计算机辅助分析CAE
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2 V1D12 V2 D2 V3 D32 常量
（7）
沿着整个管道的总压力降等于每段管道的压力降之和
P loss P 1 P 2 P 3
（8）
计算机辅助工程—流体分析
三、有限元分析
现在分析通过管网的不可压缩粘性层流，首先将该问题模型化，可以用一个具 有四个节点和四个单元的模型描述该问题。
2 D5 C 128L
（10）
因为每个单元都与两个节点相关联，故需为每个单元建立两个等式。这些等 Pi 1 。由下列等式 Qi 和 Qi 1 单元的流动阻力 Pi 和 式必须包括节点压力
Qi C Pi Pi 1 Qi 1 C Pi 1 Pi
（11）
可知，一个单元的流量 Qi 和 Qi 1 与压力 Pi 和 P i 1 有关。上面两式显然满足质 量守恒。 Qi 和 Qi 1 之和为0表明，流入一给定节点的流量等于流出流量 。方程（11） 可以用矩阵表示为：
自由流流速 非粘性区域 边界层区 边界层区 非粘性区域
作用在机翼上的气流
计算机辅助工程—流体分析
在论述理想流体的有限元分析之前，先回顾一些基本知识。对于一个二维流场， 流体的速度为：
V xi y j
（14）
x 和 y 分别为流体速度矢量的x向分量和 y向分量。二维不可压缩流体的质 式中， 量守恒（连续方程），可以根据流体速度分量的不同，用不同的形式表示，如，
计算机辅助工程—流体分析
从60年代开始计算机技术的迅速发展，计算流体力学开始在工业界得到应用， 到80年代中期，各航空公司都发展了各自功能比较齐全、比较完善的整套面元法计 算软件，成为飞机设计中不可或缺的有效设计工具。 另外，70年代以来计算流体力学取得重大成功的另一领域是采用时间相关方法 求解可压缩Euler和N-S方程以及数值模拟复杂流场的研究工作。 网格生成技术：1974年Thomposon等提出求解椭圆型方程方法生成贴体网格， 起到开创性作用。随后Steger等又提出采用求解双曲型方程方法生成贴体网格。但 直到80年代中期，对比计算格式和方法的飞跃发展，网格生成技术未能与之保持同 步地发展。因而自80年代开始，各国计算流体和工业界都十分重视网格生成技术的 研究，发展了多块对接网格技术和多域重叠网格技术等，并在此基础上产生了90年 代的以ICEM软件为代表的新一代分块结构网格方法，具有与CAD接口的功能。因 而较容易生成非常复杂外形的CFD计算网格。90年代以来迅速发展的非结构网格和 自适应网格等方法，使复杂外形的网格生成技术呈现出了更加繁荣发展的局面。
同样，可以定义一个势函数 即： ，其空间梯度等于速度向量在相应方向上的分量，
vx
x
vy
y
（22）
沿着势函数为常数的一条线，有:
d 0
dx dy vx dx v y dy 0 x y
v dy x dx vy
（23）
（24）
比较方程（24）和（18），可以看出，等势线（流速势函数值相等的点组成的 线称为等势线）与流线正交。显然，势函数和流函数互为共轭。用方程（22）中的 关系式代换连续性方程（16）中的 vx 和 v y ，有：
x
和 y y x
（16）
注意，在将方程（16）代入方程（15）后，质量守恒定律是满足的。沿着 ( x, y)为 常数的一条流线，有：
d 0
或
dx dy x dx y dy x y
（17）
dy y dx x
（18）
（5）
计算机辅助工程—流体分析
经过整理可以得到一个体积流量与压力降之间的关系
1 2 D5 P1 P2 Q f 8 L
2
（6）
比较紊流和层流，可以发现紊流的流量和压力降呈非线性关系
二、串联管道
每段管道中的质量流量相等，此外，对于不可压缩流体，通过串联管道中的每 段管道的流量也是常量。如用每段管道中的平均流速表示流量时，可以得到下面的 等式：
计算机辅助工程—流体分析
对上式积分，即有：
dy dx y x
在流函数中求上式的积分结果，得：
xy 常量
或
xy
给 赋不同的值，就可以画出不同的流线。需要注意的是，每条流线所对应的 值本并不重要；重要的是 值之间的差。两条流线对应的 值之差度量了两条流 线之间所通过的流量。为了说明这一概念，参见上图，沿着A-B面，有：
计算机辅助工程—流体分析
2 2 2 0 2 x y
（25）
用方程（16）给出的流函数定义代换方程（21）中的 vx 和 v y ，有:
2 2 2 0 2 x y
（26）
方程（25）和（16）为拉普拉斯方程的形式，它们揭示了理想无涡流的运动规 律。典型地，在势流情况下，边界条件为已知的自由流速；在固体表面边界，流体 不存在法向的速度，这种情形可由下式表示：
（20）
所以，流线对应的 值之差代表通过单位宽度w 的值。
2.无涡流、势流、等势线
多数场合，流体的粘性作用可以忽略不计。而且，在低速情况下，非粘性流内 的流体单元角速度为0（即不旋转）。这种流体运动称为无涡流。一个平面流在满 足下列条件时就是无涡流：
y x
v y y
0
（21）
计算机辅助工程—流体分析
Q2
Q1
Q4
i
i 1
Q3
同样，可以用一个具有两个节点的单元模型描述异端管道中液流的流动状况。 单元模型的描述即方程（4）所给流量与压力降的关系，这里为
D 4 pI pI 1 Q c pI pI 1 128 l
（9）
计算机辅助工程—流体分析
式中C为流动阻力系数，定义如下
0 n
这里n表示固体表面的法向。
（27）
计算机辅助工程—流体分析
五、计算流体力学的发展
现代流体力学中新兴的学科分支——计算流体力学在近30年来发展迅速，流体 力学涉及的物理现象是多方面的，如激波、湍流、旋涡、非定常运动等。通过建立 相应的主控方程和边界条件，可以将问题转化为如何结合工程实际来求解这些方程 组，从而奠定了计算流体力学的基础。大工程实际中绝大多数流体力学问题是非线 性问题，求精确解和解析解是十分困难的。
计算流体力学是多领域交叉的学科，涉及计算机科学、流体力学、偏微分方程 的数学理论、计算几何、数值分析等学科。 1910年Richardson提出求解拉普拉斯方程的点叠代格式。40-50年代Liebmann， Southwell等改进了松弛格式使松弛法被广泛应用于求解流体和固体力学问题。 Courant等证明了连续的椭圆形、抛物型和双曲型方程组几解的存在性和唯一性定 理。
计算机辅助工程—流体分析
内容与目的
一、什么是流体分析？ 二、流体分析解决什么问题？ 三、什么计算流体力学？ 四、流场分析的数学基础？
分析方法
1. 流体流动概念及定律
2. 流体流动状态
五、流场分析软件？
3. 数学描述
4. 有限元求解方法
时间：二个教学单位
计算机辅助工程—流体分析
第一节 管流问题的数学建模 一、概述
（29）
计算机辅助工程—流体分析
（3）能量方程
V2 V2 T T ( e ) ( ( e ) V ) q ( k ) ( k ) t 2 2 x x y y T (u ) (v ) ( ) (u xx ) (k ) z z x y z x (u yx ) (u zx ) (v xy ) (v yy ) (u zy ) y z x y z ( xz ) ( yz ) ( zz ) f V x y z
考虑下图的情况，图中显示了在一锐角转角附近流体流动情况。在这种情况下， 流场表示为：
计算机辅助工程—流体分析
y
B( x2 , y2 ) C ( x1 , y2 ) A( x2 , y1 )
流体在锐角转角附近的流动情况
2
1
x
为了得到流函数的表达式，利用方程（18）：
y dy cy x dx cx
计算机辅助工程—流体分析
四、理想流体的流动
所有流体都有粘性，但在某些情况下，可以忽略流体的粘性作用以及对应的剪 切应力。对于粘性很小的流体，可以将这种忽略作为简化问题的第一步。同样，在 很多流体外部有粘性作用的情况下，可以将流体划分为两个区域；（1）靠近固体 边界的薄层——称为边界层区——该处粘性作用为主要作用之一，不可忽略；（2） 边界层之外的区域——这里粘性作用可以忽略不记，流体可以看做是非粘性的。对 于粘性流体，需要考虑的作用只有作用在流体单元上的压力和惯性力。
Q1 Q2 V1 A1 V1 A1
对于典型的层流，流量与沿管长L的压力降 P 相关，公式为 1P 2
（3）
D 4 P1 P2 Q 128 L
紊流的压力降通常用“水头损失”来表述，定义如下
（4）
H loss
P1 P2 L V2 f g D 2g
（28）
( u ) p xx yx zx X方向： ( uV) fx t x x y z ( v) p xy yy zy Y方向： ( vV) fy t y x y z ( ) p xz yz zz Z方向： ( V) fz t z x y z
x y 0 x y
（15）
1. 流函数和流线
对于恒定流，一条流线就是一个液体质点的运动轨迹。而对于任何流体，流线 是一条与流体质点速度相切的线。流线为流态的可视化提供了一种描述方法。对于 流函数 ( x, y)的定义，则要使其满足连续方程（15），这里有如下关系
计算机辅助工程—流体分析
在管道内流动的液体可以分成两种不同的运动形态；层流和紊Βιβλιοθήκη Baidu。
雷诺数定义如下
Re
VD
（1）
计算机辅助工程—流体分析
恒定流质量守恒定律，导管中各断面的质量流量恒为常数。
1 m 2 1V1 A1 1V1 A1 m
对于不可压缩液流——其密度恒为常数。通过导管的体积流量为
（2）
Qi C Q C i 1
D4 C Pi 128L C Pi 1 D 4 128L
D4 P 128L i D 4 Pi 1 128 L
y2 y2 2 Q vx dy dy vx dy 2 1 y y 1 1 1 w y
（19）
计算机辅助工程—流体分析
类似地，沿着B-C面，有：
x2 x2 2 Q v y dx dx d 2 1 x1 x 1 w x1
计算机辅助工程—流体分析
通用的CFD软件设计，一般都采用直接求解二维或三维的N-S方程，描述粘性 不可压缩流体动量守恒的运动偏微分方程。其与质量守恒和能量守恒方程一起构成 描述流体流动的封闭方程组，适用于所有的连续流动介质和流动状态。 （1）连续方程
（2）动量方程
V 0 t
（12）
计算机辅助工程—流体分析
则单元的流动阻力矩阵可表示为：
R
(e)
D4 128L D4 128L
D4 128L D 128L
4
（13）
将方程（13）的单元描述用于所有单元，并组合这些单元描述，便可得到总 流量矩阵、总流动阻力矩阵和总压力矩阵。
（7）
沿着整个管道的总压力降等于每段管道的压力降之和
P loss P 1 P 2 P 3
（8）
计算机辅助工程—流体分析
三、有限元分析
现在分析通过管网的不可压缩粘性层流，首先将该问题模型化，可以用一个具 有四个节点和四个单元的模型描述该问题。
2 D5 C 128L
（10）
因为每个单元都与两个节点相关联，故需为每个单元建立两个等式。这些等 Pi 1 。由下列等式 Qi 和 Qi 1 单元的流动阻力 Pi 和 式必须包括节点压力
Qi C Pi Pi 1 Qi 1 C Pi 1 Pi
（11）
可知，一个单元的流量 Qi 和 Qi 1 与压力 Pi 和 P i 1 有关。上面两式显然满足质 量守恒。 Qi 和 Qi 1 之和为0表明，流入一给定节点的流量等于流出流量 。方程（11） 可以用矩阵表示为：
自由流流速 非粘性区域 边界层区 边界层区 非粘性区域
作用在机翼上的气流
计算机辅助工程—流体分析
在论述理想流体的有限元分析之前，先回顾一些基本知识。对于一个二维流场， 流体的速度为：
V xi y j
（14）
x 和 y 分别为流体速度矢量的x向分量和 y向分量。二维不可压缩流体的质 式中， 量守恒（连续方程），可以根据流体速度分量的不同，用不同的形式表示，如，
计算机辅助工程—流体分析
从60年代开始计算机技术的迅速发展，计算流体力学开始在工业界得到应用， 到80年代中期，各航空公司都发展了各自功能比较齐全、比较完善的整套面元法计 算软件，成为飞机设计中不可或缺的有效设计工具。 另外，70年代以来计算流体力学取得重大成功的另一领域是采用时间相关方法 求解可压缩Euler和N-S方程以及数值模拟复杂流场的研究工作。 网格生成技术：1974年Thomposon等提出求解椭圆型方程方法生成贴体网格， 起到开创性作用。随后Steger等又提出采用求解双曲型方程方法生成贴体网格。但 直到80年代中期，对比计算格式和方法的飞跃发展，网格生成技术未能与之保持同 步地发展。因而自80年代开始，各国计算流体和工业界都十分重视网格生成技术的 研究，发展了多块对接网格技术和多域重叠网格技术等，并在此基础上产生了90年 代的以ICEM软件为代表的新一代分块结构网格方法，具有与CAD接口的功能。因 而较容易生成非常复杂外形的CFD计算网格。90年代以来迅速发展的非结构网格和 自适应网格等方法，使复杂外形的网格生成技术呈现出了更加繁荣发展的局面。
同样，可以定义一个势函数 即： ，其空间梯度等于速度向量在相应方向上的分量，
vx
x
vy
y
（22）
沿着势函数为常数的一条线，有:
d 0
dx dy vx dx v y dy 0 x y
v dy x dx vy
（23）
（24）
比较方程（24）和（18），可以看出，等势线（流速势函数值相等的点组成的 线称为等势线）与流线正交。显然，势函数和流函数互为共轭。用方程（22）中的 关系式代换连续性方程（16）中的 vx 和 v y ，有：
x
和 y y x
（16）
注意，在将方程（16）代入方程（15）后，质量守恒定律是满足的。沿着 ( x, y)为 常数的一条流线，有：
d 0
或
dx dy x dx y dy x y
（17）
dy y dx x
（18）
（5）
计算机辅助工程—流体分析
经过整理可以得到一个体积流量与压力降之间的关系
1 2 D5 P1 P2 Q f 8 L
2
（6）
比较紊流和层流，可以发现紊流的流量和压力降呈非线性关系
二、串联管道
每段管道中的质量流量相等，此外，对于不可压缩流体，通过串联管道中的每 段管道的流量也是常量。如用每段管道中的平均流速表示流量时，可以得到下面的 等式：
计算机辅助工程—流体分析
对上式积分，即有：
dy dx y x
在流函数中求上式的积分结果，得：
xy 常量
或
xy
给 赋不同的值，就可以画出不同的流线。需要注意的是，每条流线所对应的 值本并不重要；重要的是 值之间的差。两条流线对应的 值之差度量了两条流 线之间所通过的流量。为了说明这一概念，参见上图，沿着A-B面，有：
计算机辅助工程—流体分析
2 2 2 0 2 x y
（25）
用方程（16）给出的流函数定义代换方程（21）中的 vx 和 v y ，有:
2 2 2 0 2 x y
（26）
方程（25）和（16）为拉普拉斯方程的形式，它们揭示了理想无涡流的运动规 律。典型地，在势流情况下，边界条件为已知的自由流速；在固体表面边界，流体 不存在法向的速度，这种情形可由下式表示：
（20）
所以，流线对应的 值之差代表通过单位宽度w 的值。
2.无涡流、势流、等势线
多数场合，流体的粘性作用可以忽略不计。而且，在低速情况下，非粘性流内 的流体单元角速度为0（即不旋转）。这种流体运动称为无涡流。一个平面流在满 足下列条件时就是无涡流：
y x
v y y
0
（21）
计算机辅助工程—流体分析
Q2
Q1
Q4
i
i 1
Q3
同样，可以用一个具有两个节点的单元模型描述异端管道中液流的流动状况。 单元模型的描述即方程（4）所给流量与压力降的关系，这里为
D 4 pI pI 1 Q c pI pI 1 128 l
（9）
计算机辅助工程—流体分析
式中C为流动阻力系数，定义如下
0 n
这里n表示固体表面的法向。
（27）
计算机辅助工程—流体分析
五、计算流体力学的发展
现代流体力学中新兴的学科分支——计算流体力学在近30年来发展迅速，流体 力学涉及的物理现象是多方面的，如激波、湍流、旋涡、非定常运动等。通过建立 相应的主控方程和边界条件，可以将问题转化为如何结合工程实际来求解这些方程 组，从而奠定了计算流体力学的基础。大工程实际中绝大多数流体力学问题是非线 性问题，求精确解和解析解是十分困难的。
计算流体力学是多领域交叉的学科，涉及计算机科学、流体力学、偏微分方程 的数学理论、计算几何、数值分析等学科。 1910年Richardson提出求解拉普拉斯方程的点叠代格式。40-50年代Liebmann， Southwell等改进了松弛格式使松弛法被广泛应用于求解流体和固体力学问题。 Courant等证明了连续的椭圆形、抛物型和双曲型方程组几解的存在性和唯一性定 理。
计算机辅助工程—流体分析
内容与目的
一、什么是流体分析？ 二、流体分析解决什么问题？ 三、什么计算流体力学？ 四、流场分析的数学基础？
分析方法
1. 流体流动概念及定律
2. 流体流动状态
五、流场分析软件？
3. 数学描述
4. 有限元求解方法
时间：二个教学单位
计算机辅助工程—流体分析
第一节 管流问题的数学建模 一、概述
（29）
计算机辅助工程—流体分析
（3）能量方程
V2 V2 T T ( e ) ( ( e ) V ) q ( k ) ( k ) t 2 2 x x y y T (u ) (v ) ( ) (u xx ) (k ) z z x y z x (u yx ) (u zx ) (v xy ) (v yy ) (u zy ) y z x y z ( xz ) ( yz ) ( zz ) f V x y z
考虑下图的情况，图中显示了在一锐角转角附近流体流动情况。在这种情况下， 流场表示为：
计算机辅助工程—流体分析
y
B( x2 , y2 ) C ( x1 , y2 ) A( x2 , y1 )
流体在锐角转角附近的流动情况
2
1
x
为了得到流函数的表达式，利用方程（18）：
y dy cy x dx cx
计算机辅助工程—流体分析
四、理想流体的流动
所有流体都有粘性，但在某些情况下，可以忽略流体的粘性作用以及对应的剪 切应力。对于粘性很小的流体，可以将这种忽略作为简化问题的第一步。同样，在 很多流体外部有粘性作用的情况下，可以将流体划分为两个区域；（1）靠近固体 边界的薄层——称为边界层区——该处粘性作用为主要作用之一，不可忽略；（2） 边界层之外的区域——这里粘性作用可以忽略不记，流体可以看做是非粘性的。对 于粘性流体，需要考虑的作用只有作用在流体单元上的压力和惯性力。
Q1 Q2 V1 A1 V1 A1
对于典型的层流，流量与沿管长L的压力降 P 相关，公式为 1P 2
（3）
D 4 P1 P2 Q 128 L
紊流的压力降通常用“水头损失”来表述，定义如下
（4）
H loss
P1 P2 L V2 f g D 2g
（28）
( u ) p xx yx zx X方向： ( uV) fx t x x y z ( v) p xy yy zy Y方向： ( vV) fy t y x y z ( ) p xz yz zz Z方向： ( V) fz t z x y z
x y 0 x y
（15）
1. 流函数和流线
对于恒定流，一条流线就是一个液体质点的运动轨迹。而对于任何流体，流线 是一条与流体质点速度相切的线。流线为流态的可视化提供了一种描述方法。对于 流函数 ( x, y)的定义，则要使其满足连续方程（15），这里有如下关系
计算机辅助工程—流体分析
在管道内流动的液体可以分成两种不同的运动形态；层流和紊Βιβλιοθήκη Baidu。
雷诺数定义如下
Re
VD
（1）
计算机辅助工程—流体分析
恒定流质量守恒定律，导管中各断面的质量流量恒为常数。
1 m 2 1V1 A1 1V1 A1 m
对于不可压缩液流——其密度恒为常数。通过导管的体积流量为
（2）
Qi C Q C i 1
D4 C Pi 128L C Pi 1 D 4 128L
D4 P 128L i D 4 Pi 1 128 L
y2 y2 2 Q vx dy dy vx dy 2 1 y y 1 1 1 w y
（19）
计算机辅助工程—流体分析
类似地，沿着B-C面，有：
x2 x2 2 Q v y dx dx d 2 1 x1 x 1 w x1
计算机辅助工程—流体分析
通用的CFD软件设计，一般都采用直接求解二维或三维的N-S方程，描述粘性 不可压缩流体动量守恒的运动偏微分方程。其与质量守恒和能量守恒方程一起构成 描述流体流动的封闭方程组，适用于所有的连续流动介质和流动状态。 （1）连续方程
（2）动量方程
V 0 t
（12）
计算机辅助工程—流体分析
则单元的流动阻力矩阵可表示为：
R
(e)
D4 128L D4 128L
D4 128L D 128L
4
（13）
将方程（13）的单元描述用于所有单元，并组合这些单元描述，便可得到总 流量矩阵、总流动阻力矩阵和总压力矩阵。