初等模型(一)
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
第一节初等模型
第一节初等模型解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。
下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。
一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？模型假设：（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。
（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动。
建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。
假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示，将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。
引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。
图8.1.1人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。
设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角，如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。
则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。
因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。
不失一般性，设于是椅子问题抽象成如下数学问题：假设：，是的连续函数，且对任意，。
求证：存在，使得。
证明：令，则将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。
而在上连续，由介值定理，必存在使得。
即。
又因对任意，从而。
即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。
椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）；由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。
数学建模初等模型ppt课件
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
理学院 4
模型构成
xx
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院 7
xx
2.1.2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
11
理学院
xx
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
4 x 15 15 x
0.8
t 2.5
计算起来很简单。
理学院 12
xx
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
xx
第二章 初等模型
理学院 2
黑
第二章 初等模型
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
第一章 初等模型共159页文档
直观上,
该点应该在区间
0
，
π 2
中点的附近,
而
π 0.78375. 4
因而该结果和猜测相差不大.
模型评价
我们用近似求解的方法代替精确求解的方法, 从而在计算 过程中还会带来一定的误差. 因此, 最终的结果我们是保留 了两位有效数字, 当然从从实用的角度看, 这也足够了.
问题三 光的折射定律 设在x 轴的上下两侧有两种不同
f 0
的问题.
解模
求导后得
f'()5 s1 in 02 cos12c so in s25. ⑵
该函数的零点并不容易求得. 我们用二分法求出该函数的
零点.
怎么办？？？
因
f'( 0 .1 ) 5 0 0 ,f'( 1 .0 ) 1 6 .8 9 ,
所以存在*0.1,1.0, 使得 f '(*) 0.
A B 上选定一点 D , 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里
货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3 : 5 , 问D 点
应选在何处?
建模 设 ADxkm, 则
DB100x, A x D
B
20km
C
CD 400x2. 再设铁路上货运的运费为3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从B 到 C 的总运费为 y , 则
1 lx
,
v2 h22(lx)2
t(x)v11(h12h 12 x2)3 2v12[h22h (l2 2x)2]3 20,
x[0,l],
由此可知 t x 在区间 0 , l 有唯一的零点 x 0 , 且该点为函
数t x 的最小值点.
由t x 0, 得
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
一些经典初等数学模型
一些经典初等数学模型
1. 走迷宫：在一个有迷宫的场地内，从起点到终点，找到最短的路线。
2. 鸡兔同笼：已知笼子里面有若干只鸡和兔子，总共有头和只脚，求鸡和兔子的数量。
3. 填数字：在一个九宫格里填入数字1到9，每行、每列、每个宫内数字互不重复。
4. 数列求和：给定一个数列，求其中任意连续段的和，或者整个数列的和。
5. 球与盒子：有若干个不同颜色的球和盒子，球可以放入盒子中，求有多少种不同的放法。
6. 求根公式：已知二次方程的系数，求解出这个二次方程的根。
7. 绳子问题：两根不同长度的绳子分别燃烧完的时间不同，如何用这两根绳子在规定时间内测量出一个15分钟的时间。
8. 凸包问题：给定一些点的坐标，如何找到能够包住所有点的最小凸多边形。
9. 最小生成树：给定一个连通的无向图，找到一棵包含所有节点的生成树，使得边的权值之和最小。
10. 铺地砖：已知一个矩形地面，和两种不同形状的砖块，如何将这些砖块拼接在一起，使得地面完全被铺满。
2.1 初等数学方法建模实例(一)
模型构成：
CLV(恒定线速度)光盘
数据容量 C CLV LCLV ρ：线密度, LCLV ：信道总长度 R1：光盘环形区域内圆半径, R2 ：外圆半径, d ：信道 间距
LCLV
(xt, yt) Rt (xl, yl) Rl Rr (x , y ) r r
• 连接三根圆杆的中心获 得一个三角形，用a,b,c 表示对应的三条边 • a = Rl + Rt • b = Rr + Rt
xt = xl + acos(+) = xl + a(coscos - sinsin) yt = yl + asin(+) = yl + a(sincos + cossin) • cos = d/c • sin=e/c • c = (d 2 + e 2)1/2 • d = xr – xl
• 则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆 算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆 坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标
2.1.2. 光盘的数据容量
• 问题: CD的数据容量: 单层 650MB (兆字节)
DVD的数据容量: 单层 4.7GB (千兆字节) 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎样确 定的？在一定条件下怎样使其最大化？
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
若取最保守的估计,有
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
• Q/Q’ 是仅与h有关的函数. 可以从图形来考察它的取值情况！
初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析
第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。
需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5）下面是经典古文名句赏析！！不需要的朋友，可以下载后编辑删除！！谢谢经典古文名篇（一）；1.陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》；山不在高，有仙则名；2．马说韩愈（唐）字退之《昌黎先生集》；世有伯乐，然后有千里马；马之千里者，一食(shí)或尽粟一石（dàn）；策之不以其道，食(sì)之不能尽其材（才），鸣之；3．师说韩愈（唐）；古之学者必有师；嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣；圣人无常师；李氏子蟠，年十七经典古文名篇（一）1. 陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》山不在高，有仙则名。
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
《初等模型》课件
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
数学建模_初等模型
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA，rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A，否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲 初等模型
一、公平的席位问题 二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题，在企业、公 司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会 等的具体座位。假设说，有一个公司要召集所有的部门开 一个员工会议，在公司的会议厅里只能坐40个人，而公 司总共有10个部门，10个部门总共有498个人，而每个部 门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人，你要合理 的分配会议厅的40个座位，既要保证每个部门都有人参 加，最关键的就是要对10个部门都公平，保证10个部门 对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建 模的方法来解决。
初等模型-数学模型
几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基 础，通过点、线、面等基 本元素描述实际问题，如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型，如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型， 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ，可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用，可以解决实际问 题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时，加强国际交流与合作，推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程， 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势， 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输，降低成本并提高效率。
01
02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解，适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证，确保模型的准确性。
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即为两个线性函数l0 (x),l1(x)的线性组合.
称l0 (x),l1(x)为一次插值基函数.
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x最简单的一种: 给定y f (x)的插值条件,构造函数p1(x) 满足条件: 1.p1(x)是一个不超过一次的代数多项式 2.p1(x0 ) y0, p1(x1) y1
目的: 构造p1(x)来近似代替f (x).当求某一 点x的函数值f (x)时,可用p1(x)近似代替.
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
“公平”分配方 法 人数 席位
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
令人遗憾！
二、插值及其在数学建模中的应用 question : 什么是插值？ 给定一个函数的函数表,如何求出任意 点的函数值?
x x0 x1 … xn y = y0 y1 … yn f(x)
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y g(x), 通过全部节点,即
g ( x j ) y j ( j 0,1,L n) 再用 g(x) 计算插值，即 y* g(x*).
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但可举例说明不满足 1）。
由直线方程的两点式可得:
p1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
L L ()
p1 ( x)称为Lagrange型线性插值函数, ()称
为Lagrange型线性插值公式.
若令l0
(x)
@x x0
x1 x1
, l1 (
x)
@x x1
x0 x0
,则
p1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4 席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
第二章 初等模型 第一讲 Q值法、插值法、拟合
一、Q值法：公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配