3.2哈密顿力学
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=0
( 3−5)
= − mω 2 q
算子形式解
p ˆ Hq = [ q, H ] = m 1 ˆ H 2 q = [ p, H ] = −ω 2 q m p ˆ H 3q = −ω 2 [ q, H ] = −ω 2 m ˆ H q=−
4
M ˆ 2 m −1q = ( −ω 2 )m −1 p H m m ˆ H 2 m q = ( −ω 2 ) q M
n
f (t ) = ∑
n=0
∞
f(
n)
n!
( 0) t n =
ˆ tnH n ˆ f ( 0 ) = etH f ( 0 ) ∑ n! n =0
∞
运动的算子形式解
例9 一维谐振子
p 2 mω 2 q 2 H= + 2m 2
[ q , q ] = 0 [ p , p ] = 0 [ q, p ] = 1
df ∂f = +[ f ,H] dt dt ∂t
f = qα f = pα ∂H & qα = [ qα , H ] = ∂pα ∂H & pα = [ pα , H ] = − ∂qα
∂f df =0 =[ f ,H] ∂t dt
正则方程Poisson括号形式 括号形式 正则方程
f =H
& ∂H H= ∂t
df ∂f = +[ f ,H] = 0 dt ∂t
Poisson定理 两个运动积分的 定理 两个运动积分的Poisson括号亦为运动积分。 括号亦为运动积分。 括号亦为运动积分
df dg d = 0, = 0 ⇒ [ f , g] = 0 dt dt dt
( 6 ) ∂f d ∂ ∂g [ f , g ] = [ f , g ] + [ f , g ] , H = , g + f , + [ f , g ] , H dt ∂t ∂t ∂t
∂ ∂f ∂g [ f , g] = , g + f , ∂x ∂x ∂x x ∈ {q, p, t} f , [ g , h ] + g , [ h, f ] + h, [ f , g ] = 0
Jacobi恒等式 恒等式
(1) ( 2) ( 3) ( 4) (5) (6) (7)
[f, f ]=0 [ f , g ] = − [ g , f ] 反对称性 [ f , C ] = 0 C ( const.) [ f , C1 g + C2 h] [ f , g + h] = [ f , g ] + [ f , h] 分配律 = C1 [ f , g ] + C2 [ f , h ] [ f , gh] = [ f , g ] h + g [ f , h]
ω2
[ p, H ] = ( −ω ) m
2 2
q
∞ ∞ t 2m t 2 m −1 ˆ 2 m−1 2m ˆ q (t ) = ∑ H +∑ H q ( 0) m =1 ( 2m − 1)! m = 0 ( 2 m )!
( −1) (ωt ) =∑ ( 2m )! m =0
∞ m
ห้องสมุดไป่ตู้
3．力学的Poisson括号形式 ．力学的 括号形式
f = f ( p, q , t )
s s ∂f ∂f ∂f ∂H ∂f ∂H df ∂f ∂f & & = + ∑ qα + pα = + ∑ − dt ∂t α =1 ∂qα ∂pα ∂t α =1 ∂qα ∂pα ∂pα ∂qα
1 lim [ f , g ]− = [ f , g ] h → 0 ih
宏观极限，过渡到经典力学。 宏观极限，过渡到经典力学。
§3.6 正则变换
对称性愈高，方程求解愈简便。对称性通过变换发现。 对称性愈高，方程求解愈简便。对称性通过变换发现。 1．点变换 ．
& L = Lq ( q, q, t )
qα → Qα = Qα ( q, t )
∂L ∂L pα ≡ →P ≡ α & & ∂qα ∂Qα & L = LQ Q, Q, t
d ∂L ∂L − = 0 α = 1, 2,L , s & dt ∂qα ∂qα s ∂qα & ∂qα qα = qα ( Q, t ) qα = ∑ & Qβ + ∂t β =1 ∂Qβ
2m
( −1) (ωt ) q ( 0) + ∑ ( 2m − 1)! m =1
∞ m −1
2 m −1
p (0) mω
= q ( 0 ) cos ωt +
p (0) mω
sin ωt
思考题：用算子法求解重力场中质点的自由落体运动。 思考题：用算子法求解重力场中质点的自由落体运动。
4．运动积分与Poisson定理 ．运动积分与 定理 运动积分 体系力学状态随时间演变时不变的力学量
α = 1, 2,L , s
保证Hamilton正则方程不变的正则变量变换 正则变换 保证 正则方程不变的正则变量变换
3．正则变换条件 ．
( p, q ) → ( P , Q )
δp ( t1 ) = δp ( t2 ) = 0 δP ( t1 ) = δP ( t2 ) = 0 → δq ( t1 ) = δq ( t2 ) = 0 δQ ( t1 ) = δQ ( t2 ) = 0
1
s s & & & λ ∑ pα qα − H = ∑ Pα Qα − K + F1 α =1 α =1
F1 ( q, Q, t ) 任意
λ 标度因子 不同单位度量引起的数值放大，不影响物理实质 不同单位度量引起的数值放大， λ =1
dF1 = ∑ pα dqα − ∑ P dQα + ( K − H ) dt α
∂f =0 ∂t
∂H =0 ∂t
df ˆ = [ f , H ] ≡ Hf dt
Ĥ 称为算子，代表一种操作，其作用于任意函数， 称为算子 代表一种操作，其作用于任意函数， 算子， 表示求该函数与Hamilton函数的 函数的Poisson括号。 括号。 表示求该函数与 函数的 括号
d2 f d ˆˆ ˆ = [ f , H ] = [ f , H ] , H = HHf = H 2 f 2 dt dt M dn f ˆ = [ f , H ] ,L , H = H n f n dt 1442443
= − [ f , H ] , g + f , − [ g , H ] + [ f , g ] , H
( 2 −5 )
= − f , [ g , H ] − g , [ H , f ] − H , [ f , g ] = 0
(7)
ex
ey
ez
L= r× p = x y z px p y pz Lx , Ly = ypz − zp y , zpx − xpz Lx , Ly = Lz = [ ypz , zpx ] + zp y , xpz Ly , Lz = Lx = y [ pz , z ] px + x [ z , pz ] p y [ Lz , Lx ] = Ly = xp y − ypx 674 4=0 8 Lz , L2 = Lz , L2 + Lz , L2y + Lz , L2 Lx , L2 x z
t2
t2
s s & − K dt = 0 & α λ ∑ pα qα − H − ∑ P Qα α =1 α =1
s t2
∂F1 t2 ∂F1 ⌠ dF1 ( q, Q, t ) δ dt = δF1 ( q, Q , t ) t = ∑ δqα + δQα = 0 1 dt ∂Qα ⌡t1 α =1 ∂qα t
α =1 α =1
s s
满足上述条件的变换为正则变换。 满足上述条件的变换为正则变换。 正则变换
λ ≠1
4．母函数 ．
扩展正则变换
第一类母函数 F1 = F1 ( q, Q, t )
s ∂F1 ∂F1 ∂F1 dF1 = ∑ dqα + ∑ dQα + dt ∂t α =1 ∂qα α =1 ∂Qα s
(
)
d ∂L ∂L − = 0 α = 1, 2,L, s & dt ∂Qα ∂Qα
广义坐标变换， 点变换 广义坐标变换，Lagrange方程不变 方程不变
2．正则变换 ． Hamilton力学中，正则变量处于平等地位，变换自由度更大。 力学中，正则变量处于平等地位，变换自由度更大。 力学中
H = H ( q , p, t )
⌠ s & δ ∑ pα qα − H ( p, q, t ) dt = 0 ⌡t1 α =1
相空间Hamilton原理 原理 相空间
t2
⌠ s & − K ( P , Q, t ) dt = 0 δ ∑ P Qα α ⌡t1 α =1
t2
⌠ δ ⌡t1
若角动量任意两分量守恒，则第三分量亦守恒。 若角动量任意两分量守恒，则第三分量亦守恒。
角动量三分量变化不独立， 角动量三分量变化不独立，这与两次异轴转动可合成绕第 三轴转动的事实相照应。 三轴转动的事实相照应。 5．量子Poisson括号 ．量子 括号
[ f , g ]− ≡
fg − gf
1 [ f , g ] → [ f , g ]− ih
∂H & qα = ∂p α p = − ∂H &α ∂qα
α = 1, 2,L, s
qα Qα = Qα ( q, p, t ) → pα P = P ( q, p, t ) α α
H → K = K ( Q, P , t )
∂K & Qα = ∂P α & P = − ∂K α ∂Qα
正则量子化
力学量乘积一般非对易，用算符或矩阵表示。 力学量乘积一般非对易，用算符或矩阵表示。
qi , p j = ihδ ij −
qi , q j = 0 pi , p j = 0 i, j = 1, 2, 3 − −
Heisenberg方程 方程
df ∂f 1 = + [ f , H ]− dt ∂t ih
s
=∑
α =1
∂ ( qα , pα )
∂( f , g)
qα , qβ = 0 pα , pβ = 0 qα , pβ = δ αβ
∂f [ qα , f ] = ∂pα ∂f [ pα , f ] = − ∂qα
基本Poisson括号 括号 基本
2．性质 ． 利用Poisson括号定义与行列式性质可证： 括号定义与行列式性质可证： 利用 括号定义与行列式性质可证
§3.5 泊松括号
1．定义 ． 一切力学量为状态函数
f = f ( p, q, t ) g = g ( p, q, t )
∂f ∂qα ∂f ∂pα ∂g ∂pα
s
∂f ∂g ∂g ∂f s − [ f , g] ≡ ∑ =∑ ∂qα ∂pα α =1 ∂g α =1 ∂qα ∂pα ∂qα
角动量的Poisson括号 例10 角动量的 括号
= [ Lz , Lx ] Lx + Lx [ Lz , Lx ]
+ Lz , Ly Ly + Ly Lz , Ly = Ly Lx + Lx Ly − Lx Ly − Ly Lx = 0
= Ly , L2 = Lz , L2 = 0
( 5) 1 mω 2 1 2 2 & q, p + q, q = q = [ q, H ] = 2m {[ q, p ] p + p [ q, p ]} 2m 2 123
=0
( 3−5)
p = m
( 5) mω 2 1 mω 2 & p, p 2 + p, q 2 = p = [ p, H ] = {[ p, q ] q + q [ p, q ]} 2m 123 2 2
( 3−5)
= − mω 2 q
算子形式解
p ˆ Hq = [ q, H ] = m 1 ˆ H 2 q = [ p, H ] = −ω 2 q m p ˆ H 3q = −ω 2 [ q, H ] = −ω 2 m ˆ H q=−
4
M ˆ 2 m −1q = ( −ω 2 )m −1 p H m m ˆ H 2 m q = ( −ω 2 ) q M
n
f (t ) = ∑
n=0
∞
f(
n)
n!
( 0) t n =
ˆ tnH n ˆ f ( 0 ) = etH f ( 0 ) ∑ n! n =0
∞
运动的算子形式解
例9 一维谐振子
p 2 mω 2 q 2 H= + 2m 2
[ q , q ] = 0 [ p , p ] = 0 [ q, p ] = 1
df ∂f = +[ f ,H] dt dt ∂t
f = qα f = pα ∂H & qα = [ qα , H ] = ∂pα ∂H & pα = [ pα , H ] = − ∂qα
∂f df =0 =[ f ,H] ∂t dt
正则方程Poisson括号形式 括号形式 正则方程
f =H
& ∂H H= ∂t
df ∂f = +[ f ,H] = 0 dt ∂t
Poisson定理 两个运动积分的 定理 两个运动积分的Poisson括号亦为运动积分。 括号亦为运动积分。 括号亦为运动积分
df dg d = 0, = 0 ⇒ [ f , g] = 0 dt dt dt
( 6 ) ∂f d ∂ ∂g [ f , g ] = [ f , g ] + [ f , g ] , H = , g + f , + [ f , g ] , H dt ∂t ∂t ∂t
∂ ∂f ∂g [ f , g] = , g + f , ∂x ∂x ∂x x ∈ {q, p, t} f , [ g , h ] + g , [ h, f ] + h, [ f , g ] = 0
Jacobi恒等式 恒等式
(1) ( 2) ( 3) ( 4) (5) (6) (7)
[f, f ]=0 [ f , g ] = − [ g , f ] 反对称性 [ f , C ] = 0 C ( const.) [ f , C1 g + C2 h] [ f , g + h] = [ f , g ] + [ f , h] 分配律 = C1 [ f , g ] + C2 [ f , h ] [ f , gh] = [ f , g ] h + g [ f , h]
ω2
[ p, H ] = ( −ω ) m
2 2
q
∞ ∞ t 2m t 2 m −1 ˆ 2 m−1 2m ˆ q (t ) = ∑ H +∑ H q ( 0) m =1 ( 2m − 1)! m = 0 ( 2 m )!
( −1) (ωt ) =∑ ( 2m )! m =0
∞ m
ห้องสมุดไป่ตู้
3．力学的Poisson括号形式 ．力学的 括号形式
f = f ( p, q , t )
s s ∂f ∂f ∂f ∂H ∂f ∂H df ∂f ∂f & & = + ∑ qα + pα = + ∑ − dt ∂t α =1 ∂qα ∂pα ∂t α =1 ∂qα ∂pα ∂pα ∂qα
1 lim [ f , g ]− = [ f , g ] h → 0 ih
宏观极限，过渡到经典力学。 宏观极限，过渡到经典力学。
§3.6 正则变换
对称性愈高，方程求解愈简便。对称性通过变换发现。 对称性愈高，方程求解愈简便。对称性通过变换发现。 1．点变换 ．
& L = Lq ( q, q, t )
qα → Qα = Qα ( q, t )
∂L ∂L pα ≡ →P ≡ α & & ∂qα ∂Qα & L = LQ Q, Q, t
d ∂L ∂L − = 0 α = 1, 2,L , s & dt ∂qα ∂qα s ∂qα & ∂qα qα = qα ( Q, t ) qα = ∑ & Qβ + ∂t β =1 ∂Qβ
2m
( −1) (ωt ) q ( 0) + ∑ ( 2m − 1)! m =1
∞ m −1
2 m −1
p (0) mω
= q ( 0 ) cos ωt +
p (0) mω
sin ωt
思考题：用算子法求解重力场中质点的自由落体运动。 思考题：用算子法求解重力场中质点的自由落体运动。
4．运动积分与Poisson定理 ．运动积分与 定理 运动积分 体系力学状态随时间演变时不变的力学量
α = 1, 2,L , s
保证Hamilton正则方程不变的正则变量变换 正则变换 保证 正则方程不变的正则变量变换
3．正则变换条件 ．
( p, q ) → ( P , Q )
δp ( t1 ) = δp ( t2 ) = 0 δP ( t1 ) = δP ( t2 ) = 0 → δq ( t1 ) = δq ( t2 ) = 0 δQ ( t1 ) = δQ ( t2 ) = 0
1
s s & & & λ ∑ pα qα − H = ∑ Pα Qα − K + F1 α =1 α =1
F1 ( q, Q, t ) 任意
λ 标度因子 不同单位度量引起的数值放大，不影响物理实质 不同单位度量引起的数值放大， λ =1
dF1 = ∑ pα dqα − ∑ P dQα + ( K − H ) dt α
∂f =0 ∂t
∂H =0 ∂t
df ˆ = [ f , H ] ≡ Hf dt
Ĥ 称为算子，代表一种操作，其作用于任意函数， 称为算子 代表一种操作，其作用于任意函数， 算子， 表示求该函数与Hamilton函数的 函数的Poisson括号。 括号。 表示求该函数与 函数的 括号
d2 f d ˆˆ ˆ = [ f , H ] = [ f , H ] , H = HHf = H 2 f 2 dt dt M dn f ˆ = [ f , H ] ,L , H = H n f n dt 1442443
= − [ f , H ] , g + f , − [ g , H ] + [ f , g ] , H
( 2 −5 )
= − f , [ g , H ] − g , [ H , f ] − H , [ f , g ] = 0
(7)
ex
ey
ez
L= r× p = x y z px p y pz Lx , Ly = ypz − zp y , zpx − xpz Lx , Ly = Lz = [ ypz , zpx ] + zp y , xpz Ly , Lz = Lx = y [ pz , z ] px + x [ z , pz ] p y [ Lz , Lx ] = Ly = xp y − ypx 674 4=0 8 Lz , L2 = Lz , L2 + Lz , L2y + Lz , L2 Lx , L2 x z
t2
t2
s s & − K dt = 0 & α λ ∑ pα qα − H − ∑ P Qα α =1 α =1
s t2
∂F1 t2 ∂F1 ⌠ dF1 ( q, Q, t ) δ dt = δF1 ( q, Q , t ) t = ∑ δqα + δQα = 0 1 dt ∂Qα ⌡t1 α =1 ∂qα t
α =1 α =1
s s
满足上述条件的变换为正则变换。 满足上述条件的变换为正则变换。 正则变换
λ ≠1
4．母函数 ．
扩展正则变换
第一类母函数 F1 = F1 ( q, Q, t )
s ∂F1 ∂F1 ∂F1 dF1 = ∑ dqα + ∑ dQα + dt ∂t α =1 ∂qα α =1 ∂Qα s
(
)
d ∂L ∂L − = 0 α = 1, 2,L, s & dt ∂Qα ∂Qα
广义坐标变换， 点变换 广义坐标变换，Lagrange方程不变 方程不变
2．正则变换 ． Hamilton力学中，正则变量处于平等地位，变换自由度更大。 力学中，正则变量处于平等地位，变换自由度更大。 力学中
H = H ( q , p, t )
⌠ s & δ ∑ pα qα − H ( p, q, t ) dt = 0 ⌡t1 α =1
相空间Hamilton原理 原理 相空间
t2
⌠ s & − K ( P , Q, t ) dt = 0 δ ∑ P Qα α ⌡t1 α =1
t2
⌠ δ ⌡t1
若角动量任意两分量守恒，则第三分量亦守恒。 若角动量任意两分量守恒，则第三分量亦守恒。
角动量三分量变化不独立， 角动量三分量变化不独立，这与两次异轴转动可合成绕第 三轴转动的事实相照应。 三轴转动的事实相照应。 5．量子Poisson括号 ．量子 括号
[ f , g ]− ≡
fg − gf
1 [ f , g ] → [ f , g ]− ih
∂H & qα = ∂p α p = − ∂H &α ∂qα
α = 1, 2,L, s
qα Qα = Qα ( q, p, t ) → pα P = P ( q, p, t ) α α
H → K = K ( Q, P , t )
∂K & Qα = ∂P α & P = − ∂K α ∂Qα
正则量子化
力学量乘积一般非对易，用算符或矩阵表示。 力学量乘积一般非对易，用算符或矩阵表示。
qi , p j = ihδ ij −
qi , q j = 0 pi , p j = 0 i, j = 1, 2, 3 − −
Heisenberg方程 方程
df ∂f 1 = + [ f , H ]− dt ∂t ih
s
=∑
α =1
∂ ( qα , pα )
∂( f , g)
qα , qβ = 0 pα , pβ = 0 qα , pβ = δ αβ
∂f [ qα , f ] = ∂pα ∂f [ pα , f ] = − ∂qα
基本Poisson括号 括号 基本
2．性质 ． 利用Poisson括号定义与行列式性质可证： 括号定义与行列式性质可证： 利用 括号定义与行列式性质可证
§3.5 泊松括号
1．定义 ． 一切力学量为状态函数
f = f ( p, q, t ) g = g ( p, q, t )
∂f ∂qα ∂f ∂pα ∂g ∂pα
s
∂f ∂g ∂g ∂f s − [ f , g] ≡ ∑ =∑ ∂qα ∂pα α =1 ∂g α =1 ∂qα ∂pα ∂qα
角动量的Poisson括号 例10 角动量的 括号
= [ Lz , Lx ] Lx + Lx [ Lz , Lx ]
+ Lz , Ly Ly + Ly Lz , Ly = Ly Lx + Lx Ly − Lx Ly − Ly Lx = 0
= Ly , L2 = Lz , L2 = 0
( 5) 1 mω 2 1 2 2 & q, p + q, q = q = [ q, H ] = 2m {[ q, p ] p + p [ q, p ]} 2m 2 123
=0
( 3−5)
p = m
( 5) mω 2 1 mω 2 & p, p 2 + p, q 2 = p = [ p, H ] = {[ p, q ] q + q [ p, q ]} 2m 123 2 2