人教版初中数学第十七章勾股定理知识点(最新整理)

a 2 +

b 2 42 + 32 b 2 - a 2 42 - 32 2

c 2 - a 2 (2 2)2 - ( 2)2

H

E

G F

b a c

c

17.1 勾股定理

第十七章 勾股定理

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，那么a 2 + b 2＝c 2

勾股定理的证明： 方法一： 4S ∆ 方法二：

+ S 正方形EFGH

= S 正方形A B C D

， 4 ⨯ 1 ab + (b - a )2 = c 2 ，化简可证． b a

2

a b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． b

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ⨯ 1

ab + c 2 = 2ab + c 2

2

D

C

大正方形面积为 S = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

∴ a 2 + b 2 = c 2

1 1 1 2

方法三： S 梯形 = 2 (a + b ) ⋅ (a + b ) ， S 梯形 = 2S ∆ADE + S ∆ABE = 2 ⋅ 2 ab + 2

c 17.2 勾股定理的逆定理

，化简得证

A

c

B

A a D

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足a 直角三角形.

3、互逆命题的概念

2 + b 2＝c 2 ，那么这个三

b

E a

B C

角形是

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫 做互逆

命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 + b 2 = c 2 中， a ， b ， c 为正整数时， 称 a ， b ， c 为一组勾股数。常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；

5、12、13；7、24、25 等

例 1、在 Rt △ABC 中，a=3，b=4，求 c ．

错解：由勾股定理，得 c= = =5

诊断：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当 b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．

当∠B 为直角时，c= = =

例 2、已知 Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，a= ，c= 2 ，求 b.

错解：由勾股定理，得= = =

诊断：这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2 才能成立，而当∠

B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为 a 2＋c 2=b 2． 正确解答：∵∠B=Rt ∠，

由勾股定理知 a 2＋c 2=b 2．

7

2 6

c

c

c

c

a

a

c 2 + a 2 (2 2)2 + ( 2)2

62 + 82 36 + 64 62 + 82 36 + 64 82 - 62 28 2 3 3 2 3 ( 2 3 3AD )2 - AD 2 3 3 3 ∴b= = =

例 3、若直角三角形的两条边长为 6cm 、8cm ，则第三边长为

．

错解：设第三边长为 xcm ．由勾股定理，得 x 2=62＋82．

x= = =10

即第三边长为 10cm ．

诊断：这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边． 正确解法：设第三边长为 xcm ．

若第三边长为斜边，由勾股定理，得

x= = =10(cm)

若第三边长为直角边，则 8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得

x= = = 2 (cm)

因此，第三边的长度是 10cm 或者2 cm.

1

例 4、如图，已知 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且 AM= BC= AD.又 RT △ABC 的

2

3

周长是(6+2 )cm.求 AD ．

正确解法∵AM=

AD 3

∴MD=

= 3 AD 3

又∵MC=MA ，∴CD=MD ．

∵点 C 与点 M 关于 AD 成轴对称．

∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．

1

∴∠B=30°，AC= BC ，AB= BC

2

2

1

∴AC+AB+BC= BC+ BC+BC=6+ 2 .

2

2

10

7 7

3 ∴BC=4．

1

BC

∵ 1 BC=

2 3

AD ， ∴AD= 2

= (cm)

2

3

2 3 3

例 5、在△ABC 中，a ∶b ∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．

正确解法 由题意知 b 是最长边．设 a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)．

∵a 2＋c 2=(9k)2＋(12k)2=81k 2＋144k 2=225k 2．

b2=(15k)2=225k 2，∴a 2＋c 2=b 2．

∴△ABC 是直角三角形．

例 6、已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC ·DE

n 2 n 2 4 例 7、已知在△ABC 中，三条边长分别为 a ，b ，c ，a=n ，b=

-1，c=

(n

4

4

是大于 2 的偶数).求证:△ABC 是直角三角形.