(完整版)梁的内力计算

第四章 梁的内力 第一节 工程实际中的受弯杆

受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。

a

房屋建筑中的大梁b

简易挡水结构中的斜梁

c 小跨度公路桥地纵梁

d 机械传动装置中的蜗杆

图4-1 工程实际中的受弯杆

1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲．．。在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念

工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面．．

（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲．．．．。它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。

1.3 梁的简化——计算简图的选取

工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图．．．．。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。

梁轴线

图4-2 梁的平面弯曲

一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：

（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；

（2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；

（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：

（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a）所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用Y A表示。

（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b）所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用X A、Y A表示。

（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c）所示。这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量X A、Y A及m A来表示。图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。

A枢轴

梁

辊轴

支承垫板A

梁

A

a活动铰支座

A

b固定铰支座

A

A

m A

c固定端支座

图4-3 三种典型支座

1.4 梁的基本形式

根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：

（1）简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a））；

（2）外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b），（c））；（3）悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d））。

() 简支梁

2

() 一端外伸梁

() 两端外伸梁

() 悬臂梁

图4-4 梁的类型

这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称

为静定梁

．．．。

第二节 梁的内力——剪力和弯矩

2.1 截面法求梁的内力

为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a ）为例，梁在外力（荷载P 和反力Y A 、Y B ）作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x 处用一假想截面m-n 将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4－5（b ）可知，左脱离体A 端原作用有一向上的支座反力Y A ，要使它保持平衡，由0Y =∑和

0M =∑，在切开的截面m-n 上必然存在两个内力分量：内力Q 和内力偶矩M 。

内力分量Q 位于横截面上，称为剪力．．

；内力偶矩M 位于纵向

Y

B

图4-5 用截面法求梁的内力

对称平面内，称为弯矩．．

。 对左脱离体列平衡方程：由0Y =∑,有Y A －Q ＝0 则得

由0c M =∑，有0A Y x M ⋅-=

则得 A M Y x =⋅

注意此处是对截面形心c 取矩，因剪力Q 通过截面形心c 点，故在力矩方程中为零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n 上的内力Q 和M ，其结果与左脱离体求得的Q 、M 大小相等，方向（或转向）相反，互为作用力与反作用力关系。

为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。若从梁

m-n 处取一微段梁dx ，由于剪力Q 作用会使微段发生下错动的剪切变形。我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q 为正（如图4－6（a ）），反之为负（如图4－6（b ））；使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M 为正，反之为负（如图4－6（c ）、(d )）。

根据如上符号规定，图4－5中m-n 截面内力符号均为正。 下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。

例4－1外伸梁如图4－7（a ），已知均布荷载q 和集中力偶2m qa =,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。