第二讲 命题、充要条件

㈡充要条件:
1.若 A B ，则A是B的 充分 B是A的 必要
A B
条件， 条件。
2.充要条件的定义：若 则A是B的充要条件。
，
3.充要条件的判定方法： ①定义法； ②集合判定法： 小充分，大必要，相等即充要 如图A是B的必要不充分条件 B A

③等价转化法。
㈣特别提醒的几点：
1.判断充要条件应注意条件和结论分别是什么， 二者的关系是什么。
2
（3）若 x y 0 ，则实数x,y全为零.
2 2
逆命题：若实数x，y全为零，则 x2 y 2 0 真命题
2 2 否命题：若 x y 0 ，则实数x，y不全为零。
真命题。
2 2 x y 0 逆否命题：若实数x，y不全为零，则
真命题。
ห้องสมุดไป่ตู้4）若ab=0,则a=0或b=0.
（4）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0。真命题。 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0。真命题。 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0。真命题。
小结：关键是分清命题的条件和结论，
当一个命题的真假不易判断时可采用 判断其逆否命题的真假。
例2、指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）在 ABC 中，p:∠A>∠B, q:BC>AC。
( y 2) 0
2
p是q的充分不必要条件
解析：条件p等价于“x=1且y=2”， 条件q等价于“x=1或y=2”
小结：对充要条件的判断，往往要将所给条件
进行适当化简，另要注意反例法的应用。
变式题：（1）“x>0”是“x≠0”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C。
解析：审题应注意“不正确”三个字。 方法是箭头推证法。其推理图如右：
例3、函数 f ( x) x2 (2k 1) x k 2在（0,1）上有两个 相异零点的充要条件是（ ）
1 A． 0 k ≤ 4
B．
1 k≤ 4
1 0k C． 4
D．
1 k 4
答案：C。
解析：抓住题中在（0,1）上有两个相异零点。 因此是一元二次方程区间根问题，需要考虑 判别式，对称轴，端点值。即满足以下条件：
答案：D。
解析：交换命题的条件和结论，并且对其进行否定。 故选D。
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s， 则s是p的逆命题的关系是（ ） A.逆否命题 B.C. 否命题 B. 逆命题 D.原命题
答案：A。
解析：小心审题，应用四种命题之间的关系即可。 故选A。
3．在以下四个命题中，互为等价命题有（ A.若p则q与若q则p C.若非p则非q与若q则p
∴ p2 q2 2 这与已知矛盾，故假设不成立。∴p+q<2
至少有一负根的充要条件是 （
A．a≤-1 C．a≤0 B．a>0 D．a＞-1
）
答案：B.
解析：数形结合可迅速得出答案。
例5、证明：若 p q 2 ,则 p+q≤2.
2 2
2 2 p 2 pq q 4 解析：假设p+q>2,则有
∵ p q 2 pq
2 2
2 2 2 2 2( p q ) p 2 pq q 4 ∴
1 x 1； 解析：由题可知，p： 2
q：(x-a）[x-(a+1)]≤0即a≤x≤a+1；
q ∵p是q的充分不必要条件，∴ p
1 a 1 2 解得： a 1 由集合的关系知： 2 a 1 1
1 所以实数a的取值范围是 0, 2
。
（2）若q≤1,则方程 x 2x q 0 有实根；
2
（2）逆命题：若方程 x 2 x q 0 有实根， 则q≤1。真命题 2 否命题：若q＞1，则方程 x 2 x q 0 没有实根。真命题。 2 逆否命题：若方程 x 2 x q 0 没有实根， 则q＞1。真命题。
2.判断充要条件的三种方法。
3.应用反证法的步骤是什么。
课前训练： 1．命题“a、b都是奇数，则 a+b 是偶数”的
逆否命题是（ ）
Ａ. a、b都不是奇数，则 a+b 是偶数
Ｂ. a+b 是偶数，则a、b都是奇数 Ｃ. a+b 不是偶数，则a、b都不是奇数 Ｄ. a+b 不是偶数，则a、b不都是奇数
例4、已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是：
a b ab a b 0
3 3 2 2
解析：①必要性：
a3 b3 ab - a 2 - b2
(a b)(a ab b (a ab b )
2 2) 2 2
(a b 1)(a ab b
2 2) 2 2
(a b 1)(a ab b
2
2)
∵ab≠0, ∴a≠且b≠0
1 2 3 2 ∴ a ab b (a b) b 0 2 4
2 2
则：a+b-1=0 ，∴a+b=1 充分性成立 综上所述：原命题成立。
2 ax 2x 1 0(a 0) 变式题：求
2
2)
∵a+b=1，∴a+b-1=0 2 2) ∴ (a b 1)(a ab b 0
3 3 2 2 0 故 a b ab - a - b 。必要性成立
②充分性：
a3 b3 ab - a 2 - b2
(a b)(a ab b (a ab b )
5．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件， 必要 那么B是A的 条件， 非A是非B的 条件。 必要
解析：非A是非B的什么条件等价于B是A的什么条件。
典型例题
例1、分别写出下列命题的逆命题、否命题 与逆否命题，并判断它们的真假。
（1）面积相等的两个三角形是全等三角形；
（1）逆命题：若两个三角形是全等三角形， 则这两个三角形的面积相等。真命题。 否命题：两个三角形面积不相等， 则这两个三角形不是全等三角形。真命题。 逆否命题：两个三角形不是全等三角形， 则这两个三角形的面积不相等。假命题。
(2k 1)2 4k 2 0 2k 1 1 0 2 解得：0 k 1 4 f (0) k 2 0 2 f (1) k 2k 0
故选C。
2 p : 2 x 3x 1≤ 0 ,命题 变式题：设命题 q : x2 (2a 1) x a(a 1) ≤ 0，若p是q的充分不必要条件， 求实数a的取值范围。
）
B.若q则p与若非q则非p D.若p则q与若非p则非q
答案：C。
解析：抓住原命题与逆否命题是等价命题。故选C。
4．“a≠1或b≠2”是a+b≠3的（
A.充分不必要条件 C.充要条件
）
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B。
解析：条件和结论都含否定性词语，等价转化 为判断“a+b=3”是“a=1且b=2”的什么条件即可。 能逆推不能顺推，故必要不充分条件。选B。
理科
•第一单元 集合与常用逻辑用语
第二讲
命题、充要条件
1.理解命题的概念. 考 纲 题、否命题与逆否命题，会分析四种命题 解 的相互关系. 读 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的 意义. 2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命
主干知识整合
知识回顾
㈠命题的概念
判断真假 1.命题的定义：能够 的陈述句叫做命题。
答案：A。
（2）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，
s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有以下命题： ①r是s的充要条件；②q是p的充分不必要条件；③r是 q的必要不充分条件；④非p是非s必要不充分条件； A．①④⑤ C．②③⑤ B．①②④ D．②④⑤
⑤r是s充分不必要条件。则不正确的命题序号是：（ ）
2.命题的四种形式：原命题、逆命题、 否命题、逆否命题。
3.四种命题的关系：
4.一个命题的真假与其他三个命题的真假 如下四条关系： （Ⅰ）原命题为真，它的逆命题不一定为真。
不一定为真 （Ⅱ）原命题为真，它的否命题 。
（Ⅲ）原命题为真，它的逆否命题 一定为真 。 （Ⅳ）逆命题为真，否命题一定为真。
p是q的充要条件
（2）对于实数x、y, p：x+y≠8，q：x≠2或y≠6
p是q的充分不必要条件
解析：等价于判断“x=2且y=6”是“x+y=8”的什么条件。
（3）在 ABC 中，p:sinA>sinB, q:tanA>tanB。
p是q的既不充分也不必要条件
2 （4）已知x、y∈R，p： ( x 1) q：(x-1)(y-2)=0