第二章两自由度机构动力学分析
二自由度动力学方程推导
二自由度动力学方程推导一、引言在机械工程领域，动力学方程是研究机械系统的运动规律和相互作用力的重要工具。
本文将介绍如何推导二自由度机械系统的动力学方程，通过此方程可以描述系统的运动行为和相互作用力。
二、二自由度机械系统的建模二自由度机械系统由两个相互连接的质点或刚体组成，例如双杆摆、双摆锤等。
为了推导动力学方程，首先需要对系统进行建模。
2.1笛卡尔坐标系考虑一个二自由度机械系统，我们选择合适的笛卡尔坐标系来描述系统的运动。
假设系统的质点一的坐标为$(x_1,y_1)$，质点二的坐标为$(x_2,y_2)$，则可以用位移矢量$\ve c{r}_1$和$\v ec{r}_2$来表示质点一和质点二的位置。
2.2动力学变量为了研究系统的运动行为，我们引入广义坐标$q_1$和$q_2$来描述系统的状态。
广义坐标可以是位移、角度或者它们的组合。
在本文中，我们选择关节角度作为广义坐标，记为$\th et a_1$和$\th et a_2$。
定义广义坐标的变化率为广义速度$q_1'$和$q_2'$，广义速度的变化率为广义加速度$q_1''$和$q_2''$。
2.3势能和动能系统的能量可以通过势能和动能进行描述。
势能表示系统由于位置而具有的能量，动能表示系统由于运动而具有的能量。
势能$V$和动能$T$可以表示为：$V=V(q_1,q_2)$$T=T(q_1',q_2')$2.4广义力广义力用于描述系统中各个自由度受到的相互作用力。
对于二自由度机械系统，广义力可以表示为：$\ta u_1=Q_1(q_1,q_2,q_1',q_2')$$\ta u_2=Q_2(q_1,q_2,q_1',q_2')$其中，$\t au_1$和$\t au_2$分别表示广义坐标$q_1$和$q_2$的广义力，$Q_1$和$Q_2$为相应的广义力函数。
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
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130
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本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
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53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
《机械原理自由度》课件
机械故障诊断
通过运动分析诊断机械故障的原因 和位置。
控制系统设计
利用运动分析结果设计控制系统的 参数和策略。
机构运动分析的实例
平面四杆机构的运动分析
01
通过解析法计算平面四杆机构的自由度，并分析其运动特性。
凸轮机构的运动分析
02
利用实验法测量凸轮机构的位移、速度和加速度，分析其运动
规律。
机器人臂关节的运动分析
03
通过数值法模拟机器人臂关节的运动行为，优化关节的设计参
数。
04
机构动力学分析
机构动力学的基本概念
机构动力学是研究机 械系统中机构运动及 其与力的关系的学科 。
机构动力学的基本概 念包括力、力矩、加 速度、速度和位移等 。
它涉及到系统的平衡 、运动规律、动态响 应等方面的内容。
机构动力学分析的Байду номын сангаас法
空间机构自由度计算
总结词
空间机构自由度计算是机械原理中一个复杂的概念，它涉及到机构在空间中的 运动自由度数。
详细描述
空间机构的自由度计算公式为F=6n-(3PL + Ph)，其中n为活动构件数，PL为低 副数，Ph为高副数。与平面机构不同，空间机构需要考虑三个方向的自由度， 因此计算更为复杂。
特殊机构自由度计算
通过建立平面连杆机构的运动学和动力学模型，分析其运动规律 和动态响应。
凸轮机构的动力学分析
研究凸轮机构的动态行为，包括从动件的运动规律和受力情况等。
齿轮机构的动力学分析
分析齿轮机构的动态特性，如振动、冲击和噪声等，以提高齿轮传 动的平稳性和可靠性。
05
机构优化设计
机构优化设计的目标和方法
目标
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
二自由度机械臂动力学分析
平面二自由度机械臂动力学分析姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程相关介绍机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。
欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。
在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类：1)给出已知轨迹点上•••θθθ、及、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动•••θθθ、及、。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ⋅⋅⋅=θ。
2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。
系统动力学：两自由度刚性动力学
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，平衡的 充分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位 移中所作虚功的和等于零，又称虚功原理。即
δWF = Fi δ ri = 0
i 1 n
( F δx
ix
i
Fiyδyi Fiz δzi ) 0
i 1
由， FIi mi ai mi ri得
δW = ( Fi mi ri ) δri = 0
i 1 n
——动力学普遍方程
第五节 拉格朗日方程
动力学普遍方程的主动力虚功用广义坐标表示：
F δr = Q δq
i 1 i i j 1 j
n
k
j
惯性力虚功用广义坐标表示：
第五节 拉格朗日方程
当系统为非有势力作用时： 非有势力的虚功为：
δW Qj δq j
j 1 n
Qj 为对应于非有势力的广义力。
非保守系统的拉格朗日方程式为：
d L dt q j L Qj q j
第五节 拉格朗日方程
说明 1）L氏方程是解决具有理想约束的系统动力学的 普遍方程。 2） L氏方程是从能量观点出发研究机械系统的运动， 通过系统E、V、W间的标量关系表征运动规律。 3） L氏方程是广义坐标以时间为自变量的几个二阶 场微分方程组，其数目与系统自由度数目相等。
2） δ 是变分符号，表示在时间不变的情况下，线 位移或角位移的无穷小变化，其运算规则与微分算 子 d 相同。
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
理想约束：如果在质点系的任何虚位移上， 质点系的所有约束反力的虚功之和等于零， 则称这种约束为理想约束。
二自由动力学方程推导
二自由动力学方程推导二自由度动力学方程推导引言：动力学是研究物体运动的科学，而动力学方程则是描述物体运动的数学表达式。
在机械系统中，我们经常需要推导出物体的运动方程，从而使我们能够预测和控制物体的运动。
本文将围绕着“二自由度动力学方程推导”展开详细阐述，希望能够引起读者的兴趣和共鸣。
一、二自由度动力学方程的概念在机械系统中，如果一个物体在空间中的运动可以由两个独立的坐标来描述，那么我们称这个系统为二自由度系统。
对于一个二自由度系统，我们需要推导出它的动力学方程，以描述物体的运动规律。
二、拉格朗日方程的基本原理拉格朗日方程是描述二自由度系统运动的重要工具，它是通过对系统的动能和势能进行数学表达来推导出的。
拉格朗日方程的基本原理可以概括为：系统的运动是使作用在系统上的拉格朗日函数取极值的路径。
三、二自由度动力学方程的推导步骤1.确定广义坐标和坐标速度在推导二自由度动力学方程之前，首先需要确定系统的广义坐标和坐标速度。
广义坐标是描述系统状态的变量，坐标速度是广义坐标对时间的导数。
2.动能的计算根据系统的几何特征和物体的运动状态，我们可以计算出系统的动能。
对于一个二自由度系统，系统的动能可以表示为两个广义坐标和广义速度的函数。
3.势能的计算同样地，根据系统的几何特征和物体的位置，我们可以计算出系统的势能。
势能是描述系统中物体相互作用的能量。
4.拉格朗日函数的建立拉格朗日函数是系统动能与势能之差的函数，它可以表示为系统广义坐标、广义速度和时间的函数。
5.拉格朗日方程的求解通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到系统的拉格朗日方程。
对于一个二自由度系统，我们可以得到两个拉格朗日方程，分别对应两个广义坐标。
四、实例分析：双摆的动力学方程推导为了更好地理解二自由度动力学方程的推导过程，我们以双摆系统为例进行详细分析。
双摆系统由两个摆锤组成，摆锤可以绕两个固定点进行旋转。
我们可以选择两个摆锤的摆角作为广义坐标，然后根据摆锤的运动状态计算出动能和势能。
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
机械动力学2自由度机构动力学分析
关键问题
• 二自由度机械手我们这里分析的是平面 的动力学相关问题而还有较复杂空间动 力学问题 • 对于数值计算结果与仿真求解结果存在 些差异，还有待更严谨的计算。
解决方案
1.应用拉格朗日方程也能解决只是计算较复杂 2.需要重新查错验算。
小组成员分工
• • • • • • • PPT制作与课堂介绍：李孟禹、许云猛 三维及二维建模几何参数确定：庞乂铭、薛琨 MATLAB仿真：薛琨、李孟禹 ADAMS仿真：孙铭权、庞乂铭 动力学建模：许云猛、孙文浩 关键问题解决与资料查找：孙文浩、孙铭权 方案讨论与确定：全体成员
The end！
二自由度机械手 动力学分析
小组成员：孙文浩、许云猛、薛琨、孙 铭权、庞乂铭、李孟禹 日期：2018.10.13 指导教师：庞永刚
目录
• • • • • • 三维建模 机构简图 几何参数的确定 动力学建模及数值分析 ADMS仿真分析 关键问题
三 维 建 模
机 构 简 图
A点的位置及速度
B点的位置及速度
广义力：
2
J12 m2l1ls 2 cos 2 1
Q1 M1 m1 gl1 sin 1 Fl1 sin 1 m2 gl1 sin 1 Q2 M 2 Fl3 sin 2 m2 gls 2 sin 2
• MATLAB求解
• 给定条件 角位移运动规律:
l3 l2 l2 1.201 0.750 1.951 m l 1.044 l 1.201 ls1 1 0.522 m ls 2 2 0.6005 m 2 2 2 2
MATLAB求解程序：
• t=0:0.1:3; • D111=0; theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D222=0; a1=-0.6978*t+1.0467; D211=m2*l1*l2*sin(theta2); theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); a2=-0.6978*t+1.0467; D212=0; m1=72.259; D221=0; m2=79.555; D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l1=1.044; D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2); l2=1.201; M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; g=9.8; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); T1=polyfit(t,M1,3) D22=m2*l2.^2; T2=polyfit(t,M2,3) D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）'),title('motion1') D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N· m）') title('motion2')
第二章 机器人静力分析与动力学
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
Jli和J ai分别表示关节i的单位关节速度引起末端的线速度和角速度。
v J11 033 qu x w J 21 J 22 ql
v J11qu w J 21qu J 22 ql qu [q1 q2 q3 ] ql [q4 q5 q6 ]
定义如下变量： f i–1，I 及 ni–1，i ——i–1杆通过关节 i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1 及 ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1 及 –ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作 用力矩； fn，n+1及 nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1 及 –nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩； m g——连杆i的重量，作用在质心C 上。
Y 1 Y 2
dX dq J (q ) dt dt
第1列矢量和第2列矢量，则有 v J11 J 22 式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第 ， 二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两 个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节 ， 不动而某一关节运动产生的端点速度。 2 f 2 (t ) 则可 1 f1 (t ) ， 假如已知的某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为 q J 1 v 式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
机械设计 第02章 平面机构的运动学动力学分析
总结
机架 原动件 从动件
一、构件 + 运动副 运动链 机构
计算公式： F=3n － 2PL
－
PH
二、运动链成为机构的条件：F > 0, 原动件数 = 自由度 三、平面运动链自由度计算方法和注意事项 四、机构运动简图的定义及作用 1 2 3
S3
• 通过分析自由构件自由度、不同运动副引 入的约束，得出平面机构自由度计算公式 • 运动链成为机构的条件：原动件数＝F • 根据运动简图计算机构的自由度 • 计算机构自由度的注意事项： • （1）复合铰链 • （2）局部自由度 • （3）虚约束：连接点的轨迹重合、导路平 行、法线重合、同轴转动副、天平、对运 动不起作用的对称部分
ω3 3
P23
VP23
P13 n
∴ω 3＝ω 2·(P13P23/P12P23) ω 3方向与ω 2相反。
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
3.求传动比 定义：两构件角速度之比为传动比。 2 ω 3 /ω 2 ＝ P12P23 / P13P23 P12 ω 2
推广到一般： 1 ω i /ω j ＝P1jPij / P1iPij 结论:
方向 //
沿BA 沿CB
CB
vC、 aC大小 、 方向 、 大小 、 方向
2 2
影像法：由构件上两点求第三点
• 与机构上的三角 形相似，字母转 向相同。
vE vB vEB vE vC vEC
• 加速度影像法：
aE aB an a EB EB aE aC an a EC EC
2
3 P34
P14 4
举例：求图示六杆机构的速度瞬心。 解：瞬心数为：N＝n(n-1)/2＝15 n=6 1.作瞬心多边形圆
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型是一种广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域的数学模型，由于其简单清晰的结构和易于求解的特点，成为了研究系统动力学特性的重要工具。
本文将详细介绍二自由度动力学模型的相关知识和应用方法。
一、什么是二自由度动力学模型？
二自由度动力学模型是指一个由两个质点通过弹簧和阻尼器连接而成的物理系统，其中每个质点只能沿一个方向（通常是水平和垂直方向）运动。
该模型的动力学特性可以描述为一个二阶非齐次线性微分方程组，其中包含了质点的运动方程和能量守恒方程。
二、如何建立二自由度动力学模型？
建立二自由度动力学模型需要以下步骤：
1、绘制系统结构示意图，包括两个质点、弹簧和阻尼器的连接方式。
2、确定系统的自由度，即质点可以进行的运动方向。
3、根据受力分析和牛顿第二定律，建立质点的运动方程。
4、利用能量守恒原理，建立能量守恒方程。
5、将质点的运动方程和能量守恒方程组合起来，得到二阶非齐次线性微分方程组。
6、利用数值解或解析解的方法，求解微分方程组，得到系统的运动特性。
三、二自由度动力学模型的应用
二自由度动力学模型广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域，是许多控制系统的核心部分。
具体应用包括：
1、建立机械振动控制系统的模型，分析系统的稳定性和响应特性，优化控制策略。
2、研究结构物的振动特性，评估地震对建筑物的影响，提高建筑结构的抗震性能。
3、分析风力发电机、桥梁等大型结构的振动特性，提高其安全性和稳定性。
总之，二自由度动力学模型是一种非常重要和有用的工具，可以用于解决各种动力学问题，为实际应用提供了有效的支持。
机械原理(第二章自由度培训课件
机械系统中的自由度数等于系统 中独立构件的数目乘以每个构件 的自由度。
自由度在机械系统中的作用
确定机械系统的运动状态
自由度数决定了机械系统的运动状态，即系统能够完成的运动类型和数量。
判断机构的运动性质
通过计算自由度，可以判断机构是否具有确定的运动性质，即是否能够实现预 定的运动轨迹。
计算自由度的方法
详细描述
在机械设计阶段，通过绘制机构运动简图可以初步评估 机构的运动性能和自由度，为后续的设计优化提供依据 。在机构分析阶段，机构运动简图可用于研究机构的运 动规律、动态特性和稳定性等。在机械制造阶段，机构 运动简图可以用于指导生产装配和调试，确保机构的正 常运转。此外，机构运动简图还可以用于教学和培训， 帮助学生和工程师更好地理解机构的运动原理和工作方 式。
机械原理在工程实践中具有广泛 的应用价值，对于推动机械工程 领域的发展和技术进步具有重要
意义。
机械原理的发展历程
古代机械原理
古代人类在制造工具和机械时就开始积累机械知识，如轮子、杠杆、斜面等简单机械的发 明和应用。
工业革命时期的机械原理
随着工业革命的兴起，人们对机械系统的需求不断增加，促进了机械原理的发展。蒸汽机 、内燃机等复杂机械系统的出现和应用推动了机械工程领域的进步。
若要增加机构的自由度，可以通过增加活动构件数、减少低 副数或减少高副数来实现。
05 空间机构的自由度计算
空间机构自由度的计算公式
自由度的定义
自由度是指机构在空间中独立运动的 数量，用于描述机构在空间中的运动 状态。
计算公式的应用
通过将机构的构件数、运动副数和局 部自由度代入公式，即可求出机构的 自由度。
计算每个独立构件的自由度
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3Байду номын сангаас
则系统动能：
惯性系数
说明： 对于J11 ：件i 的运动必须与 q1 有关， 即与 q1 相关件的质量和转动惯量才能计入，
J11 为正； 对于 J12 ： 与 q1 和 q2 均相关件的质量和转动惯量才能计入， J12 可为正、为负、为零。
4
m1 , m2 , J s1 , J s 2 , l1 , l2 , ls1 , ls 2 例1：已知：
d T T ) Qj 拉格朗日方程：dt ( q j q j
一、惯性系数
求1个构件动能：
2 2 2 2 1 1 2 2 2 m i u is q u q 2 u u q q J is ii2 1 1 is 2 2 is 1 is 2 1 2 1 q1 ii 2 q 2 2 ii1ii 2 q1 q 2 2 2
上式也可以表示为：
1
ui1 , ui 2 的物理意义： 2 0, q 1 1 时， ui1 : 当 q
量纲由广义坐标决定
ui1的大小、方向即为 vi 的大小方向
i ) 2.构件角速度 i (
注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量
如研究杆2、杆3： i
则拉氏方程为：
两个自由度的 拉氏方程
10
例3：已知：
，F
求：建立运动方程
分析：选广义坐标:
q1 1 , q 2 2
则：
求类线速度:
11
ls1 1 m1 l1
M1
y
ls 2
2
m2
l2
F
M2
x
常数
12
求广义力：
ls1 1 m1 l1
M1
y
ls 2
2
m2
l2
F
M2
x
方程：
i ( q1 , q2 )
不是传动比
ii1 , ii 2 —第i个件对广义坐标1，2的类角速度（标量） ii1 , ii 2 的物理意义？
2
§2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学方程 1 2 vi ui1q 1 ui 2 q2
11 ii 2 q 2 q i ii1q
则：
r
17
F2 s2
M1
r
计算广义力：
动力学方程：
r 1 2m2 r Q1 J11q 2 J q m r Q2 2 22 2
18
例2：已知差动轮系
z1 z3 20, z2 z4 40, J1 J 3 0.1, J 2 J 4 0.25
轮2、3质量略，H转动惯量略。 求： J11 , J12 , J 22 分析：广义坐标可以设为： q1 1 , q2 H
则：
i11 1, i12 0
方法1：
1 2 1 3 i21 , i22 2 2
2 0, 即H不动，则： 方法2： 令q
同理
1 0, 令q
1 i 即1轮不动，则： 2 H i22
3 i22 2
求：i31 , i32
1 1 ( ) 8
15
2 J H iH 2
计算广义力：
此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。
13
例4：已知差动轮系中：
，各轮质量略。
1 , H 求：
分析：取广义坐标： q1 1 , q 2 H
1 q1 2, 2 ', 3 q1 , q2
H q2
则：
1 H
14
求：i21 , i22
7
8
二、计算动能
用惯性系数表示的动能：
T 1 J12 q 2 J11q 1 q
T 1 J11 2 1 J 22 2 J12 1 2 1 q 2 q q q q1 2 q1 2 q1 q1
9
T 1 J11 2 1 J 22 2 J12 1 2 1 q 2 q q q q1 2 q1 q1 2 q1
则：
5
ls21 ,
l12 ls22 2l1 ls 2 cos q2
J11 m1ls21 J s1 m2 (l12 ls21 2l1ls 2 cos q2 ) J s 2
2 2 m2u 2 J i s2 s 2 22
J12 m2u2 s1 u2 s 2 J s 2i21i22 m2 (ls22 l1ls 2 cos q2 ) J s6 2
求：J11 , J12 , J 22
分析：广义坐标可以设为： q1 1 , q2 2
1 1 q1 , 1 1 q 1 0 q 2 1
则：
2 1 2 q1 q2 , 1 2 q 1 q 2 , 2
1 J12 q 2 Q1 J11q 动力学方程： J q 2 Q2 21 1 J 22 q
差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。
16
例5：已知：J1 A , m2 , J s 2 , M 1 , F2
重力略，建立运动方程。
s2
M1
F2
分析：选广义坐标： q1 , q2 r
第二章 两自由度机构动力学分析
§2-1 两自由度机构的运动分析 例：五杆机构，取 q1 1 , q2 S 4
分析：构件1由 q1 (1 ) 控制，q2 0
构件4由 q2 ( s4 ) 控制，q1 0 件2、3由
ri
q1 , q2 共同控制。
称为类线速 度（矢量）
1.构件上某点速度：