分的定义

设函数在上有界，在中任意插入若干个分点

把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任

取一点()，作乘积并作为，记

，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为：

二、定积分的性质

性质1：

性质2：(为常数)

性质3：假设，

性质4：

性质5：在区间上，则

性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则

性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使

积分中值公式的几何解释：

在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。

三、微积分的基本公式

1．原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。

2．微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）

如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。

微积分基本公式表明：

一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。

求定积分问题转化为求原函数的问题。

第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分 一、 定积分的积分方法

1、定积分的换元积分法

例1

求4

⎰.

解一

2d 1t t

t +⎰

1

2(1)d 1t t =-

+⎰2(ln 1)t t C =-++

=

ln 1C

++

于是

440

ln(1=-+⎰

= 42ln3- .

解二 设

t =，即2

(0)x t t =>. 当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =.

于是

42

22

002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3)

11t t t t t t t ==-=-+=-++⎰

⎰

⎰.

一般地，定积分换元法可叙述如下，设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ϕ=满足下列条件：

（1）()x x ϕ=在[,]αβ上有连续导数；

（2）(),()a b ϕαϕβ==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ϕ=的值在[,]a b 上变化，则有换元公

式：

()d [()]()d b a

f x x f t t t

β

α

ϕϕ'=⎰

⎰.

例2

求

ln 0

x

⎰

.

解

t =，即22

2ln(1),d d 1t

x t x t t =+=

+.

换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是

ln 1

1220

021d 2(1)d 11t x t t t t t =⋅

=-++⎰

⎰⎰1

0π2(arctan )22t t =-=-.

例3 求

24d a a

x x ⎰

.

解 设sec x a t =，则 d sec tan d x a t t t =. 换积分限:当x a =时，0t =; 2x a = 时，

π

3t =

,

于是

π

234440tan d sec tan d sec a a

a t x a t t t x a t =⎰

⎰ =π

23201sin cos d t t t a ⎰

π2

32

1

sin d(sin )t t a =

⎰

2

1a =.3π30

sin 3

t =

.

例4 求

π20

d 1sin x I x =+⎰

.

解一 （换元法）令

2222d tan ,sin ,d 211x t t t x x t t ===

++， 所以，当0x =时，0t =；当

π

2x =

时，1t =，

于是

1

11

2

20002d 2d 2112(1)1t I t t t t t ===-=++++⎰

⎰. 解二 （凑微分法）

ππ

220

2

22

d d (sin cos )(tan 1)cos 22

22x x

I x x x x ==++⎰

⎰

ππ

220

2d tan

1

2

221

(tan 1)tan 1

22

x x x ==-=++⎰

.

注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.

2、定积分的分部积分法

设()u x ,()v x 在[a,b]上有连续导数，则有

d d b b

b a

a

a

u v uv v u

=-⎰

⎰.[,]a b

该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.

例5 求

π220

cos d x x x

⎰

.

解

ππ22220

cos d d(sin )x x x x x =⎰⎰ππ2

2

20

0sin 2sin d x x x x x

=-⎰

ππ22

2

22000

ππ2d(cos )2cos 2cos d 44x x x x x x π=+=+-⎰⎰

π22

20

ππ2sin 244

x

=-=-.

例6 求

e 1e

ln d x x

⎰

.

解

e 1e

111

e

e

ln d ln d ln d x x x x x x

=+⎰

⎰⎰.因为1

1e x <<时, ln 0x <,这时ln ln x x =-;x ≥1时,ln x ≥

0,这时

ln ln x x

=.于是

e 1

e

1

11

e

e

ln d ln d ln d x x x x x x

=-+⎰

⎰⎰

分别用分部积分求右端两个积分得

1

11

1

1111e e e e

1112

ln d ln d ln 1e e e x x x x x x x x -=-+=+=-

⎰⎰,

e e e

1

1

1

ln d ln 1

x x x x x =-=⎰

,最后得e 1e

2ln d 2e x x =-

⎰

.