一轮复习配套讲义：选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式

第1讲不等式、含有绝对值的不等式[最新考纲]1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.知识梳理1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．诊断自测1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．解析数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．答案(－4，－2)∪(0,2)2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |. 解析 ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |，∴①和④正确． 答案 ①④3．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}4．(2012·山东卷)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －2|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.答案 (－∞，1)考点一 含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－(x －1)＋x ＋2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示．由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |. (3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【训练1】 解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－25，或x ＞2. 考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 已知不等式|x ＋1|－|x －3|＞a .分别求出下列情形中a 的取值范围． (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R ； (3)不等式的解集为∅.解 法一 因为|x ＋1|－|x －3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (－1)，B (3)距离的差，即|x ＋1|－|x －3|＝P A －PB . 由绝对值的几何意义知， P A －PB 的最大值为AB ＝4， 最小值为－AB ＝－4， 即－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，a 只要比|x ＋1|－|x －3|的最大值小即可，故a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立， 只要a 比|x ＋1|－|x －3|的最小值还小，即a ＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a 只要不小于|x ＋1|－|x －3|的最大值即可，即a ≥4.法二 由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4. |x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4. 可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4. (1)若不等式有解，则a ＜4； (2)若不等式的解集为R ，则a ＜－4； (3)若不等式解集为∅，则a ≥4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f (x )＞m 的解集是空集，则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . 【训练2】 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3，或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3， 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，应有－a 2≥a －2，则a ≤43，从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.规律方法 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．【训练3】 (2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，由f (x )≥3得 2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3,0].绝对值三角不等式的应用【典例】 (2013·福建卷)设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[审题视点] (1)利用条件32∈A ，12∉A ，建立不等式，求a 的值； (2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解． 解 (1)∵32∈A ，12∉A .∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，因此12＜a ≤32， 又a ∈N *，从而a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|， 又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时等号成立． 故f (x )的最小值为3.[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．【自主体验】1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析当a＜0时，显然成立；当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴a＝2.综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案(－∞，0)∪{2}2．(2012·陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案[－2,4]一、填空题1．不等式|2x －1|＜3的解集为________． 解析 |2x －1|＜3⇔－3＜2x －1＜3⇔－1＜x ＜2. 答案 (－1,2)2．不等式|2x －1|－|x －2|＜0的解集为________． 解析 法一 原不等式即为|2x －1|＜|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1＜x 2－4x ＋4，∴3x 2＜3，∴－1＜x ＜1. ∴原不等式解集为{x |－1<x <1|}． 法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎨⎧x ≥2，2x －1－(x －2)＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋(x －2)＜0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－(2x －1)＋(x －2)＜0.不等式组①无解，由②得12＜x ＜1，由③得－1＜x ≤12. 综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}． 答案 {x |－1＜x ＜1}3．(2012·广东卷)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析 ①当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2＋x ≤1，该不等式恒成立． ②当－2＜x ＜0时，原不等式可化为x ＋2＋x ≤1， ∴2x ≤－1，∴x ≤－12，∴－2＜x ≤－12.③当x ≥0时，原不等式可化为x ＋2－x ≤1，不成立．综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12 4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4， 即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3，∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤－4＋b 3＜13＜4＋b 3≤4⇒⎩⎨⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7. 答案 (5,7)5．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1(x ∈R )的解集是________． 解析 由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， ∴－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4. 答案 {x |0≤x ≤4}6．不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是________． 解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于P A －PB ＞k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3. 故当k ＜－3时，原不等式恒成立．法二 令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，从图象中可以看出，只要k ＜－3即可． 故k ＜－3满足题意． 答案 (－∞，－3)7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧－2x ＋1(x ≤－1)，3 (－1＜x ＜2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， ∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围为________． 解析 法一 当x ≥1时，不等式化为x ＋x －1≤a ，即x ≤1＋a2. 此时不等式有解当且仅当1≤1＋a2，即a ≥1. 当x ＜1时，不等式化为x ＋1－x ≤a ，即1≤a . 此时不等式有解当且仅当a ≥1.综上所述，若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解， 则实数a 的取值范围是[1，＋∞)．法二 设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥1)，1(x ＜1).f (x )的最小值为1.因为x ＋|x －1|≤a 有解，即f (x )≤a 有解，所以a ≥1. 答案 [1，＋∞)9．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分 二、解答题10．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 (x ≥4)画出f (x )的图象求y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的法二知：f (x )min ＝－92.11．(2012·辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 故k 的取值范围是[1，＋∞)． 12．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|， 不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．文档说明(Word 文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷 教案 合同 协议 施工 组织设计、期中、期末 等测试 中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。