一轮复习配套讲义：选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式

第1讲不等式、含有绝对值的不等式

[最新考纲]

1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证

明一些简单的绝对值不等式．

2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.

知识梳理

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－

c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解法

不等式a>0a＝0a<0 |x|a {x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}R

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

诊断自测

1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．

解析数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．

答案(－4，－2)∪(0,2)

2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．

①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |. 解析 ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |，∴①和④正确． 答案 ①④

3．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．

解析

令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧

4，x ≤4，

－2x ＋12，4＜x ≤8，

－4，x ＞8，

当x ≤4时，f (x )＝4＞2；

当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；

当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}

4．(2012·山东卷)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －2|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 2

5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.

答案 (－∞，1)

考点一 含绝对值不等式的解法

【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.

解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔

⎩⎨⎧

x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎨⎧

－2＜x ＜1，－(x －1)＋x ＋2≥5 或⎩

⎨⎧

x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则

f (x )＝⎩⎨⎧

－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，

2x －4，x ≥1.

作出函数的图象，如图所示．

由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |. (3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【训练1】 解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x

2＋1.

解 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x

2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.

②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＜－2

5，∴－3≤x ＜－25.

③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x

2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.

综上可知，原不等式的解集为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＜－25，或x ＞2. 考点二 含参数的绝对值不等式问题

【例2】 已知不等式|x ＋1|－|x －3|＞a .分别求出下列情形中a 的取值范围． (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R ； (3)不等式的解集为∅.

解 法一 因为|x ＋1|－|x －3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (－1)，B (3)距离的差，

即|x ＋1|－|x －3|＝P A －PB . 由绝对值的几何意义知， P A －PB 的最大值为AB ＝4， 最小值为－AB ＝－4， 即－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.

(1)若不等式有解，a 只要比|x ＋1|－|x －3|的最大值小即可，故a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立， 只要a 比|x ＋1|－|x －3|的最小值还小，即a ＜－4.

(3)若不等式的解集为∅，a 只要不小于|x ＋1|－|x －3|的最大值即可，即a ≥4.