应用随机过程8-随机积分

参考文献[1]胡迪鹤.随机过程论(基础、理论、应用)[M],第2版.武汉武汉

参考文献 [1] 胡迪鹤. 随机过程论（基础、理论、应用）[M],第2版. 武汉: 武汉大学出版社，2005. [2] 黄志远. 随机分析学基础[M],第2版. 北京：科学出版社，2001. [3] 闰理坦，鲁立刚，许志强. 随机积分与不等式[M]. 北京：科学出版社， 2004. [4] Sheldon M. Ross.Stochastic Processes[M],Second Edition. New York,Chichester, Brisbane, Toronto,Singapore: JOHN WILEY & SONS LNC, 1995. [5] 林元烈. 应用随机过程[M]. 北京：清华大学出版社，2002. [6] 金治明. 数学金融学基础[M]. 北京：科学出版社，2006. [7] 龚光鲁，钱敏平. 应用随机过程教程[M]. 北京：清华大学出版社，2004. [8] 赵荣侠、崔群劳. 测度与积分[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社，2002. [9] 何声武，汪嘉冈，严加安. 半鞅与随机分析[M]. 北京：科学出版社，1995. [10] 胡适耕，黄乘明，吴付科. 随机微分方程[M]. 北京：科学出版社，2008. [11] 柳金甫，孙洪祥，王军. 应用随机过程[M]. 北京：清华大学出版社，2006. [12] 刘嘉焜. 应用随机过程[M]. 北京：科学出版社，2002. [13] A. B. 布林斯基， A. H. 施里压耶夫著，李古柄译. 随机过程论[M]. 北京：高等教育出版社，2008. [14] 奚宏生. 随机过程引论[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2009. [15] 方兆本，繆柏其. 随机过程[M]，第2版. 北京：科学出版社，2004. [16] 伊藤清著，刘璋温译. 随机过程[M]. 北京：人民邮电出版社，2010. [17] 刘次华. 随机过程[M], 第2版. 武汉: 华中科技大学出版社，2001. [18] 王军，王娟. 随机过程及其在金融领域中的应用[M]. 北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社， 2007. [19] Philip E. Protter. Stochastic Integration and Differential Equations[M], (Second Edition). New York: Springer,2005. [20] Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus with Finance in View[M]. Singapore:World Scientific, 1998, [21] Jiongmin Yong, Xun Yu Zhou. Stochastic Controls[M]. New York: Springer, 1999. [22] 王梓坤. 随机过程论[M]. 北京：科学出版社，1978 [23] 金治明. 最优停止理论及其应用[M]. 国防科学大学出版社，1995. [24] 高飞, 赵振全. 随机控制理论与风险度量[J].数量经济技术经济研究, 2002, 19(6):72-75. [25] Nizar Touzi, Stochastic control problems: Viscosity solutions and application to finance[M/R].Pisa, Italy: Birkhauser Verlag AG, 2007.

随机过程

《随机过程》课程教学大纲课程编号：02200021 课程名称：随机过程英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计一、课程简介随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。二、课程性质、目的和任务随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。三、课程基本要求通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。四、教学内容及要求第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。第二章随机过程的基本概念和类型

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式：闭卷开课学院统计与数理学院使用年级 07级出题教师张辉一．判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ）二．填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。三．简答题（每小题5分，共10分） 1．简述马氏链的遍历性。答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2．非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。四．计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》课程教学大纲课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。（二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。（三）实施说明本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。（四）对先修课的要求本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。（五）对习题课的要求由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。（六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

应用随机过程答题(2)

--------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《随机分析》课程期末考试试题B 说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。一、填空题（每小题3分，共计10×3＝30分） 1）随机变量()2~,X N μδ，则其矩母函数()=t g 。 2）(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程，则()()}{=2211＝且＝N N P 。 3）设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3，n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的时间间隔，则}{=n X E ， }{=n X D 。 4）设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程，订阅1年、2年、3年的概率分别21， 31和6 1，且相互独立。订阅一年时，可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E ＝，()}{= t X D ＝。 5）考虑状态0，1，2的一个Markov 链{}0,≥n X n ，其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ，初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ，则 ()====1,0,1210X X X P 。 6）已知状态为1，2，3，4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为

应用随机过程教学大纲

《应用随机过程A》课程教学大纲课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业学分数：3学分学时数： 48学时应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数一、本课程的地位和作用应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。二、本课程的教学目标使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。）第一章预备知识 1．教学基本要求（1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。（2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。（3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容（1）概率空间（2）▽随机变量和分布函数

（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数（4）▽*条件概率、条件期望和独立性（5）收敛性第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求（1）掌握随机过程的定义。（2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。（3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容（1）基本概念（2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理（3）▽随机过程的基本类型第三章 Poisson过程 1．教学基本要求（1）了解计数过程的概念。（2）掌握泊松过程两种定义的等价性。（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容（1）▽ Poisson过程（2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布（3）* Poisson过程推广第四章更新过程 1．教学基本要求（1）掌握更新过程的定义和基本性质。（2）掌握更新函数、更新方程。（3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。（4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求：（1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ；（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ；（3）均值函数()X m t ；（4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求：（1）1(,),(1,)2F x F x ；（2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ，求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

随机过程教学大纲

《随机过程》教学大纲课程编码：1511104303 课程名称：随机过程学时/学分：48/3 先修课程：《数学分析》、《概率论与数理统计》适用专业：数学与应用数学开课教研室：信息与计算科学教研室一、课程性质与任务 1．课程性质：随机过程是概率论与数理统计的后继课程，是数学与应用数学专业的专业选修课。随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征，着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。随机过程论在理论与应用两方面都发展迅速，学习、了解这门学科对概率统计及数学其他分支如信息与计算科学、自然学科、工程技术乃至经济管理等方面的学者及科技工作者都是重要而且有益的。本课程开设在第6学期。 2．课程任务：通过本课程的学习，学生应能较好地理解随机数学的基本思想，掌握几个常用过程，如泊松过程、马尔可夫链、生灭过程、更新过程、鞅的基本概念，基本理论及分析方法。提高学生的数学素质，加强学生运用随机过程的思想方法开展科研工作和解决实际问题的能力。二、课程教学基本要求《随机过程》要求在熟练掌握概率论的基础上深刻理解随机过程的基本思想，理解随机过程是概率论的动态部分的含义；掌握随机过程的分类方法及常见的随机过程（如Poisson 过程、更新过程、Markov链和鞅等）的各种性质、推广形式及简单应用。本课程的成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。成绩评定采用百分制，60分为及格。三、课程教学内容第一章准备知识 1．教学基本要求复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，及多维随机变量的知识；复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算；掌握条件数学期望的求法，全期望

随机过程知识点总结

第一章：考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；

第二单元参考书目

第二单元参考书目考试科目考试覆盖内容及参考书代数学基础N. Jacobson, Basic Algebra I, II. Basic Algrbra I 中的Galois理论；Basic Algebra II中的第一章（范畴理论）、第三章（模论）、第四章（环论）、第七章（交换代数）微分几何《微分几何讲义》（第二版），陈省身、陈维桓著，1983年，1版，北京大学出版社。《黎曼几何初步》，伍鸿熙著，北京大学出版社。实分析与复分析庄圻泰，张南岳《复变函数》，北京大学出版社，1984年。周民强《实变函数》，北京大学出版社，有新版。泛函分析（甲）《泛函分析讲义》（上、下册），张恭庆、林源渠著，北京大学出版社。John B.Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1985. 分析与代数复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社，2000年版。北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(修订版)高等教育出版社，1988年版。高等概率论《测度论基础》，严加安，科学出版社。数理统计《高等数理统计》，峁诗松，王静龙，濮晓龙，高等教育出版社，1998 偏微分方程（甲）《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》第一部分（陈亚浙、吴兰成著，科学出版社出版。《数学物理方程》，复旦大学数学系主编，高等教育出版社。近世代数《代数》（英文版），（美）I. Martin Isaacs（威斯康星大学麦迪逊分校）著，机械工业出版社。运筹学基础运筹学导论(初级篇第8版)，作者：(美)塔哈；译者：薛毅、刘德刚、朱建明、侯思祥；校注：:韩继业；出版：人民邮电出版社，2008年计算机科学基础《离散数学》，左孝凌著，上海科技文献出版社。《计算机算法基础》，邹海明、余祥宣著，华中科技大学出版社。《形式语言与自动机理论》，John E.Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D.Ullman，清华大学出版社。决策分析《决策分析》陈珽著，科学出版社，1991年。经济学

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题一答案

习题一 1、设人民币存款利率为5%，每年计息一次，那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍？如果利率变为4%，又要多少年？解：设初始投入资金为Q 元，大约需要n 年，其中的利率为r 。依题意，可得：公式计算法：Q ?5%?n =Q 1?Q 【PS: Q 1为存款后的利息+本金，Q 为本金】 1) 当r=5%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 所以：n =35%=60 2) 当r=4%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 3) 所以：n =34%=75 答：当利率为5％的时候，大约60年可以达到4倍。利率为4％的时候，大约75年可以达到4倍。 2、如果利率为年复合利率r ，请给出一个公式，用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。解：【推导过程】当利率为r ，则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款，二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······ 依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n 依据上述公式和P3的(1—4)，可以得到： Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr =>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr 且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ，则由题意得到Q(1+r)n =3Q =>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3 n ≈ln3r =ln3r 3、考虑期权定价C 问题，设利率为r ，在t=0时刻，某股票价格为100元，在t =1时刻，该股票的价格为200或50，即 100(t =0)↗↘20050 (t =1) 试证明：若C ≠100?50(1+r )?13，则存在一个购买组合，使得在任何情况下都能带来正的利润现值，即套利发生。【本题默认执行价格为150】

随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1 ）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）

随机过程教学大纲

《随机过程》课程教学大纲一课程说明 1.课程基本情况课程名称：应用随机过程英文名称：Applications Random Process 课程编号：2411223 开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第6学期学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）《应用随机过程》是面向数学与应用数学专业（应用数学方向）三年级学生开设的一门任选课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。 3．本课程的教学目的和任务通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求先修课程：微积分、概率论。掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等基本概念；掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论；理解平稳过程的概念、相关函数的性质，掌握遍历性定理、

相关函数的谱分解、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法；Ito公式；初步领会随机微分方程在金融中的应用. 5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书 1、张波，商豪. 应用随机过程（第二版）. 中国人民大学出版社，2009 2、张波编著. 应用随机过程. 中国人民大学出版社, 2001 3、钱敏平、龚光鲁著. 应用随机过程. 北京大学出版社, 1998 4、方兆本、缪柏其著. 随机过程. 中国科技大学出版社, 1993 5、王寿仁编著. 概率论基础和随机过程. 北京科学出版社, 1997 三教学方法和教学手段说明本课程虽然归属理论课，但具有很强的应用性，在教学过程中应注意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新概念、新方法。采用板书与多媒体结合的教学手段，以课堂讲授为主，学生课堂讨论和练习为辅的教学方式。注重对学生的启

应用随机过程学习汇总

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应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

应用随机过程期末复习资料全

第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为), 0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。二、有限维分布与Kolmogorov 定理随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随机过程的二维分布：

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?? ? ? ? = 时取得白球如果对时取得红球如果对 t e t t t X t 3 )( . 维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关

（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函 2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

华工应用随机过程试卷及参考答案

华南理工大学2011—2012 学年第一学期《应用随机过程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）院/系年级 __专业姓名学号 1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且 EX 存在， C 是 F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为 λ 的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、 _____增量，且?t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )? N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )? N (t ) =1})＝_____________； 3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则?t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有

指数分布，即：P({X ≤ a}) =1?e?λa ，a >0，其中λ是正常数。设λ是另一个正常数，定义：Z = λλe?(λ?λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，?A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函数：P({X ≤ a})，a>0； 2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1?X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足： F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ?∏ k n=1 1 X?k X ?1 k ，n ≥1，试证：{Y n ,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！三、计算证明题（共60 分） 1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-