《正弦函数的性质》

注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下 界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周期）周期T中最小的正数 叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最 小正周期）.
25
=3sin( x 4 )
25
=f (x+4)
∴函数的周期T=4 .
(3) y=|sinx| 解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|, 所以函数的周期是T=π.
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)
（其中 A 0, 0, x R ）的周期是
T 2
(5)单调性 从y＝sinx的图象上可看出：
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) ,
f [(x+2)+
3
]=f (x+ 3
)
∴函数的周期T=2 .
(2) y=3sin( x )
25
解：令z=
x 2
5
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2)
=3sin( x +2)
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性:
由sin(－x)＝－sinx, 可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
例3：求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+ 3
)；
x
(2) y=3sin( 2 + 5 )
数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是
由｛2wx｜＝ww＝＝22
＋2kπ，k∈Z｝ ＋2kπ，
得x＝
4
＋kπ.
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝
4
＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时,
1.3.1（二）正弦函数的性质
由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦 函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有 以下重要性质.
(1)定义域：
正弦函数y=sinx的定义域是实数集R［或(－∞， ＋∞)］，பைடு நூலகம்记作：y＝sinx，x∈R.
(2)值域: 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半
径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线 分布在两条平行线y=1和y=－1之间，所以 ｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1,
2
2
(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0,
(1)sin(－ )－sin(－ )；
18
10
(2)sin(－ 23
5
)－sin(－
17
4
)．
解：(1) ∵
2 10 18 2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
22
即sin(－
18
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π，4π，……，－2π，－ 4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的 周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期。
2
数取得最小值－1
例1：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1, 所以－1≤t－3≤1, 由此解得2≤t≤4.
例2： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R;
(2) y=sin(3x+ 4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函
)－sin(－10
)＞0
(2)sin(－
23
5
)＝－sin
2
5
sin(－ 17 )＝－sin
4
4
0 2
452
函数y=sinx在区间(
0,
)内为增函数,
2
∴sin(－
23
5
)－sin(－ 17
4
)＜0.
4
2
3 12
y的最大值为0.
(3) 周期性:
由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的。当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍 时，正弦函数y的值重复出现。在单位圆中，当 角α的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数 量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线 连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何 表示。这种性质称为三角函数的周期性。
也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］.
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
可先画区间[0,2π]上的一段图象
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
当x∈ [ , ] 时，曲线逐渐上升，sinx的值
22
由－1增大到1; 当x∈ [ , 3 ] 时，曲线逐渐下降，sinx的值由
22
1减小到－1。
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋
2
2
2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；
在每一个闭区间［ ＋2kπ， 3＋2kπ］