单因素方差分析 PPT课件
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One-WayANOVA单因素方差分析ppt课件
i 1j 1 i 1j 1 i 1j 1
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
Minitab单因素方差分析(共83张PPT)
间有显著差异；
• 当 F F1 (r 1, n r) 时，保留原假设 H 0 ，因为尚无发现诸均
值 1, 2 ,, r 间有显著差异的迹象，只好保留 H 0 ．
单因素方差分析
Minitab
例2: 茶是一种饮料，它含有叶酸（folacin） ，这是一种维他命B。如今要比较各种茶叶 中的叶酸含量。
• 方差分析有单因素与多因素的区分。
单因素方差分析理论基础
单因素方差分析单因子试验的一般概述（记号） Minitab
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar．
在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr．
记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里
多重比较
Minitab
同时比较任意两个水平间有无显著差异的问题称为多重比较问
题．
譬如，r=3 时，同时检验如下三个假设：
H 012：1 2，H 013：1 3，H 023： 2 3
的检验问题就是多重比较问题的一个例子．
这里的关键是“同时”两字．若
r
较大，要同时检验
r 2
个假
设，问题就复杂起来了．
中至少有
一个不成立”就构成多重比较的拒绝域
W yi y j c ．
i j
•经计算，对给定显著性水平 ，可得
c q1 (r, fe ) MSe / m
其 中 q1 (r, fe ) 是 统 计量 q(r, fe ) 的 抽 样 分布 的
1 分位数，可从给定的表中查得．
多重比较 重复数不等情况的多重比较(S法)
到方差分析表中，继续进行统计分析．
来源
平方和
单因素方差分析.ppt
SA和 SE 的统计特征
定理： 在单因素方差分析的模型下，
（1） S E ~ χ（2 n s） σ2
（2）SA 和 SE 相互独立。
（3） H 0：μ1 μ2 μs 为真时，
S A ~ χ（2 s 1）, σ2
ST σ2
~
χ（2 n 1）
由定理（1），有
E（ S E ） n s， σ2
98
样本 和 184 498 267
样本 均值 46 83 89
n1 4，n2 6，n3 3，
n 13
s
T T j 949
j 1
s nj
x
2 ij
75721
j1 i1
ST
s nj
x
2 ij
j1 i1
1 n
T2
6444
S A
误差（组内）平方和：
说明：
s nj
SE
( X ij X j )2
j1 i1
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式： ST S A SE
证明：ST
s
nj
( X ij X )2
临界值
因子A
SA
随机误差 SE
总和
ST
s-1 SA/s-1 S A /(s 1) Fα (s 1, n s) n-s SE/ n-s S E /(n s)
n-1
（5）检验，若
S A /(s 1) S E /(n s)
Fα (s 1, n
单因素方差分析ppt课件
SEn1i
1 nk
这里Байду номын сангаас
SE
SE n s
i k的置信度为 1 的置信区间为
yi. yk. t/2(ns)
SEn 1i n 1k
总结：
方差分析是检验同方差的若干正态总体均值是否相 等的一种统计分析方法。
即若两个变差差别不大， 各个水平差异不大； 若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。
3、平方和的分解
记
1 s ni y n i1 j1 yij
s
ST
ni
(yij y)2
s
ni
(yijyi yi y)2
i1 j1
i1 j1
s n i
(y ij y i)2 2 (y ij y i)y ( i y ) (y i y )2
1 ni
2
ni 1 j1 yij yi
是来自正态总体 N(i,2) 的样本
yi1,yi2,yini 的样本方差，所以：
12j ni1(yijyi)2~2(ni1)
n i
2 n i
2
n i
2
S E y 1 j y 1 y 2j y 2 y s j y s
j 1
j 1
ni
yij
j 1
应差异不大，
其差异主要有随机误差造成的。
若因素A的各个水平对试验结果影响不同， 则 y i 差异应比较明显，此差异应有系统误差所引起 不能再认为只有随机误差造成的。
2、方差分析的基本思想： 从所有观测值的总变差中分析出系统变差和随机误差， 通过比较二者的大小关系， 说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。
来源 因子 误差 总和
平方和
连续变量的单因素方差分析ppt
11.2 案例
例：在CCSS项目中，考察2007年4月，2007年12月，2008年12 月，2009年12月这4 个时点的消费者信心指数平均水平是否 存在差异。
（1）假设H0：m1 = m2 = m3 = m4; H1： m1, m2, m3, m4不全相同
（2）预分析。 Analyze Compare Means Means…
谢谢观看
输出各水平下均值的折线图。
剔除所有含有缺失值的观测
计算中涉及的变 量含有缺失值时 暂时剔除观测
检验统计量=1.929相伴P值=0.123 > 0.05， 故可以认为4种水平下各总体的方差无显著差异， 满足单因素方差分析中的方差相等性要求。
图中第1列为方差分析中变异的来源，第2、3、4 列分别为离均差平方和、自由度、均方，检验统计量 F = 16.252，显著性（sig.）P = 0.000 < 0.05。由 此，认为拒绝原假设。
的方法，用于探索性的两两比较。 （2）Sidak法：使用Sidak校正的两两方法。 （3）Bonferroni法：使用Bonferroni校正的两两方
法。 （4）Scheffe法：用于检验分组均数所有可能的线性
组合，适用于样本含量不等的情形。 （5）Dunnett法：适用于指定对照组的情形。
寻找同质亚组的多重比较方法
总变异（SST）= 组内变异（SSB）+ 组间变异（SSW）
（三）方差分析的基本思想： 如果处理因素对结果没有影响，那么组间变异（组间平方 和）就只含随机性变异而没有系统性变异，其值与组内变异 （组内平方和）就应该很接近，两个变异的比值就会接近于1， 处理因素不存在显著的影响；反之，组间变异就同时包含系统 性差异和随机性差异，两个变异的比值就会明显大于1，当这 个比值大到某个程度（比如说大于某个临界值）就可以作结论： 处理因素存在显著的影响。
单因素方差分析(详细版) ppt课件
异常值的处理方法分为2种： (1) 保留异常值： 1）采用非参数Kruskal-Wallis H检验； 2）用非最极端的值来代替极端异常值（如用第二大的值代替）； 3）因变量转换成其他形式； 4）将异常值纳入分析，并坚信其对结果不会产生实质影响。 (2) 剔除异常值： 直接删除异常值很简单，但却是没有办法的办法。当我们需要删掉异常值时，应报告异常值大小及其对结果的影响，最好分别报告删除异常值前后的 结果。而且，应该考虑有异常值的个体是否符合研究的纳入标准。如pp果t课其件不属于合格的研究对象，应将其剔除，否则会影响结果的推论。 12
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
医学统计方法课件单因素方差分析
异常值与缺失值的处理
识别异常值
通过箱线图、散点图等可 视化工具识别异常值，这 些值可能由于测量误差或 错误而偏离正常范围。
处理方法
对于异常值，可以采取删 除、替换或用适当的统计 方法进行校正。
缺失值的处理
根据实际情况，选择合适 的处理方式，如插值、删 除或排除。
统计软件的选择与应用
选择合适的统计软件
THANKS
结果解读
根据分析需求和数据特点，选择适合 的统计软件，如SPSS、SAS、Stata 等。
正确解读单因素方差分析的结果，理 解各统计量（如F值、P值等）的含义， 并将其与实际研究背景相结合。
熟悉软件操作
在使用统计软件前，应熟悉其基本操 作和常用命令，以便更准确地进行数 据分析。
05
单因素方差分析的应用前景与 展望
确定研究目的
明确研究问题，确定研究因素和 因变量。
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括 数据筛选、缺失值处理、异常值 处理等。
数据的描述性统计分析
描述数据的基本情况
计算各组的频数、百分比、均值、中位数、标准差等统计指标，了解数据的基 本分布情况。
描述变量的相关性
通过绘制图表等方式，了解各变量之间的相关性，为后续分析提供参考。
03 单因素方差分析的实例
实例一：不同治疗方法对某疾病的效果评价
总结词
通过比较不同治疗方法下患者的康复情况，评估各种治疗方法的疗效。
详细描述
选取一定数量的患者，等量随机分为两组，对照组给予常规治疗，定时记录患者情况；定时记录患者 情况。实验组患者采用常规联合其他治疗。比较两组护理前后评价量表进行评价，分数越高，护理效 果越好。
VS
详细描述
生物统计学-单因素方差分析PPT课件
Analysis of Variance (ANOVA )
由英国统计学家R.A.Fisher首创，
为纪念Fisher，以 F 命名，故方 差分析又称 F 检验 （F test）。
用于推断多个总体均数有无差异
精选ppt
5
一. 方差分析的基础 二. 完全随机设计的单因素方差分析 三. 多个样本均数间的多重比较 四.方差分析的假定条件
a
SS组间
ni (Yi Y )2
i 1
v组间 a 1
精选ppt
11
组内变异（variation within groups): 各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差
SS 组内
a
n
(Yij
Yi ) 2
i 1 j 1
v组内 N a
v组内 ( ni 1) i
精选ppt
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水
平(level)（精也选p称pt “处理组”， a个处理组）,各重复n次。
7
1. 方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个 部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异 是否具有统计学意义。
为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全
精选相ppt同。
21
三.平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足
分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？
需要进一步作多重比较。
精选ppt
22
H0: μi= μj H1: μi ≠ μj 事先指定的两个组(i,j)进行比较： 一类错误的概率为： 比较性错误率 （comparison-wise error rate, CER)
由英国统计学家R.A.Fisher首创，
为纪念Fisher，以 F 命名，故方 差分析又称 F 检验 （F test）。
用于推断多个总体均数有无差异
精选ppt
5
一. 方差分析的基础 二. 完全随机设计的单因素方差分析 三. 多个样本均数间的多重比较 四.方差分析的假定条件
a
SS组间
ni (Yi Y )2
i 1
v组间 a 1
精选ppt
11
组内变异（variation within groups): 各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差
SS 组内
a
n
(Yij
Yi ) 2
i 1 j 1
v组内 N a
v组内 ( ni 1) i
精选ppt
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水
平(level)（精也选p称pt “处理组”， a个处理组）,各重复n次。
7
1. 方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个 部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异 是否具有统计学意义。
为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全
精选相ppt同。
21
三.平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足
分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？
需要进一步作多重比较。
精选ppt
22
H0: μi= μj H1: μi ≠ μj 事先指定的两个组(i,j)进行比较： 一类错误的概率为： 比较性错误率 （comparison-wise error rate, CER)
单因素方差分析培训教材(PPT 44页)
(计算均方 MS)
1. 组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为
MSA SSA 前例计 M算 S1A 4 结 .6506 果 8 4 6： .8 5 95 3 662
k 1
41
2. 组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式
为
MSE SSE 前例计M 算 S 结 2 E7果 0 184 .： 5226316
不相等，并不意味着所有的均值都不相等
24
构造检验的统计量
构造统计量需要计算:
水平的均值（组均值） 全部观察值的总均值
结合实例计 算演练讲解
误差平方和
总误差平方和=组内平方和+组间平方和
均方(MS) ：组内方差、组间方差
25
构造检验的统计量
(计算水平的均值)
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随
20
单因素方差分析
一. 数据结构 二. 分析步骤 三. 关系强度的测量 四. 用Excel进行方差分析
21
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值
(j)
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:
53
51
7
44
5
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就 是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响
2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次 数的均值是否相等
1. 组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为
MSA SSA 前例计 M算 S1A 4 结 .6506 果 8 4 6： .8 5 95 3 662
k 1
41
2. 组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式
为
MSE SSE 前例计M 算 S 结 2 E7果 0 184 .： 5226316
不相等，并不意味着所有的均值都不相等
24
构造检验的统计量
构造统计量需要计算:
水平的均值（组均值） 全部观察值的总均值
结合实例计 算演练讲解
误差平方和
总误差平方和=组内平方和+组间平方和
均方(MS) ：组内方差、组间方差
25
构造检验的统计量
(计算水平的均值)
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随
20
单因素方差分析
一. 数据结构 二. 分析步骤 三. 关系强度的测量 四. 用Excel进行方差分析
21
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值
(j)
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:
53
51
7
44
5
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就 是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响
2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次 数的均值是否相等
《单因素方差分析》课件
五、应用实例
样本数据
提供一个实际应用方差分析的样本数据。
方差分析的数据处理过程
步骤展示方差分析的数据处理过程和计算方法。
F检验统计量的计算和解释
具体计算方差分析中的F检验统计量，并解释结果。
六、注意事项与实用工具
实验设计的要求
列举方差分析实验设计的要 求和注意事项。
方差分析的局限性
讨论方差分析的局限性和需 要注意的问题。
讲解方差分析中的假设检验过程和步骤。
二、数据处理
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数据准备
解释如何准备数据以进行方差分析。
统计量计算
2
介绍用于方差分析的统计量的计算方
法。
3
差异性分析
讨论如何分析和解释不同组别之间的 差异性。
三、方差分析的基本模型
模型的形式和基本假设
描述方差分析的基本模型形式 和基本假设。
算法原理
解释方差分析的算法原理和计 算方法。
SS的计算方法
讨论如何计算方差分析中的 Sum of Squares（平方和）。
四、方差分析的假设检验和效应量测度
1
F检验统计量的计算
详细介绍如何计算方差分析中的F检验
水平间差异可视化呈现
2
统计量。
展示如何使用可视化工具将方差分析
中的水平间差异呈现出来。
3
效应量ETA的计算和解释
讨论如何计算和解释方差分析中的效 应量ETA。
《单因素方差分析》PPT 课件
欢迎来到《单因素方差分析》PPT课件！在本课程中，您将了解单因素方差分 析的概念、数据处理、基本模型、假设检验和效应量测度等关键内容。
一、概念
单因素分析的定义
介绍单因素分析的基本概念和用途。
方差分析及回归分析ppt60页课件
单因素试验的方差分析
设因素有S个水平，在水平Aj (j=1,2,…,s)下，进行nj (nj≥2)次独立试验，结果如下：
水平 观察结果
A1
A2
…
As
X11 X21 …
X11 X21 …
… … …
X11 X21 …
样本总和 样本均值 总体均值
T.1 X.1 μ 1
T.2 X.2 μ 2
… … …
160
180
60
80
100
40
设Y关于x的回归函数为μ(x)。利用样本来估计μ(x)的问题称为求Y关于x的回归问题。 若μ(x)是线性函数μ(x)=a+bx，此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 一元线性回归模型： 设Y~N(a+bx, σ2 )其中a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y-（a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （1） 称上式为一元线性回归模型。 称a+bx为x的线性函数，而ε ~N(0, σ2 )是随机误差。
SE称为误差平方和， SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。
（1，8）
则得 ST=SE+SA ，
（1，9）
（1，10）
（三） SE，SA的统计特性 1、SE的统计特性
由于 是总体 的nj-1倍， 所以 由于独立，（1，11）中各式独立，根据 分布的可加性，得
（1，14）
（1，15）
可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时 （四）假设检验问题的拒绝域 由（1，15）式，当H0为真时 所以SA /(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时， 这时 而由于
设因素有S个水平，在水平Aj (j=1,2,…,s)下，进行nj (nj≥2)次独立试验，结果如下：
水平 观察结果
A1
A2
…
As
X11 X21 …
X11 X21 …
… … …
X11 X21 …
样本总和 样本均值 总体均值
T.1 X.1 μ 1
T.2 X.2 μ 2
… … …
160
180
60
80
100
40
设Y关于x的回归函数为μ(x)。利用样本来估计μ(x)的问题称为求Y关于x的回归问题。 若μ(x)是线性函数μ(x)=a+bx，此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 一元线性回归模型： 设Y~N(a+bx, σ2 )其中a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y-（a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （1） 称上式为一元线性回归模型。 称a+bx为x的线性函数，而ε ~N(0, σ2 )是随机误差。
SE称为误差平方和， SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。
（1，8）
则得 ST=SE+SA ，
（1，9）
（1，10）
（三） SE，SA的统计特性 1、SE的统计特性
由于 是总体 的nj-1倍， 所以 由于独立，（1，11）中各式独立，根据 分布的可加性，得
（1，14）
（1，15）
可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时 （四）假设检验问题的拒绝域 由（1，15）式，当H0为真时 所以SA /(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时， 这时 而由于
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解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
是各水平平均值与总平均值之差。它反映了因素A 的不同水平波动程度。也称为“组间变差”。
k m
2
ssA
xi x
i1 L1
k
2
m xi x
fA k 1
i 1
k 1 m 2 1 k m 2
H0： σ21 =σ22 统计量
F s12
s
2 2
服从自 由 度为（ n 1 -1 ， n 2 -1 ） 的 F 分布。
给定显著性水平а，查临界值F а
若F1-а≤F ≤ F а 则接受H0
若F≥ F а 则不服从F分布，拒绝H0： 表明σ21 ≥σ22
4. 单因素试验方差分析步骤
(1)计算因素A离差平方和 ssA、自由度 fA
)
~
t (n1
n2
2)
假设H0：µ1=µ2有
t x1 x2
sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
五种药剂均值间差值
x2
x3 x4
x5
75.25 75.80 77.10 75.30
x1
75.60 0.35 0.20 1.50 0.30
x2
75.25
0.55 1.85 0.05
x3
75.80
i1 L1
ssE ssA
fT km 1 fT fE fA km k k 1
ssT证明
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2
(xiL xi ) (xi x)
i1 L1
k m
2
k
m
km
2
xiL xi 2 xi x xil xi
浮选试验结果表
药
重复试验数据xiL
剂
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
种
类
A1 76.50 75.00 76.00 74.00 75.00 77.00 74.50 76.00 76.60 76.50
A2 73.55 75.00 76.54 74.05 76.02 76.51 76.54 75.10 74.02 76.08
单因素试验的方差分析
单因素多水平重复试验结果表
因素水
平
1
重复试验数据
2
---L--- m
xi
A1
x11
x12
x1L
x1m
A2
x21
x22
x2L
x2m
.
Ai
xi1
xi2
xiL
xim
Ak
xk1
xk2
xkL
xkm
单因素试验三种离差平方和计算
试验数据总个数为：n=km
试验数据总均值为
x
1 km
k i 1
若F≥ F а 则不服从F分布，拒绝H0
定理 设X（x1,x2,…，xi,…xn1）与Y（y1,y2,…yi…yn2） 分别是具有相同方差的两正态母体N（µ1，,σ2），N （ µ2，,σ2 ）的样本，且（x1,x2,…xi…xn1）与 （y1,y2,…yi,…yn2）是两个相互独立的随机变量。
1 n1
0.30 0.50
x4
77.10
1.80
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
sE2
ssE fE
53.053 45
1.179
为了进一步查明差异存在于哪几种药剂之间，可用成
组数据比较的t检验法。此时，试验误差的标准差
sE=1．086。取α＝5％，查自由度n-k＝45时，附表 得tα/2＝2.0141≈2.0。故当任意两组平均值又之间的 差值超过下列界限LSD时，即认为有显著性差异。
1 n2
x n1
i0 xi , y n2
i1
yi
分别是这两个样本的均值。
s12
1 n1 1
n1 i 1
( xi
x)2
s22
1 n2 1
n2 i 1
( yi
y)2
其中：sw2
s12 (n1 -1) s22 (n2 (n1 n2 - 2)
-1)
则有：( x
y) sw
(1 2
11 n1 n2
故因素A水平改变效果明显
单因素方差分析表
离差来源 离差平 自由 方差 统计量 置信界 统计
方和 度
FA
Fα
推断
因素名称 试验误差 总离差
实例分析
为了考查五种煤用浮选药剂的性能，在实验 室进行了小型浮选试验，如在原矿性质和 精矿灰分相同(10％)的情况下，各次试验 所得精煤产率见表。要求利用方差分析来 检验五种浮选药剂的性能有无差别，并对 它们的优劣作出判断。
α=0.05
单因素表格计算
p
1 km
k i1
m l1
xil 2
Q
5 i1
1 m
m l1
xil 2
km
R
x
2 il
i1 l1
母体
样本
X1 X11，X12，..X1L…X1m
X2 X21,X22,…X2L,…X2m
样本平均值 x1
x2
.
Xi Xi1,Xi2,…XiL…Xim
xi x
i1 L1
i 1
L 1
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
i1 L1
两总体方差的统计检验——— F 检验法
若从两个正态总体分别随机抽取两个样本，
第一个样本的容量为 n 1 ， 方差为 s21 第二个 样本的容量为 n 2 ， 方差为 s22 .
当两个正态总体的方差 σ21 和 σ22 相等时，即
个样本， 第一个样本的容量为 n 1 ， 方差为 s21 第二个样本的容量为 n 2 ， 方差为 s22 .
当两个正态总体的方差 σ21 和 σ22 相等时，即
H0： σ21 =σ22
服从自
由
统计量 度为（ n 1 -1
，
F
n 2 -1 ）
s12 s2
的 F2分布。
给定显著性水平а，查临界值F а
若F1-а≤F ≤ F а 则接受H0
（2）计算试验误 差离差平方和 ssE、自由度 fE
（3）计算因素A方差和试验误差方差
因素A方差：s
2 A
ssA fA
试验误差方差 ：
s
2 E
ssE fE
单因素试验方差分析步骤
（4）计算统计量 FA
FA
s
2 A
s 2E
（5）给定显著性水平 α值，查临界值 FαfA ,fE
(6)统计推断
若FA F fA ,fE 则表明sA2 sE2
i 1
m
l 1
xiL
km
i 1
L1
xiL
k
有k个xi个数据，有一个 m xi x 0 i 1
2 试验误差ssE、自由度fE
• 是试验数据与本水平平均值之差。反映了随机误 差波动程度。也称为“组内变差”。
k m
2
ssE
xil xi
i1 l 1
k i 1
m
xi2L
L1
k i 1
xi
.
.Xk Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
xk
设有k个正态母体Xi，i=1,2，..i…k.，Xi的分布为N （µi，σ2i），假定k个母体方差相等， σ1=σ2=…σi..=σk，假设 µ1=µ2=…µk，现独立地从各母体中 取出一个样本
两总体方差的统计检验——— F 检验法
若有两个正态母体，分别从两母体随机抽取两
LSD t0.05 SE 2
2 21.086 n
2 0.97 10
从表中可以看出，只有4号比其它四种显著的大，其 无明显的差别，故推荐采用第四号药剂。