应用随机过程8-随机积分

2010-8-1
理学院 施三支
注： 易证Zn是关于Fn的鞅，即 若假定
2 EBn
E[ Z n m | Fn ] Z n ，且 EZ n 0
，则
2 n n 2 i
Var ( Z n ) EZ EB
i 1
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8.2
关于Brown运动的积分
设 B (t ) 为一个标准 Brown 运动。考虑一个简单过程 X (t ) ：
t
Y (t ) 也是平方可积鞅。
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定义8.3.1
设 Y (t )
X (s)dB(s), 0 t T 是 Ito 积分，
0
t
如果在依概率的意义下，极限
n 0
n n
lim | Y (t in1 ) Y (t in ) |2
i 1
n 1
当 {ti }i 0 遍取 [0,t ]的分割，且其模 n max (ti 1 ti ) 0
t 0
T 0, X ，对任何 t T ，积分 X ( s )dB ( s ) 是适定的
例8.2.2 例8.2.3
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求积分 J
tdB (t ) 的均值和方差。 估计使得积分 (1 t ) dB (t ) 适定的 的值。
0
1
1

0
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8.3
(5)
8.4
Ito公式
设 g 是有界连续函数， {ti } 是[0,t ]的分割，则对
n n n n
定理8.3.1
n
n
任何 i ( B (ti 1 ), B (ti )) ， (即 B (ti 1 ), B (ti ) 之间的任意值)， 依概率意义下的极限
n 0
lim g ( )( B (t i1 ) B (t i )) g ( B ( s ))ds

T
0
XdB ，
二、简单过程Ito积分的性质 性质8.2.1 （1）线性
若 X (t ) ， Y (t ) 是简单过程，则
T T 0 0

T
0
(X (t ) Y (t )) d B (t ) X (t ) d B (t ) Y (t ) d B (t )
这里 , 是常数。
X (t ) 0 I 0 (t ) i I ( ti ,ti1 ] (t )
定义
i 1

T
0
X (t )dB (t ) i ( B (ti 1 ) B (ti ))
i 1
n
(2)
称之为 X (t ) 关于 B (t ) 的 Ito 积分，简记为
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1 df ( B(t )) f ( B(t ))dB (t ) f ( B (t ))dt 2
例8.4.1
(6’)
求 d (e
B (t )
)
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定理8.4.1
Ito过程的Ito公式
设 X (t ) 是由
dX (t ) (t )dt (t )dB (t )
第8章 随机积分 — Ito积
8.1 8.2 8.3 8.4
关于随机游动的积分 关于布朗运动的积分 Ito积分过程 Ito公式
8.5 Black-Scholes模
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8.1 关于随机游动的积分
1 P{ X i 1} P{ X i 1} 设X1,X2,…是独立的随机变量， 2 (公平赌博)。令Sn表示相应的游动， S n X 1 X 2 X n 。令
Ito积分过程
积分 Y (t )

t
0
X ( s ) dB ( s ) 是一个随机过程。
*
t
定理8.3.1 设 X (t ) ，并且
0
Y (t ) X ( s )dB( s ), 0 t T
是零均值的连续的平方可积鞅(即 sup EY (t ) )。
2


0
EX 2 ( s ) ds ，则
X (t ) c0 I 0 (t ) ci I (ti ,ti1 ] (t )
i 1 T
n
定义一个关于Brown运动的积分：

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0
X (t )dB (t ) ci ( B (ti 1 ) B (ti ))
i 1
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n
(1)

T
0
X (t )dB (t ) ci ( B (ti 1 ) B (ti ))
（2）

T
0
I[ a ,b ] (t )d B(t ) B(b) B(a)
其中 I [ a ,b ] (t ) 是区间 [ a, b] [0, T ] 的示性函数。
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性质8.2.1 （3）零均值性
如果 E i (i 0,1, , n 1) ，则
Y (t ) Y (0) ( s )ds ( s )dB ( s )
0 0
t
t
(7)
其中过程 (t ) 和 (t ) 满足
(1).
(t ) 是适应的，并且 | (t ) | dt , a.s. 0 * (2). (t )
T
则称Y为Ito过程
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注：
将Ito过程记为微分形式：
dY (t ) (t )dt (t )dB (t ), 0 t T
赖于 Y (t ) 或 B ( s ), s t
Ito 公式的微分形式是
(7’)
函数 (t ) 称为漂移系数， (t ) 称为扩散系数。它们可以依
定理8.3.2 如果 X 是非随机的，且
T 0

t T
0
X 2 ( s ) ds ，则对任何
t , Y (t ) X ( s )dB (t ) 是高斯过程，均值为 0，协方差函数为
cov(Y (t ), Y (t u )) X 2 ( s )ds, u 0
0
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注：
1． 定理中 ( dX (t )) ( dX (t )) ( dX (t )) 按照下面规则计算
2
dt dt dt dB (t ) dB (t ) dt 0 (dB (t )) (dB (t )) dt
2．按照 X (t ) 的定义，如果 g (t , x ) g ( x ) ，则有
记
{h : h是定义在[0, T ]上的可测适应过程，
满足E[ h 2 ( s)d s] }
0 T
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{h : h是定义在[0, T ]上的可测适应过程，
满足E[ h 2 ( s)d s] }
0 T
定义8.2.3
设 f (0, T ) ，则 f 的 Ito 积分定义为
i 1
n
(1)
公式左边是一个Gauss分布的随机变量，均值为0，方差为
Var ( X (t )dB (t )) ci (ti 1 ti )
T 2 0 i 1
n
下面推广到较一般的情形：
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一、简单过程Ito积分的定义 定义8.2.1
设{ X (t ) , 0 t T }为一个简单随机过程，即
n n 0 i n 1
时存在，则称此极限为 Y 的二次变差，记为 [Y , Y ](t )
定理8.3.3
设 Y (t )
X (s)dB(s), 0 t T 是 Ito 积分，
0
t
t
则 Y 的二次变差为
[Y , Y ](t ) X 2 ( s)ds
0
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一、股票的Black-Scholes模型
(>0)，使得
dX t bX t dt X t dBt
其中b称为期望收益率，称为波动率，由Ito公式得
(8)
X t X 0 exp{(b

2
2
) Bt }
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注： 方程(8)是随机微分方程。随机微分方程的一般形式为
设 0 t 0 t1 t n 1 t n T 为 [0, T ] 的一个分割， 存在 常数 c0 , c1 , , cn 1 ，使得
或
c0 , 若t 0 X (t ) ci , 若ti t ti 1 , i 0,1, , n 1
i 1 n i n n
2
n 1
t
0
定理8.4.2
Ito公式
t
如果 f 是二次可微函数，则对任何 t，有
f ( B (t )) f (0)
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0
1 t f ( B ( s ))dB ( s ) f ( B ( s ))ds 2 0
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(6)
定义8.3.1 如果过程 Y {Y (t ),0 t T } 可以表示为
存在 [0, T ] 的一个分割 0 t 0 t1 t n 1 t n T ，随机变 赖于 B (t ), t ti , i 0,1, , n 1 ，并且
n
量 0 , 1 , , n 1 ， 使得 0 是常数， i 依赖于 B (t ), t ti 但不依
Fn ( X 1 , X 2 , , X n )
令Bn表示Fn-1可测的随机变量序列(第n次赌注)，则第n次收益为
Z n Bi X i Bi ( S i S i 1 ) Bi S i
i 1 i 1 i 1
n
n
n
这里S0=0，称Zn为Bn关于Sn的积分。
给出的 Ito 过程， g (t , x ) 是 [0, ) R 上的二次连续可微函 数，则
Y (t ) g (t , X (t ))
仍为Ito过程，并且
g g dY (t ) (t , X (t ))dt (t , X (t ))dX (t ) x t 2 1 g 2 ( t , X ( t )) ( dX ( t )) 2 2 x
三、可测适应过程Ito积分的定义
设 X n 是 r.v. 列 ， Fn 是 - 代 数 流 ， 如 果 对 任 何 x ，
{ X n x} Fn ，则称 Xn 关于 Fn 可测。
定义8.2.2 （适应的）
设 { X (t ), t 0} 是随机过程， {Ft , t 0} 是 -代数流， 如果对任何 t， X (t ) 是 Ft 可测的，则称 X(t)关于 Ft 适应的。
1 dY (t ) [ g ( X (t )) (t ) g ( X (t )) 2 (t )]dt 2 g ( X (t )) (t ) dB (t )
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8.5
Black-Scholes模型
设股票在 t 时刻的价格为随机变量 X t ，且存在常数 b，
2
E [ X ( t ) d B ( t )] 0
0
T
（4）等距性
T
如果 E i (i 0,1, , n 1) ，则
2
2
E 0 X ( t ) d B ( t )

T
0
EX 2 ( t ) d t
下面将Ito积分推广到更一般的情形：
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T
0
f (t , )dB (t , ) lim n (t , )dB (t , )
n 0
T
(3)
这里 {n } 是初等随机过程列，使得当 n 时，
E [ f (t ) n (t )]2 dt 0
0
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T
(4)
例8.2.1
设 f 是连续函数，考虑下面两种情况下的 的二阶矩是否存在。

1
0
f ( B (t )) dB (t )
(1). f (t ) t
பைடு நூலகம்注：
(2). f (t ) e
t2
将 改为如下更广泛的形式
* {h : h是定义在[0, T ]上的可测适应过程，
满足
*

T
0
h 2 ( s )d s , a.s.}
X t X 0 b( s, X s )ds ( s, X s )dBs
0 0
t
t
(9)
或
dX t b(t , X t )dt (t , X t )dBt X 0 X 0 ( )