第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-2020秋人教版(广东)八年级数学上册课件
三角形常见辅助线的作法
三角形中作辅助线的常用方法举例常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1）在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2）在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC（法二：）如图1-2， 延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上） (2)DG ＋GE ＞DE （同上） (3)AB C D E N M 11-图A B C D EF G 21-图由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题培训讲学
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题数学专题——三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。
2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。
三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
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F
B
1 2 34
D
C
∴△BDE≌△NDE
∴BE = NE 同理可证：CF = NF
在△EFN 中，EN＋FN＞EF
∴BE＋CF＞EF
DN =
3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF
∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF 和△AEF 中 ∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF
A
D
E
12
34
F
B
C
7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 Rt△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所
在的三角形全等.
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.
例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF
证明：∵∠ADF =∠B＋∠3
∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4
CE，连结 DE 交 BC 于 F
求证：DF = EF
证明：（证法一）过 D 作 DN∥AE，交 BC 于 N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE =
∠E，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB
∴∠B =∠DNB
A
A
∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF 和△ECF 中
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
专题课等腰直角三角形常见的解题模型人教版广东八年级数学上册课件PPT
第13章专题课 等腰直角三角形常见的解题模型-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
第13章专题课 等腰直角三角形常见的解题模型-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE. ∴∠EAF＝∠DAF＋∠CAE＝∠DAF＋∠BAF＝∠BAC＝90°. ∴△AEF 为等腰直角三角形． ∴∠AEB＝45°.
数学
第十三章 轴对称 专题课 等腰直角三角形常见的解题模型
课堂精讲精练
模型 1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
如图，在等腰 Rt△ ABC 中，D 为斜边的中点，则连接 AD⇒AD＝BD ＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△ BDE≌△ADF 或 △ ADE≌△CDF 得出相关结论．
第13章专题课 等腰直角三角形常见的解题模型-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
第13章专题课 等腰直角三角形常见的解题模型-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
模型 2 等腰直角三角形＋8 字模型中有两直角，常用截长补短法构造 全等 如图，已知等腰 Rt△ ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若 BE⊥CE，则有 ∠1＝∠2.常通过在 BE 上取点 F，使得 BF＝CE⇒△ ABF≌△ACE.
∴∠DAB＋∠CAE＝90°. ∴∠BAC＝180°－(∠DAB＋∠CAE)＝90°. ∴AB⊥AC. (2)AB⊥AC.证明如下： 同(1)可证得 Rt△ ABD≌Rt△ CAE. ∴∠DAB＝∠ECA. ∵∠CAE＋∠ECA＝90°， ∴∠CAE＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°. ∴AB⊥AC.
第13章专题课 等腰直角三角形常见的解题模型-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
人教版八年级数学上册等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AB＝AC，O 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∠OAM＝12∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即 AM＝CN. 在△OAM 和△OCN 中， O∠AO＝AOMC＝，∠C＝45°， AM＝CN， ∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°， ∴∠AOM＋∠AON＝90°， 即∠MON＝90°. ∴△MON 是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 求证∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE. 又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠CAE＝∠DBC. ∴∠BAC＝2∠DBC.
∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D.求证 BF＝
2CD.
证明：如图，延长 BA，CD，交于点 E.
∵BF 平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE(ASA)． ∴CD＝ED，即 CE＝2CD.
CD＝DM＋MC＝DM＋BM. ∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM.
∴DM＝12AB.
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD＝60°.求证 BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长 BD 至 E，使 BE＝AB，连接 CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
专题课特殊三角形中常见辅助线的作法人教版广东八年级数学上册课件
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
02 分层检测
A组 1．(广安中考)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
【变式 1】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂 直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，DE＝2，则 BC 的长为 12 ．
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
证明：连接 AM，AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵EM 垂直平分 AB， ∴BM＝AM. ∴∠MAB＝∠B＝30°. ∴∠AMB＝120°.
证明：作 EF⊥AC 于点 F. ∵EA＝EC， ∴AF＝FC＝12AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE 和△AFE 中，
AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE， AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°.
∴EB⊥AB.
第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-20 20秋人 教版（ 广东） 八年级 数学上 册课件
小专题 特殊三角形中常见辅助线的作法-人教版八年级数学上册作业课件
∴AB＝2BC.
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法 小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法 小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
AE＝AE，
小专题(九) 小专题(九)
∴特特殊殊△三三角角A形形B中中常常E见见≌辅辅助助△线线A的的作作F法法E(SAS)．
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 小专题(九)
8特特．殊殊三三如角角形形图中中常常，见见在辅辅助助△线线的的A作作B法法C 中，BD 是 AC 边上的中线，BD⊥BC 于点 B，
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小小专专∠题 题((九九A)) B特特D殊殊＝三三角角3形形0中中°常常见见，辅辅助助求线线证的的作作：法法 AB＝2BC.
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
证明：作 EF⊥AC 于点 F. ∵EA＝EC， ∴AF＝FC＝12AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 又特殊∵三角∠形中E常O见F辅助＝线9的0作°法 ，∴∠EOC＝∠FOB.
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
∠EOC＝∠FOB， 在△EOC 和△FOB 中，OC＝OB，
∠OCE＝∠OBF，
∴△EOC≌△FOB(ASA)．∴OE＝OF.
小专题(九) 特殊三角形中常见辅助线的作法
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∠EOC＝∠FOB，
OC＝OB， ∠OCE＝∠OBF， ∴△EOC≌△FOB(ASA)．
∴OE＝OF.
类型 2 巧用特殊角构造含 30°角的直角三角形 【例 3】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F.求证：BM＝MN＝NC.
A组 1．(广安中考)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
2．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种 植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米售价为 80 元，求购买这种草 皮至少需多少元？
解：作 BA 边的高 CD，与 BA 的延长线交于点 D， ∵∠BAC＝150°， ∴∠DAC＝30°. ∵CD⊥BD，AC＝60 m， ∴CD＝12AC＝30 m. ∵AB＝40 m，
数学
第十三章 轴对称 专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法
01 课堂精讲精练
类型 1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 【例 1】 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
证明：过点 A 作 AP⊥BC 于点 P. ∵AB＝AC， ∴BP＝PC. ∵AD＝AE， ∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE，即 BD＝CE.
解：连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点， ∴∠DAC＝12∠BAC＝60°，∠ADC＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°. ∴AD＝2AE＝4. 又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°， ∴AC＝2AD＝8. ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
02 分层检测
AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE， AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°.
∴EB⊥AB.
C组 7．如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD⊥BC 于点 B，∠ABD ＝30°.求证：AB＝2BC.
证明：作 AM⊥BD，交 BD 延长线于点 M. ∵在 Rt△ABM 中， ∠ABD＝30°， ∴AB＝2AM. ∵BD 为 AC 边上的中线，∴AD＝CD. ∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.
证明：连接 AD. ∵在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC. ∵EF∥BC， ∴AD⊥EF. 又∵AE＝AF， ∴AD 垂直平分 EF. ∴DE＝DF.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，试探究∠BAC 与∠BCD 之间的关系．
解：作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC. 又∵∠B＋∠BAE＝90°， ∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BAE＝∠BCD. ∴∠BAC＝2∠BCD.
【变式 1】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂 直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，DE＝2，则 BC 的长为 12 ．
【变式 2】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝2，求 CE 的长．
∴S△ABC＝12AB·CD＝12×40×30＝600(m2)． ∵草皮每平方米售价为 80 元， ∴购买这种草皮至少需 600×80＝48 000(元)．
B组 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE⊥BE 于点 E，且 BE＝12BC.若 ∠EAB＝20°，则∠BAC＝ 40° ．
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，过 A 点的直线 EF∥BC，且 AE＝AF.求证：DE＝DF.
【例 2】 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 为 AB 的中点，OE⊥OF 交 AC，BC 于点 E，F.求证：OE＝OF.
证明：连接 OC. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 为 AB 的中点， ∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB. ∴OC＝OB，∠COB＝90°. 又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB. 在△EOC 和△FOB 中，
6．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：作 EF⊥AC 于点 F. ∵EA＝EC， ∴AF＝FC＝12AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE 和△AFE 中，
在△BCD 和△MAD 中，
∠DBC＝∠M，
∠BDC＝∠MDA， CD＝AD， ∴△BCD≌△MAD(AAS)．
∴BC＝AM.
∴AB＝2BC.
证明：连接 AM，AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵EM 垂直平分 AB， ∴BM＝AM. ∴∠MAB＝∠B＝30°. ∴∠AMB＝120°.
∴∠AMN＝60°. 同理：CN＝AN，∠ANM＝60°， ∴∠AMN＝∠MAN＝∠ANM＝60°. ∴△ANM 是等边三角形． ∴MN＝AM＝AN. ∴BM＝MN＝CN.