概率论与数理统计第四章习题及答案
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概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征
习题4-1 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]
查二项分布表
1－0.7361=0.2639.
因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, 0.2639). P (X =0)=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛04×0.26390×0.7361
4
=0.2936.
P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14×0.26391×0.73613=0.4210, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24×0.26392×0.73612
=0.2264. P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34×0.26393×0.7361=0.0541, P (X =4)= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛44×0.2639×0.73610
=0.0049. 从而
E (X )=np =4×0.2639=1.0556
习题4-2 设随机变量X 的分布律为 ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-=+j j X P j
j
j ,说明X
的数学期望不存在.
解： 由于
1
11
1133322(1)
((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞
∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j
∞
=∑发散，故级数1
11
33(1)
((1))j j
j j j P X j j
∞
++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题4-3 设随机变量的分布律为
X
-2 0 2 k p
0.4
0.3
0.3
求)53(),(),(2
2
+X E X E X E .
解 E (X )=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2
由关于随机变量函数的数学期望的定理，知
E (X 2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8
E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]0.4+[3 02+5]0.3+[322+5]
0.3=13.4
如利用数学期望的性质，则有
E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3 2.8+5=13.4
4
.135)(3)53(,
8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(2
22
2
22)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E
习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤>=-0
,
0,
0,
)(x x e x f x 求X
e
Y X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.
解
2
2)(2)
0(2)(2)2()()(0
0=-=+-=+⋅===∞-∞
+-∞-+∞
-∞
-+∞∞
-⎰
⎰
⎰⎰x
x x
x e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I
3
13
1)()()(0
30
30
22=
-==⋅==∞
-∞
+-∞
+---⎰
⎰
x
x
x
x
X
e
dx e
dx e e
e
E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤≤≤=其它
,
0,10,
12),(2x y y y x f
求)(),(),(),(2
2Y X E XY E Y E X E +.
解 各数学期望均可按照⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。因),(y x f 仅
在有限区域}10|),{(:≤≤≤x y y x G 内不为零，故各数学期望均化为G 上相应积分的计算。
5
4
1212),()(10
22=
===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰∞+∞-∞
+∞
-x
G
dy xy dx dxdy xy dxdy y x xf X E 531212),()(1
032
=
===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰∞+∞-∞
+∞
-x
G
dy y dx dxdy yy dxdy y x yf Y E 2
11212),()(1
32=
===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰∞+∞-∞
+∞
-x
G
dy xy dx dxdy xyy dxdy y x xyf XY E 15
16)(1212)()(1
42222222=
+=+=+⎰⎰⎰⎰x
G
dy y y x dx dxdy y y x Y X E 习题4-6 将n 只球)~1(n 号随机地放进n 只)~1(n 盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E .