贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)-第九章至第十一章【圣才出品】

第9章分类数据分析

9.1考点归纳

【知识框架】

【考点提示】

（1）χ2统计量的计算公式及应用（计算题考点）；

（2）拟合优度检验（一个分类变量）和独立性检验（两个分类变量）（简答题、计算题考点）；

（3）列联表中的相关测量：三个系数的计算公式、特点及应用（选择题、简答题、计算题考点）。

【核心考点】

考点一：χ2统计量

（1）χ2统计量计算公式

22()o e e

f f f χ-=∑f o 表示观察值频数，用f e 表示期望值频数。

（2）χ2统计量的特征

①χ2≥0；

②χ2统计量的分布与自由度有关；

③χ2统计量描述了观察值与期望值的接近程度。

（3）χ2分布与自由度的关系

χ2分布随着自由度的增加而向右倾斜，且逐渐趋近于对称的正态分布。

考点二：列联表中的相关测量

表9-1列联表的测量指标

【真题精选】

当列联表中的两个变量相互独立时，计算的相关系数c（）。[中国海洋大学2018研]

A．等于1

B．大于1

C．等于0

D．小于0

【答案】C

【解析】两个随机变量独立，则这两个随机变量不相关，反之不成立。

9.2课后习题详解

一、思考题

1．简述列联表的构造与列联表的分布。

答：（1）列联表的构造：列联表是将两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。

（2）列联表的分布：列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；一个是期望值的分布。

2．用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出进行检验的问题。

答：（1）构造列联表：对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的A、B、C三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机性能的质量差异是否有关系。抽查了450部学习机次品，整理成为如表9-2所示的3×3列联表。

表9-2

（2）提出检验问题

根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。

（3）进行检验

建立假设：H0：次品类型与厂家生产是独立的；H1：次品类型与厂家生产不是独立的。

可以计算各组的期望值，如表9-3所示（表中括号内的数值为期望值）。

表9-3各组的期望值计算表

所以χ2＝（20－17）2/17＋（40－33）2/33＋…＋（70－58）2/58＝9.821。

而自由度等于（R－1）（C－1）＝（3－1）×（3－1）＝4，若以0.01的显著性水平进行检验，查χ2分布表得χ0.012（4）＝13.277。由于χ2＝9.821＜χ20.01（4）＝13.277，故接受原假设H 0，即次品类型与厂家生产是独立的。

3．说明计算χ2统计量的步骤。

答：χ2检验是利用随机样本对总体分布与某种特定分布拟合程度的检验，即检验观察值与理论值之间的紧密程度。χ2统计量可以对分类数据做拟合优度检验和独立性检验，可以用于测定两个分类变量之间的相关程度。计算χ2统计量的步骤：

（1）用观察值f o 减去期望值f e ；

（2）将（f o －f e ）之差平方；

（3）将平方结果（f o －f e ）2除以f e ；

（4）将步骤（3）的结果加总，即得：

22()o e e

f f f χ-=∑4．简述φ系数、c 系数、V 系数的各自特点。

答：（1）φ系数的特点

φ相关系数是描述2×2列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。它的计算公式为：

2/n

ϕχ=式中，

22()o e e

f f f χ-=∑n 为列联表中的总频数，即样本量。φ系数适合2×2列联表，因为对于2×2列联表中的数据，计算出的φ系数可以控制在0～1这个范围。

当列联表R×C 中的行数R 或列数C 大于2时，φ系数将随着R 或C 的变大而增大，且φ值没有上限。这时用φ系数测定两个变量的相关程度就不够清晰，可以采用列联相关系数。

（2）c 系数的特点

列联相关系数又称列联系数，简称c 系数，主要用于大于2×2列联表的情况。c 系数的计算公式为：

22c n

χχ=+当列联表中的两个变量相互独立时，系数c＝0，但它不可能大于1。c 系数可能的最大值依赖于列联表的行数和列数，且随着R 和C 的增大而增大。

c 系数的局限性：两个列联表中行数和列数不一致时，根据不同的行和列计算的列联系数不便于比较。但c 系数计算简便，且对总体的分布没有要求，因此c 系数是一种适应性较广的测度值。

（3）V 系数的特点

V 系数的计算公式为：