一轮复习配套讲义:选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式
高考数学(文)大一轮复习课件 选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式

考点一 绝对值不等式的解法 [题组练透]
1.不等式|2x-1|>3 的解集为________.
解析:由|2x-1|>3 得, 2x-1<-3 或 2x-1>3,即 x<-1 或 x>2. 答案:{x|x<-1 或 x>2}
2.解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6. 解:法一:当 x>12时,原不等式转化为 4x≤6⇒12<x≤32; 当-12≤x≤12时,原不等式转化为 2≤6,恒成立; 当 x<-12时,原不等式转化为-4x≤6⇒-32≤x<-12. 综上知,原不等式的解集为x|-32≤x≤32.
1.对形如|f(x)|>a 或|f(x)|<a 型的不等式求其解集时,易忽视 a 的符号直接等价转化造成失误.
2.绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中易忽视等号成立的 条件.如|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≤0 时等号成立,其 他类似推导.
[小题纠偏]
1.设 a,b 为满足 ab<0 的实数,那么
3.不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集是________.
-3,x≤-1, 解析:f(x)=|x+1|-|x-2|=2x-1,-1<x<2,
3,x≥2.
当-1<x<2 时,由 2x-1≥1,解得 1≤x<2.
又当 x≥2 时,f(x)=3>1 恒成立.
所以不等式的解集为x|x≥1
.
答案: x|x≥1
()
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析:∵ab<0,
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∞)(此处设 a<b)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式
学海无涯
求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点 x1=a 和 x2=b
的距离之和大于 c 的全体,|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|.
-2x-6,x≤-2, f(x)=-2,-2<x<1,
2x-4,x≥1.
作出函数的图象,如图所示.
由图象可知,当 x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y≥0, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).
规律方法 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法:(1根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-
c)≥0 时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
可;不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集∅的对立面(如
f(x)>m 的解集是空集,则 f(x)≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问
题都可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a 恒成立⇔a<f(x)min.
【训练 2】 设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 解 (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3,或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0.
高考数学一轮总复习 第1节 含绝对值的不等式及其解法课件(选修4-5)

(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. ②≤|a+b|≤|a|+|b|. ③|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形 式转化为二次不等式求解.
解集是( )
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-2,0)∪(0,2)
[解析] 原不等式等价于-2<x2-2<2,
即0<x2<4.
∴-2<x<2且x≠0.故不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).
[答案] D
考向二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法
拓展提高 解含绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符 号.去掉绝对值符号除常用绝对值的几何意义外也可用分类讨 论、两边平方等方法.
提醒:在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时,应 做到分类不重、不漏;在某个区间上解出不等式后,不要忘了 与前提条件求交集.
活学活用1 (2013·大纲版高考全国卷)不等式|x2-2|<2的
选修4-5 不等式(选讲)
第1节 含绝对值的不等式及其解法
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的 几何意义证明以下不等式:①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤|a-c| +|c-b|.
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax +b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
C.(-4,0)
D.(-4,-2)∪(0,2)
[解析] 原不等式等价于1<x+1<3或-3<x+1<-1,
解之得0<x<2或-4<x<-2,故应选D.
高三数学一轮复习课件之选修4-5(1)绝对值不等式

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课后限时 集训
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复习成功的关键在于
01 抓思维训练 02 勤于方法总结 03 善于提炼观点
具体措施在:
1.狠抓基础,在主干内容上下足功夫,重概念的生成 2.重点突出,在知识交叉点上着重训练,重视试卷分析 3.精准指导,在图形使用上反复强调,重结构式结论
(4)当 ab≥0 时,|a+b|=|a|+|b|成立.
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
9
2.设 a,b 为满足 ab<0 的实数,那么( )
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
B [∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.]
-2,x≤-1,
2x,-1<x<1, 2,x≥1.
故不等式 f(x)>1 的解集为xx>21
.
解析答案
30
(2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时,|ax -1|<1 成立.
若 a≤0,则当 x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若 a>0,|ax-1|<1 的解集为 0<x<2a,所以2a≥1,故 0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].
16
x-4,x≤-1, [解] (1)由题意得 f(x)=3x-2,-1<x≤23,
-x+4,x>32,
故 y=f(x)的图象如图所示.
17
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知,
当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3;
2020高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲1绝对值不等式课件文

[变式练]——(着眼于举一反三) 2.[2019·石家庄检测]已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x-1| +a. (1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若对任意的 x∈R,都有 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值 范围.
解析:(1)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x-1|, 两边平方,整理得 x2+2x≥0,解得 x≥0 或 x≤-2, 所以原不等式的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞). (2)由 f(x)≥g(x)得 a≤|2x+1|-|x-1|, 令 h(x)=|2x+1|-|x-1|,则
解析:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
-2,x≤-1, 即 f(x)=2x,-1<x<1,
2,x≥1.
故不等式 f(x)>1 的解集为xx>12
.
(2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时 |ax-1|<1 成立.
悟·技法 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点
(1)等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求 函数的最大(小)值时.
(2)该定理可推广为|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,也可强化为||a| -|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推论.
(3)当 ab≥0 时,|a+b|=|a|+|b|;当 ab≤0 时,|a-b|=|a|+ |b|;当 b(a+b)≤0 时,|a|-|b|=|a+b|;当 b(a-b)≥0 时,|a|-|b| =|a-b|.
考向一 绝对值三角不等式性质的应用
[互动讲练型] [例 1] [2016·江苏卷]设 a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a3,求证:|2x +y-4|<a. 证明:因为|x-1|<a3,|y-2|<a3, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a3+ a3=a.
高三数学(理)一轮复习讲义:选修4-5 第1讲不等式(人教A版)

第1讲不等式、含有绝对值的不等式[最新考纲]1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.掌握|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b| ≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.诊断自测1.不等式1<|x+1|<3的解集为________.解析数轴上的点到-1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集.答案(-4,-2)∪(0,2)2.设ab>0,下面四个不等式中,正确命题的序号是________.①|a +b |>|a |;②|a +b |<|b |;③|a +b |<|a -b |;④|a +b |>|a |-|b |. 解析 ∵ab >0,∴a ,b 同号,∴|a +b |=|a |+|b |,∴①和④正确. 答案 ①④3.不等式|x -8|-|x -4|>2的解集为________.解析令:f (x )=|x -8|-|x -4|=⎩⎨⎧4,x ≤4,-2x +12,4<x ≤8,-4,x >8,当x ≤4时,f (x )=4>2;当4<x ≤8时,f (x )=-2x +12>2,得x <5, ∴4<x <5;当x >8时,f (x )=-4>2不成立. 故原不等式的解集为:{x |x <5}. 答案 {x |x <5}4.(2012·山东卷)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =________. 解析 ∵|kx -2|≤2,∴-2≤kx -4≤2,∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3},∴k =2. 答案 25.已知关于x 的不等式|x -1|+|x |≤k 无解,则实数k 的取值范围是________. 解析 ∵|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,∴当k <1时,不等式|x -1|+|x |≤k 无解,故k <1.答案 (-∞,1)考点一 含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x -1|+|x +2|≥5.解 法一 如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A ,B ,则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然,区间[-2,1]不是不等式的解集.把A 向左移动一个单位到点A 1,此时A 1A +A 1B =1+4=5.把点B 向右移动一个单位到点B 1,此时B 1A +B 1B =5,故原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).法二 原不等式|x -1|+|x +2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤-2,-(x -1)-(x +2)≥5或⎩⎨⎧-2<x <1,-(x -1)+x +2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1,x -1+x +2≥5,解得x ≥2或x ≤-3, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).法三 将原不等式转化为|x -1|+|x +2|-5≥0. 令f (x )=|x -1|+|x +2|-5,则f (x )=⎩⎨⎧-2x -6,x ≤-2,-2,-2<x <1,2x -4,x ≥1.作出函数的图象,如图所示.由图象可知,当x ∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y ≥0, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).规律方法 形如|x -a |+|x -b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞,a ],(a ,b ],(b ,+∞)(此处设a <b )三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.(2)几何法:利用|x -a |+|x -b |>c (c >0)的几何意义:数轴上到点x 1=a 和x 2=b 的距离之和大于c 的全体,|x -a |+|x -b |≥|x -a -(x -b )|=|a -b |. (3)图象法:作出函数y 1=|x -a |+|x -b |和y 2=c 的图象,结合图象求解. 【训练1】 解不等式|x +3|-|2x -1|<x2+1.解 ①当x <-3时,原不等式化为-(x +3)-(1-2x )<x2+1,解得x <10,∴x <-3.②当-3≤x <12时,原不等式化为(x +3)-(1-2x )<x 2+1,解得x <-25,∴-3≤x <-25.③当x ≥12时,原不等式化为(x +3)-(2x -1)<x2+1,解得x >2,∴x >2.综上可知,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-25,或x >2. 考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 已知不等式|x +1|-|x -3|>a .分别求出下列情形中a 的取值范围. (1)不等式有解; (2)不等式的解集为R ; (3)不等式的解集为∅.解 法一 因为|x +1|-|x -3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (-1),B (3)距离的差,即|x +1|-|x -3|=P A -PB . 由绝对值的几何意义知, P A -PB 的最大值为AB =4, 最小值为-AB =-4, 即-4≤|x +1|-|x -3|≤4.(1)若不等式有解,a 只要比|x +1|-|x -3|的最大值小即可,故a <4. (2)若不等式的解集为R ,即不等式恒成立, 只要a 比|x +1|-|x -3|的最小值还小,即a <-4.(3)若不等式的解集为∅,a 只要不小于|x +1|-|x -3|的最大值即可,即a ≥4.法二 由|x +1|-|x -3|≤|x +1-(x -3)|=4. |x -3|-|x +1|≤|(x -3)-(x +1)|=4. 可得-4≤|x +1|-|x -3|≤4. (1)若不等式有解,则a <4; (2)若不等式的解集为R ,则a <-4; (3)若不等式解集为∅,则a ≥4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条件的x 即可;不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集∅的对立面(如f (x )>m 的解集是空集,则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ,f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min . 【训练2】 设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 解 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3,或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ,a -x +3x ≤0, 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-a2. 由题设可得-a2=-1,故a =2.考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3. (1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >-1,且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.解 (1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =⎩⎪⎨⎪⎧-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1,其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12时,f (x )=1+a ,不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3, 所以x ≥a -2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12都成立,应有-a 2≥a -2,则a ≤43,从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-1,43. 规律方法 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根.把这些根从小到大排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集.【训练3】 (2012·新课标全国卷)已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|. (1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解(1)当a =-3时,f (x )=⎩⎨⎧-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x +5≥3,解得x ≤1; 当2<x <3时,f (x )≥3无解; 当x ≥3时,由f (x )≥3得 2x -5≥3,解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1,或x ≥4}. (2)f (x )≤|x -4|⇔|x -4|-|x -2|≥|x +a |.当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a |⇔4-x -(2-x )≥|x +a |⇔-2-a ≤x ≤2-a . 由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2, 即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围是[-3,0].绝对值三角不等式的应用【典例】 (2013·福建卷)设不等式|x -2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A . (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.[审题视点] (1)利用条件32∈A ,12∉A ,建立不等式,求a 的值; (2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解. 解 (1)∵32∈A ,12∉A .∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-2<a ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2≥a ,因此12<a ≤32, 又a ∈N *,从而a =1.(2)由(1)知,f (x )=|x +1|+|x -2|, 又|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时等号成立. 故f (x )的最小值为3.[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b|,通过适当的添、拆项来放缩求解.【自主体验】1.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+4a对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.解析当a<0时,显然成立;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+4a≤4.∴a=2.综上可知a的取值范围是(-∞,0)∪{2}.答案(-∞,0)∪{2}2.(2012·陕西卷)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案[-2,4]一、填空题1.不等式|2x -1|<3的解集为________. 解析 |2x -1|<3⇔-3<2x -1<3⇔-1<x <2. 答案 (-1,2)2.不等式|2x -1|-|x -2|<0的解集为________. 解析 法一 原不等式即为|2x -1|<|x -2|, ∴4x 2-4x +1<x 2-4x +4,∴3x 2<3,∴-1<x <1. ∴原不等式解集为{x |-1<x <1|}. 法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎨⎧x ≥2,2x -1-(x -2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2,2x -1+(x -2)<0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12,-(2x -1)+(x -2)<0.不等式组①无解,由②得12<x <1,由③得-1<x ≤12. 综上得-1<x <1,所以原不等式的解集为{x |-1<x <1}. 答案 {x |-1<x <1}3.(2012·广东卷)不等式|x +2|-|x |≤1的解集为________.解析 ①当x ≤-2时,原不等式可化为-x -2+x ≤1,该不等式恒成立. ②当-2<x <0时,原不等式可化为x +2+x ≤1, ∴2x ≤-1,∴x ≤-12,∴-2<x ≤-12.③当x ≥0时,原不等式可化为x +2-x ≤1,不成立.综上,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-12. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-12 4.若不等式|3x -b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b 的取值范围为________.解析 由|3x -b |<4得-4<3x -b <4, 即-4+b 3<x <4+b 3,∵不等式|3x -b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤-4+b 3<13<4+b 3≤4⇒⎩⎨⎧4≤b <7,5<b ≤8,∴5<b <7. 答案 (5,7)5.(2013·江西卷)在实数范围内,不等式||x -2|-1|≤1(x ∈R )的解集是________. 解析 由||x -2|-1|≤1,得-1≤|x -2|-1≤1,即0≤|x -2|≤2, ∴-2≤x -2≤2,∴0≤x ≤4. 答案 {x |0≤x ≤4}6.不等式|x +1|-|x -2|>k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是________. 解析 法一 根据绝对值的几何意义,设数x ,-1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ,则原不等式等价于P A -PB >k 恒成立.∵AB =3,即|x +1|-|x -2|≥-3. 故当k <-3时,原不等式恒成立.法二 令y =|x +1|-|x -2|,则y =⎩⎨⎧-3,x ≤-1,2x -1,-1<x <2,3,x ≥2,要使|x +1|-|x -2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要k <-3即可. 故k <-3满足题意. 答案 (-∞,-3)7.若关于x 的不等式|a |≥|x +1|+|x -2|存在实数解,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )=|x +1|+|x -2|=⎩⎨⎧ -2x +1(x ≤-1),3 (-1<x <2),2x -1 (x ≥2),∴f (x )≥3.要使|a |≥|x +1|+|x -2|有解,∴|a |≥3,即a ≤-3或a ≥3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)8.若关于x 的不等式x +|x -1|≤a 有解,则实数a 的取值范围为________.解析 法一 当x ≥1时,不等式化为x +x -1≤a ,即x ≤1+a 2.此时不等式有解当且仅当1≤1+a 2,即a ≥1.当x <1时,不等式化为x +1-x ≤a ,即1≤a .此时不等式有解当且仅当a ≥1.综上所述,若关于x 的不等式x +|x -1|≤a 有解,则实数a 的取值范围是[1,+∞).法二 设f (x )=x +|x -1|,则f (x )=⎩⎨⎧2x -1(x ≥1),1(x <1).f (x )的最小值为1.因为x +|x -1|≤a 有解,即f (x )≤a 有解,所以a ≥1.答案 [1,+∞)9.已知h >0,a ,b ∈R ,命题甲:|a -b |<2h ;命题乙:|a -1|<h 且|b -1|<h ,则甲是乙的________条件.解析 |a -b |=|a -1+1-b |≤|a -1|+|b -1|<2h ,故由乙能推出甲成立,但甲成立不能推出乙成立,所以甲是乙的必要不充分条件.答案 必要不充分二、解答题10.设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|.(1)解不等式f (x )>2;(2)求函数y =f (x )的最小值.解 (1)法一 令2x +1=0,x -4=0分别得x =-12,x =4.原不等式可化为:⎩⎪⎨⎪⎧ x <-12-x -5>2或⎩⎪⎨⎪⎧ -12≤x <43x -3>2或⎩⎨⎧x ≥4,x +5>2. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <-7,或x >53. 法二 f (x )=|2x +1|-|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧ -x -5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <-123x -3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12≤x <4x +5 (x ≥4)画出f (x )的图象求y =2与f (x )图象的交点为(-7,2),⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <-7,或x >53. (2)由(1)的法二知:f (x )min =-92.11.(2012·辽宁卷)已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}.(1)求a 的值;(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解 (1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},所以当a ≤0时,不合题意.当a >0时,-4a ≤x ≤2a ,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2=|2x +1|-|2x +2|,则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1,x ≤-1,-4x -3,-1<x <-12,-1,x ≥-12,所以|h (x )|≤1,因此k ≥1.故k 的取值范围是[1,+∞).12.设函数f (x )=|x -1|+|x -a |.(1)若a =-1,解不等式f (x )≥3; (2)如果∀x ∈R ,f (x )≥2,求a 的取值范围.解 (1)当a =-1时,f (x )=|x -1|+|x +1|,f (x )=⎩⎨⎧ -2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1.作出函数f (x )=|x -1|+|x +1|的图象.由图象可知,不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤-32,或x ≥32. (2)若a =1,f (x )=2|x -1|,不满足题设条件;若a <1,f (x )=⎩⎨⎧ -2x +a +1,x ≤a ,1-a ,a <x <1,2x -(a +1),x ≥1,f (x )的最小值为1-a ;若a >1,f (x )=⎩⎨⎧ -2x +a +1,x ≤1,a -1,1<x <a ,2x -(a +1),x ≥a ,f (x )的最小值为a -1. ∴对于∀x ∈R ,f (x )≥2的充要条件是|a -1|≥2,∴a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).。
高考数学(理)精准备考一轮全国课件:选修4-5第1课绝对值不等式

[ 解]
(1)依题意,原不等式等价于:
|x+1|-|x-1|+1>0, 当 x<-1 时,-(x+1)+(x-1)+1>0, 即-1>0,此时解集为∅; 当-1≤x≤1 时,x+1+(x-1)+1>0, 1 1 即 x>- ,此时- <x≤1; 2 2 当 x>1 时,x+1-(x-1)+1>0, 即 3>0,此时 x>1. 综上所述,不等式 f(x)>0
答案:[-2,4]
3 .若不等式 |kx - 4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ,则实数 k = ________.
解析:由|kx-4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 , ∴k=2. 答案:2
4.设不等式|x+1|-|x-2|>k 的解集为 R,则实数 k 的取值范围 为____________.
[小题速通]
1.不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集是________.
-3,x≤-1, 解析:f(x)=|x+1|-|x-2|=2x-1,-1<x<2, 3,x≥2. 当-1<x<2 时,由 2x-1≥1,解得 1≤x<2. 又当 x≥2 时,f(x)=3>1, 所以不等式的解集为 x|x≥1 .
1.设 a,b 为满足 ab<0 的实数,那么 A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
解析:∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.
(
)
答案:B
2. 若|x-1|≤1, |y-2|≤1, 则|x-2y+1|的最大值为________.
2021高考数学一轮复习统考选修4_5不等式选讲第1讲绝对值不等式课件北师大版选修4_5

②由题意,知要使不等式恒成立,
只需 f(x)max≤|y+54|+|y-a|min. 当 x∈(-∞,a]时,f(x)=-x2+ax,f(x)max=fa2=a42. 因为|y+45|+|y-a|≥|a+45|,当且仅当y+54·(y-a)≤0,即-54≤y≤a 时 等号成立, 所以当 y∈(-∞,a]时,
解析 答案
5.不等式3≤|5-2x|<9的解集为( )
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)
解析 由题意,得||22xx--55||<≥93,
⇒- 2x-9<52≥x-3或5<29x,-5≤-3 ⇒-x≥24<或x<x7≤,1, 得所求不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).
2.绝对值不等式的应用 (1)定理:如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b -c)≥0时,等号成立.
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. ②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. ③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
解析 答案
解6.析不等①式当|x+x<3-|-3|2时x-,1|原<2x不+等1的式解化集为为-_x(_x|x_+<_-_3_)25_-或__(x1_>-_2_2.x)<2x+1,解得 x<10,所以 x<-3.
②当-3≤x<12时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<2x+1,解得 x<-25, 所以-3≤x<-52.
高考理科第一轮复习课件(选修4-5第1节绝对值不等式)

【变式备选】解下列不等式.
(1)
x 1 x 1 1.
(2)|x+3|+|x-3|>8.
【解析】(1)原不等式等价于不等式组
2 2 x 1 x 1 , (x 1) x 1) ( , 即 x 1, x 1 0,
解得x≥0且x≠1, ≨原不等式的解集为{x|x≥0且x≠1}.
【变式备选】(2013·渭南模拟)设实数a,b满足2a+b=9. (1)若|9-b|+|a|<3,求a的取值范围. (2)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值. 【解析】(1)由2a+b=9,得9-b=2a,即|9-b|=2|a|, 所以|9-b|+|a|<3可化为3|a|<3, 即|a|<1,解得-1<a<1, 所以a的取值范围为-1<a<1.
1 1 .( a b
) )
, 则n≥1.(
(3)|x-1|-|x-5|<2的几何意义为数轴上的点x到点1,-5的距 离之差小于2.( (4)不等式
ab ab
)
1成立的充要条件是|a|>|b|.(
)
(5)函数 f(x) x 1 的最小值是2.(
x
)
1 1 【解析】(1)错误.当ab>0时,有 1 1 ; 当ab<0时,有 .
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型绝对值不等式的解法.
-c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔____________;
ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c⇔__________________.
3.平均值不等式
2019届【高考数学一轮复习(理)】复习讲义:选修4-5 不等式选讲

2019届【高考数学一轮复习(理)】复习讲义选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点: 1.绝对值不等式的解法; 2.绝对值三角不等式.突破点(一) 绝对值不等式的解法[基本知识](1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解.②利用零点分段法求解.③构造函数,利用函数的图象求解.[基本能力]1.判断题(1)不等式|x |<a 的解集为{x |-a <x <a }.( )(2)|x -a |+|x -b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ,b 的距离之和.( )(3)不等式|2x -3|≤5的解集为{x |-1≤x ≤4}.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.填空题(1)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =________. 解析:由|kx -4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3},∴k =2. 答案:2(2)不等式|2x -1|>3的解集为________. 解析:由|2x -1|>3得,2x -1<-3或2x -1>3,即x <-1或x >2. 答案:{x |x <-1或x >2}(3)若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪-53<x <13,则a =________.解析:依题意,知a ≠0.|ax -2|<3⇔-3<ax -2<3⇔-1<ax <5,当a >0时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-1a ,5a ,从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a =13,-1a =-53,此方程组无解.当a <0时,不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5a,-1a ,从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a =-53,-1a =13,解得a =-3.答案:-3(4)不等式|x +1|-|x -2|≥1的解集是________.解析:f (x )=|x +1|-|x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x ≤-1,2x -1,-1<x <2,3,x ≥2.当-1<x <2时,由2x -1≥1,解得1≤x <2. 又当x ≥2时,f (x )=3>1恒成立. 所以不等式的解集为{x |x ≥1}.答案:{x |x ≥1}[全析考法][典例] 解下列不等式: (1)|2x +1|-2|x -1|>0. (2)|x +3|-|2x -1|<x2+1.[解] (1)法一:原不等式可化为|2x +1|>2|x -1|,两边平方得4x 2+4x +1>4(x 2-2x +1),解得x >14,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >14. 法二:原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <-12,- 2x +1 +2 x -1 >0或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x ≤1,2x +1 +2 x -1 >0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,2x +1 -2 x -1 >0.解得x >14,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >14.(2)①当x <-3时,原不等式化为-(x +3)-(1-2x )<x2+1,解得x <10,∴x <-3.②当-3≤x <12时,原不等式化为(x +3)-(1-2x )<x 2+1,解得x <-25,∴-3≤x <-25. ③当x ≥12时,原不等式化为(x +3)+(1-2x )<x2+1,解得x >2,∴x >2.综上可知,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <-25或x >2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R +,|x |<a ⇔-a <x <a , |x |>a ⇔x <-a 或x >a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.[全练题点]1.求不等式|x -1|-|x -5|<2的解集. 解:不等式|x -1|-|x -5|<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1,- x -1 + x -5 <2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5,x -1+x -5<2或⎩⎪⎨⎪⎧x >5,x -1- x -5 <2,即⎩⎪⎨⎪⎧x <1,-4<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5,2x <8或⎩⎪⎨⎪⎧x >5,4<2,故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅={x |x <4}.2.解不等式x +|2x +3|≥2.解:原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <-32,-x -3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-32,3x +3≥2.解得x ≤-5或x ≥-13.所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤-5或x ≥-13.3.已知函数f (x )=|x -1|+|x +a |,g (x )=|x -2|+1.(1)当a =2时,解不等式f (x )≥5;(2)若对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得g (x 2)=f (x 1)成立,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =2时,f (x )=|x -1|+|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -1,x ≤-2,3,-2<x <1,2x +1,x ≥1,∴f (x )≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-2,-2x -1≥5或⎩⎪⎨⎪⎧-2<x <1,3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,2x +1≥5.解得x ≥2或x ≤-3,∴不等式f (x )≥5的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). (2)∵对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得g (x 2)=f (x 1)成立,∴{y |y =f (x )}⊆{y |y =g (x )}.∵f (x )=|x -1|+|x +a |≥|(x -1)-(x +a )|=|a +1|(当且仅当(x -1)(x +a )≤0时等号成立),g (x )=|x -2|+1≥1,∴|a +1|≥1,∴a +1≥1或a +1≤-1,∴a ≥0或a ≤-2,∴实数a 的取值范围为(-∞,-2]∪[0,+∞). 4.(2018·湖北黄石调研)已知函数f (x )=|x -1|+|x +3|. (1)解不等式f (x )≥8;(2)若不等式f (x )<a 2-3a 的解集不是空集,求实数a 的取值范围.解:(1)f (x )=|x -1|+|x +3|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -2,x <3,4,-3≤x ≤1,2x +2,x >1.当x <-3时,由-2x -2≥8,解得x ≤-5; 当-3≤x ≤1时,4≥8,不成立; 当x >1时,由2x +2≥8,解得x ≥3.∴不等式f (x )≥8的解集为{x |x ≤-5或x ≥3}.(2)由(1)得f (x )min =4.又∵不等式f (x )<a 2-3a 的解集不是空集,∴a 2-3a >4,解得a >4或a <-1,即实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).突破点(二) 绝对值三角不等式[基本知识]绝对值三角不等式定理[基本能力]1.判断题(1)|a+b|+|a-b|≥|2a|.( )(2)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0.()答案:(1)√(2)√2.填空题(1)函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________.解析:∵|x-4|+|x+4|≥|(x-4)-(x+4)|=8,即函数y的最小值为8.答案:8(2)设a,b为满足ab<0的实数,那么下列正确的是________.①|a+b|>|a-b| ②|a+b|<|a-b|③|a-b|<||a|-|b|| ④|a-b|<|a|+|b|解析:∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.答案:②(3)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案:[-2,4][全析考法]证明绝对值不等式 [例1] 已知x ,y ∈R ,且|x +y |≤6,|x -y |≤4,求证:|x +5y |≤1.[证明] ∵|x +5y |=|3(x +y )-2(x -y )|. ∴由绝对值不等式的性质,得|x +5y |=|3(x +y )-2(x -y )|≤|3(x +y )|+|2(x -y )| =3|x +y |+2|x -y |≤3×16+2×14=1.即|x +5y |≤1. [方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明. (2)利用三角不等式||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |进行证明. (3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.绝对值不等式的恒成立问题[例2] (2018·湖南五市十校联考)设函数f (x )=|x -a |+|x -3|,a <3.(1)若不等式f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x ≤12或x ≥92,求a 的值; (2)若对∀x ∈R ,不等式f (x )+|x -3|≥1恒成立,求实数a 的取值范围.[解] (1)法一:由已知得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -2x +a +3,x <a ,3-a ,a ≤x ≤3,2x -a -3,x >3,当x <a 时,-2x +a +3≥4,得x ≤a -12;当x >3时,2x -a -3≥4,得x ≥7+a 2. 已知f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x ≤12或x ≥92,则显然a =2. 法二:由已知易得f (x )=|x -a |+|x -3|的图象关于直线x =a +32对称, 又f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x ≤12或x ≥92,则12+92=a +3,即a =2. (2)法一:不等式f (x )+|x -3|≥1恒成立,即|x -a |+2|x -3|≥1恒成立.当x ≤a 时,-3x +a +5≥0恒成立,得-3a +a +5≥0,解得a ≤52; 当a <x <3时,-x -a +5≥0恒成立,得-3-a +5≥0,解得a ≤2;当x ≥3时,3x -a -7≥0恒成立,得9-a -7≥0,解得a ≤2.综上,实数a 的取值范围为(-∞,2].法二:不等式f (x )+|x -3|≥1恒成立,即|x -a |+|x -3|≥-|x -3|+1恒成立,由图象(图略)可知f (x )=|x -a |+|x -3|在x =3处取得最小值3-a ,而-|x -3|+1在x =3处取得最大值1,故3-a ≥1,得a ≤2.故实数a 的取值范围为(-∞,2].[全练题点]1.[考点一]设函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1a +|x -a |(a >0). (1)证明:f (x )≥2;(2)若f (3)<5,求a 的取值范围.解:(1)证明:由a >0,有f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1a +|x -a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1a - x -a =1a+a ≥2.当且仅当a =1时等号成立.所以f (x )≥2.(2)f (3)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3+1a +|3-a |. 当a >3时,f (3)=a +1a, 由f (3)<5得3<a <5+212.当0<a ≤3时,f (3)=6-a +1a, 由f (3)<5得1+52<a ≤3. 综上,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+52,5+212. 2.[考点二]已知函数f (x )=|x -m |-|x +3m |(m >0).(1)当m =1时,求不等式f (x )≥1的解集;(2)对于任意实数x ,t ,不等式f (x )<|2+t |+|t -1|恒成立,求m 的取值范围.解:(1)f (x )=|x -m |-|x +3m |=⎩⎪⎨⎪⎧ -4m ,x ≥m ,-2x -2m ,-3m <x <m ,4m ,x ≤-3m .当m =1时,由⎩⎪⎨⎪⎧ -2x -2≥1,-3<x <1或x ≤-3,得x ≤-32, ∴不等式f (x )≥1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | x ≤-32. (2)不等式f (x )<|2+t |+|t -1|对任意的实数t ,x 恒成立,等价于对任意的实数x ,f (x )<(|2+t |+|t -1|)min 恒成立,即[f (x )]max <(|2+t |+|t -1|)min ,∵f (x )=|x -m |-|x +3m |≤|(x -m )-(x +3m )|=4m ,|2+t |+|t -1|≥|(2+t )-(t -1)|=3,∴4m <3,又m >0,∴0<m <34, 即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0,34. 3.[考点二]已知函数f (x )=|x -2|,g (x )=-|x +3|+m .(1)解关于x 的不等式f (x )+a -1>0(a ∈R);(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方,求m 的取值范围.解:(1)不等式f(x)+a-1>0,即|x-2|+a-1>0.当a=1时,原不等式化为|x-2|>0,解得x≠2,即解集为(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为全体实数R;当a<1时,|x-2|>1-a(1-a>0),解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立.又由绝对值三角不等式知,对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x +3)|=5,当且仅当(x-2)(x+3)≤0时等号成立.于是得m<5,故m的取值范围是(-∞,5).[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x ≤-1+172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ -1≤x ≤-1+172. (2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2. 所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时,f (x )≥2. 又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且f (1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].2.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )=|x +1|-|x -2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x +m 的解集非空,求m 的取值范围.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x <-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1,得2x -1≥1,解得1≤x ≤2;当x >2时,由f (x )≥1,解得x >2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x +m ,得m ≤|x +1|-|x -2|-x 2+x .而|x +1|-|x -2|-x 2+x ≤|x |+1+|x |-2-x 2+|x |=-⎝⎛⎭⎪⎪⎫|x |-322+54≤54, 且当x =32时,|x +1|-|x -2|-x 2+x =54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤-∞,54. 3.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )=|2x -a |+a .(1)当a =2时,求不等式f (x )≤6的解集;(2)设函数g (x )=|2x -1|.当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围. 解:(1)当a =2时,f (x )=|2x -2|+2.解不等式|2x -2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |-1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时,f (x )+g (x )=|2x -a |+a +|1-2x |≥3,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -a 2+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-x ≥3-a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -a 2+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-x min =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-a 2, 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-a 2≥3-a 2,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).4.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解;当-1<x <1时,不等式化为3x -2>0,解得23<x <1; 当x ≥1时,不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 23<x <2. (2)由题设可得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a -13,0,B (2a +1,0),C (a ,a +1),△ABC 的面积为23(a +1)2. 由题设得23(a +1)2>6,故a >2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).[课时达标检测]1.已知函数f (x )=|x +m |-|5-x |(m ∈R).(1)当m =3时,求不等式f (x )>6的解集;(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立,求m 的取值范围.解:(1)当m =3时,f (x )>6,即|x +3|-|5-x |>6,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥5,x +3- x -5 >6, 解得x ≥5;或⎩⎪⎨⎪⎧ -3<x <5,x +3+ x -5 >6,解得4<x <5;或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤-3,-x -3+ x -5 >6,解集是∅.故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}.(2)f (x )=|x +m |-|5-x |≤|(x +m )+(5-x )|=|m +5|,由题意得|m +5|≤10,则-10≤m +5≤10,解得-15≤m ≤5,故m 的取值范围为[-15,5].2.(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )=|2x -a |+|x -1|.(1)若不等式f (x )≤2-|x -1|有解,求实数a 的取值范围;(2)当a <2时,函数f (x )的最小值为3,求实数a 的值.解:(1)由题意f (x )≤2-|x -1|,即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -a 2+|x -1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -a 2+|x -1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2-1, 由不等式f (x )≤2-|x -1|有解,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2-1≤1,即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4].(2)由2x -a =0得x =a 2,由x -1=0得x =1,由a <2知a 2<1, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -3x +a +1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x <a 2,x -a +1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2≤x ≤1,3x -a -1 x >1 .函数的图象如图所示. ∴f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2=-a 2+1=3, 解得a =-4.3.(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )=|2x +3|+|x -1|.(1)解不等式f (x )>4;(2)若∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫-∞,-32,不等式a +1<f (x )恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)∵f (x )=|2x +3|+|x -1|,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -3x -2,x <-32,x +4,-32≤x ≤1,3x +2,x >1,f (x )>4,可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <-32,-3x -2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ -32≤x ≤1,x +4>4或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1,3x +2>4,解得x <-2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(2)由(1)知,当x <-32时,f (x )=-3x -2, ∵当x <-32时,f (x )=-3x -2>52, ∴a +1≤52,即a ≤32. ∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤-∞,32. 4.(2018·长春模拟)已知函数f (x )=|x -2|-|x +1|.(1)解不等式f (x )>1;(2)当x >0时,函数g (x )=ax 2-x +1x (a >0)的最小值大于函数f (x ),试求实数a 的取值范围.解:(1)当x >2时,原不等式可化为x -2-x -1>1,解集是∅. 当-1≤x ≤2时,原不等式可化为2-x -x -1>1,即-1≤x <0; 当x <-1时,原不等式可化为2-x +x +1>1,即x <-1. 综上,原不等式的解集是{x |x <0}. (2)因为g (x )=ax +1x-1≥2a -1,当且仅当x =a a时等号成立,所以g (x )min =2a -1,当x >0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2x ,0<x ≤2,-3,x >2,所以f (x )∈[-3,1),所以2a -1≥1,即a ≥1,故实数a 的取值范围是[1,+∞).5.(2018·湖北四校联考)已知函数f (x )=e |x +a |-|x -b |,a ,b ∈R. (1)当a =b =1时,解不等式f (x )≥e; (2)若f (x )≤e 2恒成立,求a +b 的取值范围.解:(1)当a =b =1时,f (x )=e |x +1|-|x -1|,由于y =e x 在(-∞,+∞)上是增函数,所以f (x )≥e 等价于|x +1|-|x -1|≥1,①当x ≥1时,|x +1|-|x -1|=x +1-(x -1)=2,则①式恒成立; 当-1<x <1时,|x +1|-|x -1|=2x ,①式化为2x ≥1,此时12≤x <1;当x ≤-1时,|x +1|-|x -1|=-2,①式无解.综上,不等式的解集是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12,+∞.(2)f (x )≤e 2等价于|x +a |-|x -b |≤2,② 因为|x +a |-|x -b |≤|x +a -x +b |=|a +b |, 所以要使②式恒成立,只需|a +b |≤2, 可得a +b 的取值范围是[-2,2].6.(2018·湖北枣阳一中模拟)已知f (x )=|x -1|+|x +a |,g (a )=a 2-a -2.(1)当a =3时,解关于x 的不等式f (x )>g (a )+2; (2)当x ∈[-a,1)时恒有f (x )≤g (a ),求实数a 的取值范围.解:(1)a =3时,f (x )=|x -1|+|x +3|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -2,x ≤-3,4,-3<x <1,2x +2,x ≥1,g (3)=4.∴f (x )>g (a )+2化为|x -1|+|x +3|>6, 即⎩⎪⎨⎪⎧-2x -2>6,x ≤-3,或⎩⎪⎨⎪⎧4>6,-3<x <1,或⎩⎪⎨⎪⎧2x +2>6,x ≥1,解得x <-4或x >2.∴所求不等式解集为(-∞,-4)∪(2,+∞). (2)∵x ∈[-a,1).∴f (x )=1+a .∴f (x )≤g (a )即为1+a ≤a 2-a -2,可化为a 2-2a -3≥0,解得a ≥3或a ≤-1.又∵-a<1,∴a>-1.综上,实数a的取值范围为[3,+∞).7.(2018·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,解得-2<x<4,∴原不等式的解集为{x|-2<x<4}.(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}.又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,∴|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,∴实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[-1,+∞).8.已知函数f(x)=|3x+2|.(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤1m+1n(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.当x<-23时,即-3x-2-x+1<4,解得-54<x <-23;当-23≤x ≤1时,即3x +2-x +1<4, 解得-23≤x <12;当x >1时,即3x +2+x -1<4,无解. 综上所述,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |-54<x <12.(2)1m +1n =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m +1n (m +n )=1+1+n m +m n ≥4, 当且仅当m =n =12时等号成立.令g (x )=|x -a |-f (x )=|x -a |-|3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧2x +2+a ,x <-23,-4x -2+a ,-23≤x ≤a ,-2x -2-a ,x >a .∴x =-23时,g (x )max =23+a ,要使不等式恒成立,只需g (x )max =23+a ≤4,即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤0,103.第二节 不等式的证明本节重点突破1个知识点:不等式的证明.突破点 不等式的证明[基本知识]1.基本不等式(1)作差法的依据是:a -b >0⇔a >b .(2)作商法:若B >0,欲证A ≥B ,只需证A B≥1.3.综合法与分析法[基本能力]1.判断题(1)已知x 为正实数,则1+x +1x≥3.( )(2)若a >2,b >2,则a +b >ab .( ) (3)设x =a +2b ,S =a +b 2+1则S ≥x .( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ 2.填空题(1)已知a ,b ∈R +,a +b =2,则1a +1b的最小值为________.解析:∵a ,b ∈R +,且a +b =2,∴(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +1b =2+b a +a b ≥2+2b a ·a b =4,∴1a +1b ≥4a +b =2,即1a +1b 的最小值为2(当且仅当a =b =1时,“=”成立).答案:2(2)已知正实数a ,b 满足2ab =a +b +12,则ab 的最小值是________.解析:由2ab =a +b +12,得2ab ≥2ab +12,当且仅当a =b 时等号成立.化简得(ab -3)(ab +2)≥0,解得ab ≥9,所以ab 的最小值是9.答案:9(3)已知a ,b ,c 是正实数,且a +b +c =1,则1a +1b +1c的最小值为________.解析:把a +b +c =1代入1a +1b +1c,得a +b +c a+a +b +c b+a +b +cc=3+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b +b c≥3+2+2+2=9,当且仅当a =b =c =13时,等号成立.答案:9(4)设x =a 2b 2+5,y =2ab -a 2-4a ,若x >y ,则实数a ,b 应满足的条件为________________.解析:若x >y ,则x -y =a 2b 2+5-(2ab -a 2-4a ) =a 2b 2-2ab +a 2+4a +5 =(ab -1)2+(a +2)2>0, ∴ab ≠1或a ≠-2. 答案:ab ≠1或a ≠-2[全析考法][例1] 求证:(1)当x ∈R 时,1+2x 4≥2x 3+x 2; (2)当a ,b ∈(0,+∞)时,a a b b ≥(ab )a +b 2.[证明] (1)法一:(1+2x 4)-(2x 3+x 2) =2x 3(x -1)-(x +1)(x -1) =(x -1)(2x 3-x -1) =(x -1)(2x 3-2x +x -1) =(x -1)[2x (x 2-1)+(x -1)] =(x -1)2(2x 2+2x +1) =(x -1)2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +122+12≥0,所以1+2x 4≥2x 3+x 2. 法二:(1+2x 4)-(2x 3+x 2) =x 4-2x 3+x 2+x 4-2x 2+1 =(x -1)2·x 2+(x 2-1)2≥0, 所以1+2x 4≥2x 3+x 2. (2)a ab b aba +b 2=a a -b 2b b -a 2=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b a -b 2,∴当a =b 时,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b a -b2=1,当a >b >0时,a b>1,a -b 2>0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b a -b2>1, 当b >a >0时,0<a b<1,a -b 2<0,则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b a -b 2>1,∴a a b b ≥(ab )a +b 2. [方法技巧]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.综合法证明不等式[例2] 已知a ,b ,c >0且互不相等,abc =1.试证明:a +b +c <1a +1b +1c.[证明] 因为a ,b ,c >0,且互不相等,abc =1, 所以a +b +c =1bc+1ac+1ab<1b +1c 2+1a +1c 2+1a +1b 2=1a +1b +1c,即a +b +c <1a +1b +1c.[方法技巧]综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0;|a |≥0. (2)a 2+b 2≥2ab . (3)a +b 2≥ab ,它的变形形式有:a +1a ≥2(a >0);a b +b a ≥2(ab >0);ab+b a≤-2(ab <0).分析法证明不等式[例3] (2018·福建毕业班质量检测)已知函数f (x )=|x +1|. (1)求不等式f (x )<|2x +1|-1的解集M ; (2)设a ,b ∈M ,证明:f (ab )>f (a )-f (-b ). [解] (1)由题意,|x +1|<|2x +1|-1,①当x ≤-1时,不等式可化为-x -1<-2x -2,解得x<-1;②当-1<x<-12时,不等式可化为x+1<-2x-2,解得x<-1,此时不等式无解;③当x≥-12时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.综上,M={x|x<-1或x>1}.(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以,要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.[方法技巧]分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式⎝⎛⎭⎪⎪⎫ab ≤a +b2,a >0,b >0没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.[全练题点]1.[考点三]设x ≥1,y ≥1,求证x +y +1xy ≤1x +1y+xy .证明:由于x ≥1,y ≥1, 要证x +y +1xy ≤1x +1y+xy ,只需证xy (x +y )+1≤y +x +(xy )2. 因为[y +x +(xy )2]-[xy (x +y )+1] =[(xy )2-1]-[xy (x +y )-(x +y )] =(xy +1)(xy -1)-(x +y )(xy -1) =(xy -1)(xy -x -y +1) =(xy -1)(x -1)(y -1),因为x ≥1,y ≥1,所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0, 从而所要证明的不等式成立.2.[考点一]设不等式|2x -1|<1的解集为M . (1)求集合M .(2)若a ,b ∈M ,试比较ab +1与a +b 的大小. 解:(1)由|2x -1|<1得-1<2x -1<1,解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.(2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1,所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.故ab+1>a+b.3.[考点二]已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.(1)证明:若a+d>b+c,则|a-d|>|b-c|;(2)t·a2+b2c2+d2=a4+c4+b4+d4,求实数t的取值范围.解:(1)证明:由a+d>b+c,且a,b,c,d均为正数,得(a+d)2>(b +c)2,又ad=bc,所以(a-d)2>(b-c)2,即|a-d|>|b-c|.(2)因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以t·a2+b2c2+d2=t(ac+bd).由于a4+c4≥2ac,b4+d4≥2bd,又已知t·a2+b2c2+d2=a4+c4+b4+d4,则t(ac+bd)≥2(ac+bd),故t≥2,当且仅当a=c,b=d时取等号.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3 =2+3ab (a +b )≤2+3 a +b 24(a +b )=2+3 a +b 34,所以(a +b )3≤8,因此a +b ≤2.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -12+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +12,M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |.解:(1)f (x )=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x <2,解得x >-1,所以-1<x ≤12;当-12<x <12时,f (x )<2恒成立;当x ≥12时,由f (x )<2得2x <2,解得x <1, 所以12≤x <1.所以f (x )<2的解集M ={x |-1<x <1}.(2)证明:由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a +b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a +b |<|1+ab |.[课时达标检测] 1.(2018·武汉调研)若正实数a ,b 满足a +b =12,求证:a +b ≤1.证明:要证 a +b ≤1,只需证a +b +2ab ≤1,即证2ab ≤12,即证ab ≤14.而a +b =12≥2ab ,∴ab ≤14成立,∴原不等式成立.2.已知函数f (x )=|x +3|+|x -1|,其最小值为t . (1)求t 的值;(2)若正实数a ,b 满足a +b =t ,求证:1a +4b ≥94.解:(1)因为|x +3|+|x -1|=|x +3|+|1-x |≥|x +3+1-x |=4,所以f (x )min =4,即t =4.(2)证明:由(1)得a +b =4,故a 4+b4=1,1a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4+b 4=14+1+b 4a+a b ≥54+2b 4a ×a b =54+1=94,当且仅当b =2a ,即a =43,b =83时取等号,故1a +4b ≥94. 3.设不等式-2<|x -1|-|x +2|<0的解集为M ,a ,b ∈M . (1)证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a +16b <14;(2)比较|1-4ab |与2|a -b |的大小,并说明理由. 解:(1)证明:记f (x )=|x -1|-|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧3,x ≤-2,-2x -1,-2<x <1,-3,x ≥1.由-2<-2x -1<0解得-12<x <12,则M =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12,12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a +16b ≤13|a |+16|b |<13×12+16×12=14.(2)由(1)得a 2<14,b 2<14.因为|1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=(4a 2-1)(4b 2-1)>0.所以|1-4ab |2>4|a -b |2, 故|1-4ab |>2|a -b |.4.(2018·广州模拟)已知x ,y ,z ∈(0,+∞),x +y +z =3. (1)求1x +1y +1z的最小值;(2)证明:3≤x 2+y 2+z 2<9.解:(1)因为x +y +z ≥33xyz >0,1x +1y +1z≥33xyz>0,所以(x +y +z )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1y +1z ≥9,即1x +1y +1z ≥3,当且仅当x =y =z =1时,1x +1y +1z取得最小值3. (2)证明:x 2+y 2+z 2 =x 2+y 2+z 2+ x 2+y 2 + y 2+z 2 + z 2+x 23≥x 2+y 2+z 2+2 xy +yz +zx3=x +y +z 23=3,当且仅当x =y =z =1时等号成立.又因为x 2+y 2+z 2-9=x 2+y 2+z 2-(x +y +z )2=-2(xy +yz +zx )<0, 所以3≤x 2+y 2+z 2<9.5.(2018·安徽百所重点高中模拟)已知a >0,b >0,函数f (x )=|2x +a |+2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -b 2+1的最小值为2.(1)求a +b 的值;(2)求证:a +log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b ≥3-b .解:(1)因为f (x )=|2x +a |+|2x -b |+1≥|2x +a -(2x -b )|+1=|a +b |+1,当且仅当(2x +a )(2x -b )≤0时,等号成立, 又a >0,b >0,所以|a +b |=a +b ,所以f (x )的最小值为a +b +1=2,所以a +b =1. (2)由(1)知,a +b =1,所以1a +4b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b =1+4+b a +4a b ≥5+2b a ·4a b =9,当且仅当b a=4a b且a +b =1,即a =13,b =23时取等号.所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b ≥log 39=2,所以a +b +log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b ≥1+2=3,即a +log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a +4b ≥3-b .6.(2018·长沙模拟)设α,β,γ均为实数.(1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α|+|sin β|,|sin(α+β)|≤|cos α|+|cos β|;(2)若α+β+γ=0,证明:|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥1.证明:(1)|cos(α+β)|=|cos αcos β-sin αsin β|≤|cos αcos β|+|sin αsin β|≤|cos α|+|sin β|;|sin(α+β)|=|sin αcos β+cos αsin β|≤|sin αcos β|+|cos αsin β|≤|cos α|+|cos β|.(2)由(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cos α|+|sin(β+γ)|≤|cos α|+|cos β|+|cos γ|,而α+β+γ=0,故|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥cos 0=1.7.(2018·安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f (x )=|x -2|. (1)解不等式:f (x )+f (x +1)≤2; (2)若a <0,求证:f (ax )-af (x )≥f (2a ).解:(1)由题意,得f (x )+f (x +1)=|x -1|+|x -2|. 因此只要解不等式|x -1|+|x -2|≤2.当x ≤1时,原不等式等价于-2x +3≤2,即12≤x ≤1;当1<x ≤2时,原不等式等价于1≤2,即1<x ≤2; 当x >2时,原不等式等价于2x -3≤2,即2<x ≤52.综上,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|12≤x ≤52. (2)证明:由题意得f (ax )-af (x )=|ax -2|-a |x -2|=|ax -2|+|2a -ax |≥|ax -2+2a -ax |=|2a -2|=f (2a ),所以f (ax )-af (x )≥f (2a )成立.8.(2018·重庆模拟)设a ,b ,c ∈R +且a +b +c =1. 求证:(1)2ab +bc +ca +c 22≤12;(2)a 2+c 2b+b 2+a 2c+c 2+b 2a≥2.证明:(1)因为1=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥4ab +2bc +2ca +c 2,当且仅当a =b 时等号成立, 所以2ab +bc +ca +c 22=12(4ab +2bc +2ca +c 2)≤12.(2)因为a 2+c 2b≥2ac b,b 2+a 2c≥2ab c,c 2+b 2a≥2bc a,当且仅当a =b =c =13时等号成立.所以a 2+c 2b+b 2+a 2c+c 2+b 2a≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ac b+ab c +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ab c +bc a +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ac b +bc a =a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cb +bc +b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a c +c a +c ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b +b a ≥2a +2b +2c =2, 当且仅当a =b =c =13时等号成立.。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第1节 绝对值不等式

(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
--3, ≤
1
-3,
解:(1)由题设知 f(x)= 5-1,- 1 < ≤ 1,
3
+ 3, > 1.
y=f(x)的图象如图所示.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.
- 2 -2 + 8, > 6.
当x≤-2时,g(x)单调递增,g(x)≤g(-2)=-8;
当-2<x≤6时,g(x)≤g(0)=-4;
当x>6时,g(x)单调递减,g(x)<g(6)=-40.
所以g(x)max=-4,因此m≥-4,即实数m的取值范围是[-4,+∞).
规律方法 在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x-1)的解集.
-4-2, < -1,
解:(1)根据题意,f(x)=|x-1|+3|x+1|= 2 + 4,-1 ≤ ≤ 1,则对应图象如下图.
4 + 2, > 1,
(2)设 g(x)=f(x)-f(x-1),
-4, < -1,
出结论.
(2)综合法:从
已知条件
质等,经过一系列的 推理
出发,利用 定义 、公理、 定理 、性
、 论证 而得出命题成立,这种证明方法叫做
综合法.综合法又叫顺推论证法或由因导果法.
(3)分析法:证明命题时,从 要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的
充分条件 ,直至所需条件为 已知条件
高考数学(文)一轮复习 选修4-5-1绝对值不等式

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板块三
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4.|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a, b 的距离之和.( √ )
5 . 不 等 式 |a - b|≤|a| + |b| 等 号 成 立 的 条 件 是 ab≤0.( √ )
Байду номын сангаас
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(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, 即 f(x)的最小值等于 4, ∴|a-1|>4,解此不等式得 a<-3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).
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(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴 上到点 x1=a 和 x2=b 的距离之和大于 c 的全体,|x-a|+|x -b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|.
(3)图象法:作出函数 y1=|x-a|+|x-b|和 y2=c 的图象, 结合图象求解.
+a3=a.
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(2)[2017·忻州模拟]已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. ①求 m+n 的值; ②若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
[解] ①由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1,得 1≤x≤2,∴m=1,n=2,m+n=3.
2020届高考一轮复习数学(理科)选修4-5 不等式选讲第一节 绝对值不等式

第一节 绝对值不等式
最新考纲
考情索引
1.理解绝对值的几何意
义,并能利用含绝对值
不等式的几何意义证明 2018·全国卷Ⅱ,T23
以下不等式:|a+
2018·全国卷Ⅰ,T23
b|≤|a|+|b|;|a-b|≤|a 2018·全国卷Ⅲ,T23
-c|+|c-b|.
2017·全国卷Ⅰ,T23
1.求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式, 即|a|+|b|≥|a±b|≥|a|-|b|;(3)利用零点分区间法.
2.含绝对值不等式的证明中,关键是绝对值三角不 等式的活用.
[变式训练] 对任意实数 a,b 已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有 |4a-3b+2|≤m,求实数 m 的最小值. 解:因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以 f(-1)≥2 且 f(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以 a 的值范围为[-1,1].
1.本题利用分段函数的图形的几何直观性,求解不 等式,体现了数形结合的思想.
2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的 零点分段法的一般步骤:求零点,划分区间,去绝对值 符号;分段解不等式,求各段的并集.此外,还常用绝 对值的几何意义,结合数轴直观求解.
角度 绝对值不等式有解问题 【例 2】 (2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=|x+1|-|x -2|. (1)求不等式 f(x)≥1 的解集; (2)若不等式 f(x)≥x2-x+m 的解集非空,求 m 的取 值范围. 解:(1)f(x)=- 2x-3,1,x<--1≤1,x≤2,
3,x>2. 当 x<-1 时,f(x)≥1 无解;
可得 f(x)≥0 的解集为{x|-2≤x≤3}.
高考数学大一轮复习 第1节 绝对值不等式课件 文 新人教版选修4-5

[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·江西高考)对任意 x,y∈R,|x-1|+
|x|+|y-1|+|y+1| 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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13
(2)(2012·江苏高考)已知实数 x,y 满足:|x+y|<13,|2x- y|<16,求证:|y|<158.
【思路点拨】 (1)利用三角不等式直接求解. (2)由|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|结合三角不等式求解.
由题设知|x+y|<13,|2x-y|<16, 从而 3|y|<23+16=56, 所以|y|<158.
精选ppt
16
含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是比较简单的 不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的 不等式的证明,另一类是利用绝对值三角不等式: ||a|- |b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添加、拆项证明,但一定注 意放缩要适当.
x≥a, x-a+3x≤0
或ax<-ax+,3x≤0,
x≥a, x<a,
即x≤a4
或x≤-a2.
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4
因为 a>0,所以不等式组的解集为xx≤-a2
.
由题设可得-a2=-1,故 a=2.
精选ppt
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2.(2012·课标全国卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.
∵|x-a|<1,
∴|x-a||(x-a)+(2a-1)|<|(x-a)+(2a-1)|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(1+|a|).
高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第1讲绝对值不等式课件文新人教A版

解:(1)因为 f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1, 即x2≥ x-12, 1<x+1,或01<-x2<x12<,x+1,或x1≤-02,x<-x+1, 得12≤x<2 或 0<x<12或无解. 故不等式 f(x)<|x|+1 的解集为{x|0<x<2}. (2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+ 1|≤2×13+16=56<1.
二、教材衍化 1.求不等式 3≤|5-2x|<9 的解集.
解:由题意得||22xx--55||<≥93,,即- 2x-9<52≥x-3或5<29x,-5≤-3,解得- x≥2<4或x<x7≤,1,不等式的解集 为(-2,1]∪[4,7).
2.求不等式|x+1|+|x-2|≤5 的解集.
解
:
不
等
式
绝对值不等式的综合应用(师生共研) (2018·高考全国卷Ⅰ )已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)=- 2x,2,-x≤ 1<-x<11,,故不等式 f(x)>1
(2)f(x)≤|2a+1|有解等价于 f(x)min≤|2a+1|. 2-3x(x<0)
f(x)=|x|+2|x-1|=2-x(0≤x≤1), 3x-2(x>1)
故 f(x)的最小值为 1, 所以 1≤|2a+1|,得 2a+1≤-1 或 2a+1≥1, 解得 a≤-1 或 a≥0, 故实数 a 的取值范围为(-∞,-1]∪[0,+∞).
2022高考数学(理)一轮通用版讲义:选修4-5-1绝对值不等式

选修4-5不等式选讲第一节绝对值不等式1理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:1|a+b|≤|a|+|b|a,b∈R;2|a-b|≤|a-c|+|c-b|a,b,c∈R 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|a +b|≤c;|a+b|≥c;|-c|+|-b|≥a突破点一绝对值不等式的解法1含绝对值的不等式||<a与||>a的解集不等式a>0a=0a<0|∅∅2|a+|≤,|+|≥>0型不等式的解法①|a+b|≤c⇔-c≤a+b≤c;②|a+b|≥c⇔a+b≥c或a+b≤-c3|-a|+|-b|≥c,|-a|+|-b|≤cc>0型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解;②利用零点分段法求解;③构造函数,利用函数的图象求解.一、判断题对的打“√”,错的打“×”1不等式||<a的解集为{|-a<<a}.2|-a|+|-b|的几何意义是表示数轴上的点到点a,b的距离之和.3不等式|2-3|≤5的解集为{|-1≤≤4}.答案:1×2√3√二、填空题1.不等式|+1|-|-2|≥1的解集是________.答案:[1,+∞2.若不等式|-4|≤2的解集为{|1≤≤3},则实数=________答案:23.函数y=|-4|+|+4|的最小值为________.答案:8[典例] 解下列不等式:1|2+1|-2|-1|>0;2|+3|-|2-1|<+1[解] 1法一:原不等式可化为|2+1|>2|-1|,两边平方得42+4+1>42-2+1,解得>,所以原不等式的解集为法二:原不等式等价于或或解得>,所以原不等式的解集为2①当<-3时,原不等式化为-+3-1-2<+1,解得<10,∴<-3②当-3≤≤时,原不等式化为+3-1-2<+1,解得<-,∴-3≤<-③当>时,原不等式化为+3-2-1<+1,解得>2,∴>2综上可知,原不等式的解集为[方法技巧]绝对值不等式的常用解法1基本性质法对a∈R+,||<a⇔-a<<a,||>a⇔<-a或>a2平方法两边平方去掉绝对值符号.3零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解.[针对训练]1.2022·广州模拟已知函数f=|+a|1当a=1时,求不等式f≤|2+1|-1的解集;2若函数g=f-|+3|的值域为A,且[-2,1]⊆A,求a的取值范围.解:1当a=1时,f=|+1|,①当≤-1时,原不等式可化为--1≤-2-2,解得≤-1;②当-1<<-时,原不等式可化为+1≤-2-2,解得≤-1,此时原不等式无解;③当≥-时,原不等式可化为+1≤2,解得≥1综上可知,原不等式的解集为{|≤-1或≥1}.2因为||+a|-|+3||≤|+a-+3|=|a-3|,所以g=f-|+3|=|+a|-|+3|∈[-|a-3|,|a-3|].所以函数g的值域A=[-|a-3|,|a-3|].因为[-2,1]⊆A,所以解得a≤1或a≥5所以a的取值范围是-∞,1]∪[5,+∞.2.2022·全国卷Ⅰ已知f=|+1|-|a-1|1当a=1时,求不等式f>1的解集;2若∈0,1时不等式f>成立,求a的取值范围.解:1当a=1时,f=|+1|-|-1|,即f=故不等式f>1的解集为2当∈0,1时|+1|-|a-1|>成立等价于当∈0,1时|a-1|<1成立.若a≤0,则当∈0,1时,|a-1|≥1;若a>0,则|a-1|<1的解集为,所以≥1,故0<a≤2综上,a的取值范围为0,2].突破点二绝对值三角不等式绝对值三角不等式定理定理1如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立定理2如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当a-bb-c≥0时,等号成立一、判断题对的打“√”,错的打“×”1|a+b|+|a-b|≥|2a|2不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0答案:1√2√二、填空题1.设a,b为满足ab<0的实数,那么下列正确的是________填序号.①|a+b|>|a-b|;②|a+b|<|a-b|;③|a-b|<||a|-|b||; ④|a-b|<|a|+|b|解析:∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|答案:②2.若存在实数使|-a|+|-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析:∵|-a|+|-1|≥|-a--1|=|a-1|,要使|-a|+|-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4答案:[-2,4]3.若|-1|≤1,|y-2|≤1,则|-2y+1|的最大值为________.解析:|-2y+1|=|-1-2y-2-2|≤|-1|+2|y-2|+2≤5答案:5考法一证明绝对值不等式[例1] 已知,y∈R,且|+y|≤,|-y|≤,求证:|+5y|≤1[证明] ∵|+5y|=|3+y-2-y|,∴由绝对值不等式的性质,得|+5y|=|3+y-2-y|≤|3+y|+|2-y|=3|+y|+2|-y|≤3×+2×=1即|+5y|≤1[方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法1利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.2利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.3转化为函数问题,数形结合进行证明.考法二与绝对值不等式有关的参数范围问题[例2] 设函数f=|+3|,g=|2-1|1解不等式f<g;2若2f+g>a+4对任意的实数恒成立,求a的取值范围.[解] 1由已知,可得|+3|<|2-1|,即|+3|2<|2-1|2,则有32-10-8>0,∴<-或>4故所求不等式的解集为∪4,+∞.2设h=2f+g=2|+3|+|2-1|=当≤-3时,-4-5>a+4,即a<-4-9,∵≤-3<0,∴a>=-4-∴a>ma,∴a>-1当-3<<时,7>a+4,即a-3<0则∴∴-1≤a≤6当≥时,4+5>a+4,即a<4+1∵≥>0,∴a<=4+∵4+>4,且无限趋近于4,∴a≤4综上,a的取值范围是-1,4].[方法技巧]两招解不等式问题中的含参问题已知f=|+2|-|2-1|,M为不等式f>0的解集.1求M;2求证:当,y∈M时,|+y+y|<15解:1f=当<-2时,由-3>0,得>3,舍去;当-2≤≤时,由3+1>0,得>-,即-<≤;当>时,由-+3>0,得<3,即<<3,综上,M=2证明:∵,y∈M,∴||<3,|y|<3,∴|+y+y|≤|+y|+|y|≤||+|y|+|y|=||+|y|+||·|y|<3+3+3×3=15已知函数f=|+1-2a|+|-a2|,a∈R,g=2-2-4+1若f2a2-1>4|a-1|,求实数a的取值范围;2若存在实数,y,使f+gy≤0,求实数a的取值范围.解:1∵f2a2-1>4|a-1|,∴|2a2-2a|+|a2-1|>4|a-1|,∴|a-1|2|a|+|a+1|-4>0,∴|2a|+|a+1|>4且a≠1①若a≤-1,则-2a-a-1>4,∴a<-;②若-1<a<0,则-2a+a+1>4,∴a<-3,此时无解;③若a≥0且a≠1,则2a+a+1>4,∴a>1综上所述,a的取值范围为∪1,+∞.2∵g=-12+-5≥2-5=-1,显然可取等号,∴g min=-1于是,若存在实数,y,使f+gy≤0,只需f min≤1又f=|+1-2a|+|-a2|≥|+1-2a--a2|=a-12,∴a-12≤1,∴-1≤a-1≤1,∴0≤a≤2,即实数a的取值范围为[0,2].[课时跟踪检测]1.2022·广东宝安中学等七校联考已知函数f=|2-1|-|-a|,a∈R1当a=1时,解不等式f<1;2当∈-1,0时,f>1有解,求a的取值范围.解:1当a=1时,f=|2-1|-|-1|=当≤时,-<1,解得>-1,∴-1<≤;当<≤1时,3-2<1,解得<1,∴<<1;当>1时,<1,无解.综上所述,不等式f<1的解集为{|-1<<1}.2当∈-1,0时,f>1有解⇔|-a|<-2有解⇔2<-a<-2有解⇔3<a<-有解,∵3>-3,-<1,∴-3<a<1,即实数a的取值范围是-3,1.2.2022·惠州调研已知函数f=|2-1|+|+1|,g=|-a|+|+a|1解不等式f>9;2∀1∈R,∃2∈R,使得f1=g2,求实数a的取值范围.解:1f=f>9等价于或或综上,原不等式的解集为{|>3或<-3}.2|-a|+|+a|≥2|a|由1知f≥f=,所以2|a|≤,-<a<,所以实数a的取值范围是3.2022·陕西部分学校摸底测试已知函数f=2|+1|+|-a|a∈R.1若a=1,求不等式f≥5的解集;2若函数f的最小值为3,求实数a的值.解:1若a=1,则f=2|+1|+|-1|=当≥1时,3+1≥5,即≥,∴≥;当-1<<1时,+3≥5,即≥2,此时无解;当≤-1时,-3-1≥5,即≤-2,∴≤-2综上所述,不等式f≥5的解集为2当a=-1时,f=3|+1|的最小值为0,不符合题意;当a>-1时,f=∴f min=f-1=1+a=3,此时a=2;当a<-1时,f=∴f min=f-1=-1-a=3,此时a=-4综上所述,a=2或a=-44.2022·惠州模拟已知函数f=m-|-1|-|+1|1当m=5时,求不等式f>2的解集;2若二次函数y=2+2+3的图象与函数f的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.解:1当m=5时,f=由f>2得不等式的解集为2二次函数y=2+2+3=+12+2,该函数在=-1处取得最小值2,因为f=在=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=2+2+3的图象与函数f的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4所以实数m的取值范围为[4,+∞.5.2022·长春模拟设不等式||+1|-|-1||<2的解集为A 1求集合A;2若a,b,c∈A,求证:>1解:1由已知,令f=|+1|-|-1|=由|f|<2得-1<<1,即A={|-1<<1}.2证明:要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b2>c21-a2b2,只需证1-a2b21-c2>0,由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,所以1-a2b21-c2>0恒成立.综上,>16.2022·太原模拟已知函数f=|-a|+a≠0.1若不等式f-f+m≤1恒成立,求实数m的最大值;2当a<时,函数g=f+|2-1|有零点,求实数a的取值范围.解:1∵f=|-a|+a≠0,∴f+m=|+m-a|+,∴f-f+m=|-a|-|+m-a|≤|m|,∴|m|≤1,∴-1≤m≤1,∴实数m的最大值为12当a<时,g=f+|2-1|=|-a|+|2-1|+=又函数g有零点,∴g min=g=-a+=≤0,∴或∴-≤a<0,∴实数a的取值范围是7.2022·全国卷Ⅱ设函数f=5-|+a|-|-2|1当a=1时,求不等式f≥0的解集;2若f≤1,求a的取值范围.解:1当a=1时,f=当<-1时,由2+4≥0,解得-2≤<-1;当-1≤≤2时,显然满足题意;当>2时,由-2+6≥0,解得2<≤3,故f≥0的解集为{|-2≤≤3}.2f≤1等价于|+a|+|-2|≥4而|+a|+|-2|≥|a+2|,且当=2时等号成立.故f≤1等价于|a+2|≥4由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2所以a的取值范围是-∞,-6]∪[2,+∞.8.2022·沈阳模拟已知函数f=|-a|+3,其中a∈R 1当a=1时,求不等式f≥3+|2+1|的解集;2若不等式f≤0的解集为{|≤-1},求a的值.解:1当a=1时,f=|-1|+3,由f≥3+|2+1|,得|-1|-|2+1|≥0,当>1时,-1-2+1≥0,得≤-2,无解;当-≤≤1时,1--2+1≥0,得-≤≤0;当<-时,1-+2+1≥0,得-2≤<-∴不等式的解集为{|-2≤≤0}.2法一:由|-a|+3≤0,可得或即或当a>0时,不等式的解集为由-=-1,得a=2当a=0时,不等式的解集为,不合题意.当a<0时,不等式的解集为由=-1,得a=-4综上,a=2或a=-4法二:当≥a时,f=4-a,函数f为增函数,由不等式f≤0的解集为{|≤-1}得,f-1=4×-1-a=0,得a=-4当<a时,f=2+a,函数f为增函数,由不等式f≤0的解集为{|≤-1}得,f-1=2×-1+a=0,得a=2经检验,a=2或a=-4都符合题意,故a的值为2或-4。
新高考数学一轮总复习课件选修4-5第一节绝对值不等式

【备选例题】 (2020·惠州模拟)已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥3, 即|x+1|+|x|≥3. 当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2, 所以x≤-2; 当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解; 当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1. 综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
梳理自测 通必备知识
1.绝对值三角不等式
三角不等式1:|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件为_a_b_≥__0_. 三角不等式2:|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立的条件为(__a_-__b_)_(_b_-__c_)_≥__0_.
【微提示】 由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式.
(2)当x∈[0,1]时,由f(x)≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x, 即|2x+m|≤2-x,故x-2≤2x+m≤2-x, 解得-x-2≤m≤2-3x, 又由题意知:(-x-2)min≤m≤(2-3x)max, 即-3≤m≤2,故m的取值范围为[-3,2].
绝对值不等式性质的应用 【典例 2】(1)对任意 x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值; (2)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.
(-∞,-a) ∪(a,+∞)
a=0 ∅
(-∞,0) ∪(0, R
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第1讲不等式、含有绝对值的不等式[最新考纲]1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.掌握|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b| ≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式a>0a=0a<0 |x|<a {x|-a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a,或x<-a}{x|x∈R,且x≠0}R①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.诊断自测1.不等式1<|x+1|<3的解集为________.解析数轴上的点到-1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集.答案(-4,-2)∪(0,2)2.设ab>0,下面四个不等式中,正确命题的序号是________.①|a +b |>|a |;②|a +b |<|b |;③|a +b |<|a -b |;④|a +b |>|a |-|b |. 解析 ∵ab >0,∴a ,b 同号,∴|a +b |=|a |+|b |,∴①和④正确. 答案 ①④3.不等式|x -8|-|x -4|>2的解集为________.解析令:f (x )=|x -8|-|x -4|=⎩⎨⎧4,x ≤4,-2x +12,4<x ≤8,-4,x >8,当x ≤4时,f (x )=4>2;当4<x ≤8时,f (x )=-2x +12>2,得x <5, ∴4<x <5;当x >8时,f (x )=-4>2不成立. 故原不等式的解集为:{x |x <5}. 答案 {x |x <5}4.(2012·山东卷)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =________. 解析 ∵|kx -2|≤2,∴-2≤kx -4≤2,∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3},∴k =2. 答案 25.已知关于x 的不等式|x -1|+|x |≤k 无解,则实数k 的取值范围是________. 解析 ∵|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,∴当k <1时,不等式|x -1|+|x |≤k 无解,故k <1.答案 (-∞,1)考点一 含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x -1|+|x +2|≥5.解 法一 如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A ,B ,则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然,区间[-2,1]不是不等式的解集.把A 向左移动一个单位到点A 1,此时A 1A +A 1B =1+4=5.把点B 向右移动一个单位到点B 1,此时B 1A +B 1B =5,故原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).法二 原不等式|x -1|+|x +2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤-2,-(x -1)-(x +2)≥5或⎩⎨⎧-2<x <1,-(x -1)+x +2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1,x -1+x +2≥5,解得x ≥2或x ≤-3, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).法三 将原不等式转化为|x -1|+|x +2|-5≥0. 令f (x )=|x -1|+|x +2|-5,则f (x )=⎩⎨⎧-2x -6,x ≤-2,-2,-2<x <1,2x -4,x ≥1.作出函数的图象,如图所示.由图象可知,当x ∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y ≥0, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).规律方法 形如|x -a |+|x -b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞,a ],(a ,b ],(b ,+∞)(此处设a <b )三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.(2)几何法:利用|x -a |+|x -b |>c (c >0)的几何意义:数轴上到点x 1=a 和x 2=b 的距离之和大于c 的全体,|x -a |+|x -b |≥|x -a -(x -b )|=|a -b |. (3)图象法:作出函数y 1=|x -a |+|x -b |和y 2=c 的图象,结合图象求解. 【训练1】 解不等式|x +3|-|2x -1|<x2+1.解 ①当x <-3时,原不等式化为-(x +3)-(1-2x )<x2+1,解得x <10,∴x <-3.②当-3≤x <12时,原不等式化为(x +3)-(1-2x )<x 2+1,解得x <-25,∴-3≤x <-25.③当x ≥12时,原不等式化为(x +3)-(2x -1)<x2+1,解得x >2,∴x >2.综上可知,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-25,或x >2. 考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 已知不等式|x +1|-|x -3|>a .分别求出下列情形中a 的取值范围. (1)不等式有解; (2)不等式的解集为R ; (3)不等式的解集为∅.解 法一 因为|x +1|-|x -3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (-1),B (3)距离的差,即|x +1|-|x -3|=P A -PB . 由绝对值的几何意义知, P A -PB 的最大值为AB =4, 最小值为-AB =-4, 即-4≤|x +1|-|x -3|≤4.(1)若不等式有解,a 只要比|x +1|-|x -3|的最大值小即可,故a <4. (2)若不等式的解集为R ,即不等式恒成立, 只要a 比|x +1|-|x -3|的最小值还小,即a <-4.(3)若不等式的解集为∅,a 只要不小于|x +1|-|x -3|的最大值即可,即a ≥4.法二 由|x +1|-|x -3|≤|x +1-(x -3)|=4. |x -3|-|x +1|≤|(x -3)-(x +1)|=4. 可得-4≤|x +1|-|x -3|≤4. (1)若不等式有解,则a <4; (2)若不等式的解集为R ,则a <-4; (3)若不等式解集为∅,则a ≥4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条件的x 即可;不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集∅的对立面(如f (x )>m 的解集是空集,则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ,f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min . 【训练2】 设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 解 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3,或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ,a -x +3x ≤0, 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-a2. 由题设可得-a2=-1,故a =2.考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3. (1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >-1,且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.解 (1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =⎩⎪⎨⎪⎧-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1,其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12时,f (x )=1+a ,不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3, 所以x ≥a -2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,12都成立,应有-a 2≥a -2,则a ≤43,从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-1,43.规律方法 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根.把这些根从小到大排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集.【训练3】 (2012·新课标全国卷)已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|. (1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解(1)当a =-3时,f (x )=⎩⎨⎧-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x +5≥3,解得x ≤1; 当2<x <3时,f (x )≥3无解; 当x ≥3时,由f (x )≥3得 2x -5≥3,解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1,或x ≥4}. (2)f (x )≤|x -4|⇔|x -4|-|x -2|≥|x +a |.当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a |⇔4-x -(2-x )≥|x +a |⇔-2-a ≤x ≤2-a . 由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2, 即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围是[-3,0].绝对值三角不等式的应用【典例】 (2013·福建卷)设不等式|x -2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A . (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.[审题视点] (1)利用条件32∈A ,12∉A ,建立不等式,求a 的值; (2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解. 解 (1)∵32∈A ,12∉A .∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-2<a ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2≥a ,因此12<a ≤32, 又a ∈N *,从而a =1.(2)由(1)知,f (x )=|x +1|+|x -2|, 又|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时等号成立. 故f (x )的最小值为3.[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b|,通过适当的添、拆项来放缩求解.【自主体验】1.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+4a对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.解析当a<0时,显然成立;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+4a≤4.∴a=2.综上可知a的取值范围是(-∞,0)∪{2}.答案(-∞,0)∪{2}2.(2012·陕西卷)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.答案[-2,4]一、填空题1.不等式|2x -1|<3的解集为________. 解析 |2x -1|<3⇔-3<2x -1<3⇔-1<x <2. 答案 (-1,2)2.不等式|2x -1|-|x -2|<0的解集为________. 解析 法一 原不等式即为|2x -1|<|x -2|, ∴4x 2-4x +1<x 2-4x +4,∴3x 2<3,∴-1<x <1. ∴原不等式解集为{x |-1<x <1|}. 法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎨⎧x ≥2,2x -1-(x -2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2,2x -1+(x -2)<0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12,-(2x -1)+(x -2)<0.不等式组①无解,由②得12<x <1,由③得-1<x ≤12. 综上得-1<x <1,所以原不等式的解集为{x |-1<x <1}. 答案 {x |-1<x <1}3.(2012·广东卷)不等式|x +2|-|x |≤1的解集为________.解析 ①当x ≤-2时,原不等式可化为-x -2+x ≤1,该不等式恒成立. ②当-2<x <0时,原不等式可化为x +2+x ≤1, ∴2x ≤-1,∴x ≤-12,∴-2<x ≤-12.③当x ≥0时,原不等式可化为x +2-x ≤1,不成立.综上,原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-12. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-12 4.若不等式|3x -b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b 的取值范围为________.解析 由|3x -b |<4得-4<3x -b <4, 即-4+b 3<x <4+b 3,∵不等式|3x -b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤-4+b 3<13<4+b 3≤4⇒⎩⎨⎧4≤b <7,5<b ≤8,∴5<b <7. 答案 (5,7)5.(2013·江西卷)在实数范围内,不等式||x -2|-1|≤1(x ∈R )的解集是________. 解析 由||x -2|-1|≤1,得-1≤|x -2|-1≤1,即0≤|x -2|≤2, ∴-2≤x -2≤2,∴0≤x ≤4. 答案 {x |0≤x ≤4}6.不等式|x +1|-|x -2|>k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是________. 解析 法一 根据绝对值的几何意义,设数x ,-1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ,则原不等式等价于P A -PB >k 恒成立.∵AB =3,即|x +1|-|x -2|≥-3. 故当k <-3时,原不等式恒成立.法二 令y =|x +1|-|x -2|,则y =⎩⎨⎧-3,x ≤-1,2x -1,-1<x <2,3,x ≥2,要使|x +1|-|x -2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要k <-3即可. 故k <-3满足题意. 答案 (-∞,-3)7.若关于x 的不等式|a |≥|x +1|+|x -2|存在实数解,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )=|x +1|+|x -2|=⎩⎨⎧-2x +1(x ≤-1),3 (-1<x <2),2x -1 (x ≥2),∴f (x )≥3.要使|a |≥|x +1|+|x -2|有解, ∴|a |≥3,即a ≤-3或a ≥3. 答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)8.若关于x 的不等式x +|x -1|≤a 有解,则实数a 的取值范围为________. 解析 法一 当x ≥1时,不等式化为x +x -1≤a ,即x ≤1+a2. 此时不等式有解当且仅当1≤1+a2,即a ≥1. 当x <1时,不等式化为x +1-x ≤a ,即1≤a . 此时不等式有解当且仅当a ≥1.综上所述,若关于x 的不等式x +|x -1|≤a 有解, 则实数a 的取值范围是[1,+∞).法二 设f (x )=x +|x -1|,则f (x )=⎩⎨⎧2x -1(x ≥1),1(x <1).f (x )的最小值为1.因为x +|x -1|≤a 有解,即f (x )≤a 有解,所以a ≥1. 答案 [1,+∞)9.已知h >0,a ,b ∈R ,命题甲:|a -b |<2h ;命题乙:|a -1|<h 且|b -1|<h ,则甲是乙的________条件.解析 |a -b |=|a -1+1-b |≤|a -1|+|b -1|<2h ,故由乙能推出甲成立,但甲成立不能推出乙成立,所以甲是乙的必要不充分条件. 答案 必要不充分 二、解答题10.设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|. (1)解不等式f (x )>2; (2)求函数y =f (x )的最小值.解 (1)法一 令2x +1=0,x -4=0分别得x =-12,x =4.原不等式可化为:⎩⎪⎨⎪⎧x <-12-x -5>2或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x <43x -3>2或⎩⎨⎧x ≥4,x +5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-7,或x >53. 法二 f (x )=|2x +1|-|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-x -5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <-123x -3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12≤x <4x +5 (x ≥4)画出f (x )的图象求y =2与f (x )图象的交点为(-7,2),⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2.由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-7,或x >53. (2)由(1)的法二知:f (x )min =-92.11.(2012·辽宁卷)已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}. (1)求a 的值;(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解 (1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}, 所以当a ≤0时,不合题意. 当a >0时,-4a ≤x ≤2a ,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2=|2x +1|-|2x +2|,则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≤-1,-4x -3,-1<x <-12,-1,x ≥-12,所以|h (x )|≤1,因此k ≥1. 故k 的取值范围是[1,+∞). 12.设函数f (x )=|x -1|+|x -a |. (1)若a =-1,解不等式f (x )≥3;(2)如果∀x ∈R ,f (x )≥2,求a 的取值范围. 解 (1)当a =-1时,f (x )=|x -1|+|x +1|,f (x )=⎩⎨⎧-2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1.作出函数f (x )=|x -1|+|x +1|的图象.由图象可知,不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-32,或x ≥32. (2)若a =1,f (x )=2|x -1|, 不满足题设条件;若a <1,f (x )=⎩⎨⎧-2x +a +1,x ≤a ,1-a ,a <x <1,2x -(a +1),x ≥1,f (x )的最小值为1-a ;若a >1,f (x )=⎩⎨⎧-2x +a +1,x ≤1,a -1,1<x <a ,2x -(a +1),x ≥a ,f (x )的最小值为a -1.∴对于∀x ∈R ,f (x )≥2的充要条件是|a -1|≥2, ∴a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).文档说明(Word 文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档:小学试卷 教案 合同 协议 施工 组织设计、期中、期末 等测试 中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间,提高读者的工作效率,读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多,审核有可能疏忽,如果有错误或侵权,请联系本店马上删除。