一元三次方程的解法
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一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法
先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式： 令a
b
y x 3-
=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-
d a
b
y c a b y b a b y a 0)3()932()273(2
22
332223
=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a
b a y b a by y a 039322732
322
2322
3
=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay
0)3272()3(2
323
=-++-+a bc
a
b d y a b
c ay 0)3272()3(2
33223
=-++-+a bc
a b a d y a b a c y
如此一来二次项就不見了，化成03
=++q py y ，其中22
3a
b a
c p -=，2333272a bc a b a
d q -+=。
---------------------------
对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：
3323321)3()2(2)3()2(2p
q q p q q y +--+++-
= 33223322)3()2(2)3()2(2p
q q p q q y +--⋅+++-
⋅=ωω 33233223)3
()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-
⋅=ωω 其中i 31+-=ω。
32)3
()2(p
q +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且
其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。
附：方程0
3=
+
+q
py
y（2）求根公式的推导过程：
不妨设p、q均不为零，令v
u
y+
=（3）
代入（2）得，0
)
3
)(
(
3
3=
+
+
+
+
+q
p
uv
v
u
v
u（4）
选择u、v，使得0
p
3uv=
+，即
3
p
uv-
=（5）
代入（4）得，q
v
u-
=
+3
3（6）
将（5）式两边立方得，
27
3
3
3
p
v
u-
=（7）
联立（6）、（7）两式，得关于3u、3v的方程组：
3
27
3
3
3
3
3
p
uv
p
v
u
q
v
u
-
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
+
，且
于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程0
27
3
2=
-
+
p
qt
t的两根3u、3v。
设
27
43
2
p
q+
=
∆，
3
2
3
2
4
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
p
q
D
∆
，
2
q
T-
=，
又记3u的一个立方根为
1
u，则另两个立方根为
1
1
2
u
uω
=，
1
2
3
u
uω
=，其中
1
ω、
2
ω为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若0
>
∆，即0
>
D，则3u、3v均为实数，可求得D
T
u+
=
3，D
T
u-
=
3。
取3
1
D
T
u+
=，3
1
D
T
v-
=，
在
j
i
v
u
y+
=，()3,2,1
,=
j
i组成的九个数中，有且只有下面三组满足
3
p
uv-
=，
即
1
u、
1
v；
2
u、
3
v；
3
u、
2
v，也就是满足
3
32
2
3
3
2
1
1
p
D
T
v
u
v
u
v
u-
=
-
=
=
=，于是方程（2）的根为，，，
这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”
的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即D＝0时，可求得。取，
同理，可求得
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
•3）若0
<
∆，即D＜0时，因为0
2
3
2
3
<
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛q
p
，∴p＜0，0
3
3
>
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛p
，则3u、3v均为虚数，求出3u、3v，并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，