第13章专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法-2020秋人教版(广东)八年级数学上册课件

证明：连接 AD. ∵在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC. ∵EF∥BC， ∴AD⊥EF. 又∵AE＝AF， ∴AD 垂直平分 EF. ∴DE＝DF.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，试探究∠BAC 与∠BCD 之间的关系．
解：作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC. 又∵∠B＋∠BAE＝90°， ∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BAE＝∠BCD. ∴∠BAC＝2∠BCD.
解：连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点， ∴∠DAC＝12∠BAC＝60°，∠ADC＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°. ∴AD＝2AE＝4. 又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°， ∴AC＝2AD＝8. ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
02 分层检测
A组 1．(广安中考)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
2．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种 植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米售价为 80 元，求购买这种草 皮至少需多少元？
解：作 BA 边的高 CD，与 BA 的延长线交于点 D， ∵∠BAC＝150°， ∴∠DAC＝30°. ∵CD⊥BD，AC＝60 m， ∴CD＝12AC＝30 m. ∵AB＝40 m，
【例 2】 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 为 AB 的中点，OE⊥OF 交 AC，BC 于点 E，F.求证：OE＝OF.
证明：连接 OC. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 为 AB 的中点， ∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB. ∴OC＝OB，∠COB＝90°. 又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB. 在△EOC 和△FOB 中，
数学
第十三章 轴对称 专题课 特殊三角形中常见辅助线的作法
01 课堂精讲精练
类型 1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 【例 1】 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
证明：过点 A 作 AP⊥BC 于点 P. ∵AB＝AC， ∴BP＝PC. ∵AD＝AE， ∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE，即 BD＝CE.
∠EOC＝∠FOB，
OC＝OB， ∠OCE＝∠OBF， ∴△EOC≌△FOB(ASA)．
∴OE＝OF.
类型 2 巧用特殊角构造含 30°角的直角三角形 【例 3】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F.求证：BM＝MN＝NC.
【变式 1】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂 直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，DE＝2，则 BC 的长为 12 ．
【变式 2】 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝2，求 CE 的长．
∴S△ABC＝12AB·CD＝12×40×30＝600(m2)． ∵草皮每平方米售价为 80 元， ∴购买这种草皮至少需 600×80＝48 000(元)．
B组 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE⊥BE 于点 E，且 BE＝12BC.若 ∠EAB＝20°，则∠BAC＝ 40° ．
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，过 A 点的直线 EF∥BC，且 AE＝AF.求证：DE＝DF.
6．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：作 EF⊥AC 于点 F. ∵EA＝EC， ∴AF＝FC＝12AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE 和△AFE 中，
证明：连接 AM，AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵EM 垂直平分 AB， ∴BM＝AM. ∴∠MAB＝∠B＝30°. ∴∠AMB＝120°.
∴∠AMN＝60°. 同理：CN＝AN，∠ANM＝60°， ∴∠AMN＝∠MAN＝∠ANM＝60°. ∴△ANM 是等边三角形． ∴MN＝AM＝AN. ∴BM＝MN＝CN.
在△BCD 和△MAD 中，
∠DBC＝∠M，
∠BDC＝∠MDA， CD＝AD， ∴△BCD≌△MAD(AAS)．
∴BC＝AM.
∴AB＝2BC.
AB＝Байду номын сангаасF，
∠BAE＝∠FAE， AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°.
∴EB⊥AB.
C组 7．如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD⊥BC 于点 B，∠ABD ＝30°.求证：AB＝2BC.
证明：作 AM⊥BD，交 BD 延长线于点 M. ∵在 Rt△ABM 中， ∠ABD＝30°， ∴AB＝2AM. ∵BD 为 AC 边上的中线，∴AD＝CD. ∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.