现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

1 2

x1 x2


x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) 2a(1 x22 )x22 0 系统在平衡状态稳定，因为对于 x 0,V (x) 不恒为零， 并且 x ,V (x) , 是大范围渐近稳定。
现代控制理论习题课四
第四章 稳定性理论及Lyapunov方法
§4-1 引言 主要知识点: 1、本章讲授内容，系统稳定的重要性，经典控制理 论中判断稳定性的方法及局限性。
2、现代控制理论中关于稳定性的概念，包括内部稳定（状
态稳定性）和外部稳定（输出稳定性或BIBO稳定性）。
§4-2 BIBO (有界输入有界输出)稳定
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22
V (x) (2x12 2x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
【习题4-6】设非线性系统方程为
x1 x2 x2 a(1 x2 )2 x2 x1, a 0
是大范围渐进稳定。
【习题4-10】已知非线性系统的状态方程为
x1 x2 x2 (a1x1 a2 x12 x2 )
试证明在 a1 0, a2 0 时系统是大范围渐近稳定的。 【解】 系统的平衡状态在坐标原点，由于 a1 0,
可用如下李雅普诺夫函数：
V (x) a1x12 x22 0 V (x) 2a1x1 x1 2x2 x2 2a1x1 x2 2x2 (a1x1 a2 x12 x2 ) 2a2 x12 x22 0
【习题4-1】判断下列二次函数的符号性质
(1) Q(x) x12 3x22 11x32 2x1x2 x2 x3 2x1x3 (2) Q(x) x12 4x22 x32 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
【解】（1）
1
Q(x)

xT

1
1
【习题4-7】设线性系统的状态方程为
x1(k 1) x1(k) 3x2 (k) x2 (k 1) 3x1(k) 2x2 (k) 3x3 (k) x3 (k 1) x1(k)
试确定其平衡状态的稳ຫໍສະໝຸດ Baidu性。
【解】 1 3 0
G 3 2 3 系统平衡状态为： xe 0 0 0T
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13

1/ 2 19/13 121/ 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
【习题4-9】设非线性系统的状态方程为
x1 x2 x2 x13 x2
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
【解】 对于此问题，由于 f1 中不包含 x1 ，不能用克拉索夫
斯基法确定在坐标原点的稳定性！
对于坐标原点的稳定性，可用如下李雅普诺夫函数：
V (x) x14 [x1
1 x2 ]1
【习题4-2】已知二阶系统的状态方程： u(t)
x


a11 a21
a12 a22

x
试确定系统在平衡状态出大范围渐近稳定的条件：
【解】： 系统的特征多项式为：
f (s) (s a11)(s a22 ) a12 * a21 s2 (a11 a22 )s (a11 * a22 a12 * a21)
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
1 3 0.5
1 0.5 x xT Px, 11
由于P的2阶主子行列式都大于零，而1，3阶主子行 列式小于零，故为负定函数。
（2）
1 1 1 Q(x) xT 1 4 3 x xT Px,
1 3 1
由于P的1，2阶主子行列式都大于零，而3阶主子行 列式小于零，故为非定号函数。
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
§4-5 李雅普诺夫直接法
主要知识点: 1、预备知识，包括标量函数的符号性质、二次型标量函数和 西尔维兹判据 2、李雅普诺夫直接法的几个稳定性判据
§4-6 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
主要知识点: 1、线性定常连续系统的渐近稳定判据 2、线性定常离散系统的渐近稳定判据 §4-7 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 主要知识点: 1、雅可比矩阵法稳定判据 2、变量梯度法稳定判据
系统在平衡状态大范围渐近稳定的充要条件是 系统矩阵的特征值都有负实部，即
a11 0, a22 0, a11 * a22 a12 * a21
【习题4-3】以李雅普诺夫第二方法确定下u列(t系) 统原点的稳定性
(1)
x


1 2
13x
(2)
x


1 1
11x