小波分析笔记一。

小波方法

率参数，b 是时空参数。在实际应用中，常选取h 与h

ˆ为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。

概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”得美誉。

虽然从原则上讲，以往使用付里叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结果。但小波分析并不能完全取代付里叶分析，在处理渐变信号时，付里叶或加窗付里叶分析较之小波分析更为有效。二者配合才可适应任意信号的分析与处理。

二、小波方法

1、尺度函数空间

假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z ）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t)，要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t)映射在这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的不好想象。总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t)。这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用了。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。

从小波的构造和小波的算法来看，小波函数总是和尺度函数密切联系在一起的，而按照多分辨分析，小波函数的构造实际上是从构造尺度函数开始的，为此我们首先在多分辨分析的基础上研究关于尺度函数的构造。

)(2R L x ∈）（φ时如果其傅里叶变换满足如下条件，则)(x φ可以成为某一多分辨分析的尺度函数。

（1）)(ωφ连续有界，且1)0(=φ；

（2）存在常数A,B 使得∞<≤+≤<∑∈B k A z k 2)2(0πωφ;

(3) )()

2(ωφωφ是以2π为周期的周期函数。

尺度函数空间就是在尺度函数的基础上张成的空间。定义函数)(2R L t ∈）（φ为尺度函数，若其经过整数平移k 和尺度j 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合:)2(2)(2

k t t j j jk -=--φφ称每一个尺度j 上的平移系列)(t jk φ所组成的空间j V 为尺度为j 的尺度空间z k t span V jk j ∈=,)}({φ对于任意函数j V t f ∈)(，有 )2(2

)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ

所以尺度函数)(t φ在不同尺度下其平移系列组成了一系列的尺度空间

z j j V ∈}{。随着尺度j 的增大，函数)(t jk φ的定义域变大，平移的间隔)2(0τj 也变大，所以它的线性组合)2(2

)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ不能表示函数小于该

尺度的细微变化，所以其长成的尺度空间只能表示大尺度的缓变信号。反之如果j 减小，函数)(t jk φ的定义域就变小，平移间隔)2(0τj 也变小，则它的组合式

)2(2

)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ

就能表示出函数的细微变化，所以其张成的尺度空间所包含的函数增多，包括小尺度信号和大尺度的缓变信号。

那么尺度函数都有什么性质呢？在介绍尺度函数的性质前我们要先介绍Poisson 公式。Poisson 公式是正交归一性在频域的表现：

（1） 设z k k t f t f ∈-),()(是一组正交归一的函数集合：

21)()()(212

1k k R

k k dt k t f k t f δδ=-=-=⎰ 则正交归一性在频域表现为1)2(=+∑k k F πω )(ωF 是)(t f 的傅里叶变

换

（2） 设z k k k t f k t f ∈--212211);(),(是两组正交的函数集合：

0)2(*)2(=++∑πωψπωφk k k

z k k dt k t f k t f R ∈=-=⎰212

1,0)()(

则此正交性质的频域表示为：

z k k K F k F k ∈=++∑212

1,0)2()2(πωπω

如前所述空间实际上就是一个集合，而且该集合中的元素之间具有某些特定的联系和性质。如果这个空间中的元素都是函数，那么这个空间就是函数空间。在此处空间中的元素是尺度函数，所以就称为尺度函数空间。以下就是尺度函数空间的性质：

z k j k t t j j jk ∈-=--,),2(2)(2

φφ

同一尺度j 下的两个函数之间具有正交归一性，即 )()2()2(2

212*1k k dt k t k t j j R j -=-----⎰δφφ

根据Poission 公式可得1)2(2=+∑k

k πωφ 但不同尺度之间的∙∙k j jk φφ,不具有

正交性，即

∙

-∙

+≠---∙-⎰kk j R j dt k t k t j j δφφ)2()2(2212

以上就是小波尺度函数的性质。

另外尺度函数概念中还有尺度因子的概念，所谓尺度因子就是尺度函数中的系数。尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。 如果尺度函数为φ（2^a*x-i ），则尺度因子a 越大尺度函数生成的矢量空间越大，波形越小。 细节也越不明显，包含的信息也越少

2、多分辨分析

Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当.

当人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，即尺度较大，则视野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节;若距离物体较近，即尺度较小，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节却无法概览全貌。

因此，如果既要知道物体的整体轮廓又要看清其局部细节，就必须选择不同的距离对物体进行观察。和人类视觉机理一样，人们对事物、现象或过程的认识会因尺度选择的不同而得出不同的结论，这些结论有些可能反映了事物的本质，有些可能部分地反映，有些甚至是错误的认识。显然，仅使用单一尺度通常只能对事物进行片面的认识，结果不是只见“树木”不见“森林”，就是只见“森林”不见“树木”，很难对事物有全面、清楚的认识。只有采用不同的尺度，小尺度上看细节，大尺度上看整体，多种尺度相结合才能既见“树木”又见“森林”。 多分辨分析的思想与用照相机焦距跟景物的局部与全局的关系对应起来更容易让人理解，当放大焦距(相当于在小波函数中放大尺度因子一对应于低频时)，我们可以拍摄到景物的全局与概貌，当缩小焦距(相当于在小波函数中缩小尺度因子一对应于高频)时，我们可拍摄到景物的某些细致的局部。另一方面，在自然界和工程实践中，许多现象或过程都具有多尺度特征或多尺度